第四章　三角恒等变换 2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用
基础过关练
题组一　给角求值问题
1.(2024福建漳州期末)sin 102°cos 48°+cos 78°·cos 138°=(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
2.(2025江西上饶期中)=(　　)
A.　　B.-　　C.-　　D.
3.(2023湖北荆州沙市中学月考)已知α+β=-,则(1-tan α)·(1-tan β)=(　　)
A.-1　　B.0　　C.1　　D.2
4.计算:=(　　)
A.-1　　B.1　　C.-　　D.
题组二　给值求值问题
5.(2025湖南湘一名校联盟期中)已知=2,则tan=(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
6.(2025江西上饶期中)已知α,β均为锐角,且cos(α+β)=-,sin β=,则sin α=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
7.(多选题)(2024江苏镇江扬中二中月考)已知α,β∈,cos(α+β)=,sin(α-β)=,则(　　)
A.sin(α+β)=　　B.cos(α-β)=-
C.sin 2α=　　D.=
8.(2025山东德州优高十校联考)已知sin(α-β)·cos α-
cos(β-α)sin α=,β∈,则tan=　　　　.
题组三　给值求角问题
9.(2025四川内江资中第二中学期中)已知α,β∈(0,π),且tan α,tan β是方程x2-3x-2=0的两根,则α+β的值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
10.(2024江西宜春丰城中学期末)已知α,β为三角形的两个内角,
cos α=,sin(α+β)=,则β=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
11.(2025重庆西南大学附属中学模拟)已知α,β均为锐角,
sin α=,cos(α+β)sin β=-,则α+2β=　　　　.
题组四　两角和与差的正切公式的变形及其应用
12.若tan α+tan=3,则tan αtan=(　　)
A.1-　　B.-1　　C.　　D.
13.(2024北京牛栏山一中月考)若α+β=,则tan α+tan β+tan αtan β的值为　　　　.
14.(2023重庆十八中期末)化简:
=　　　　.
能力提升练
题组　两角和与差的三角函数公式的综合应用
1.(2025江西鹰潭模拟,)若α∈-,,tan α=,则sin=(　　)
A.　　B.　　
C.　　D.
2.(2024江西南昌第二中学月考)若<α<,且sin -cos =-,则tan+=(　　)
A.　　B.3　　C.-　　D.-3
3.(2025江西八所重点高中联考)已知α,β∈,若sin(α+β)=2sin(α-β),则当tan(α-β)取得最大值时,tan α=(　　)
A.　　B.　　
C.　　D.
4.在平面直角坐标系中,已知点O(0,0),P(8,6),将向量按顺时针方向旋转后,得到向量,则点Q的坐标是　　　　.
5.(2023北京东城期末)如图,单位圆被点A1,A2,…,A12分为12等份,其中A1(1,0).角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,若α的终边经过点A5,则cos α=　　　　;若sin α=sin,则角α的终边与单位圆交于点　　　　.(从A1,A2,…,A12中选择,写出所有满足要求的点)
6.(2024江西多校教学质量检测)已知α∈,且3sin α+cos α=.
(1)求tan α和的值;
(2)若β∈,且cos β=,求α-β的值.
7.(2024宁夏银川期中联考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,b),n=(cos A,sin B),且m∥n.
(1)求角A;
(2)若a=,b=2,求△ABC的面积;
(3)若△ABC为锐角三角形,求cos A+cos B+cos C的取值范围.
答案与分层梯度式解析
2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用
基础过关练
1.C 2.A 3.D 4.D 5.D 6.C 7.ACD 9.C
10.B 12.A
C　sin 102°cos 48°+cos 78°cos 138°=sin 78°cos 48°-
cos 78°sin 48°=sin(78°-48°)=sin 30°=.
2.A　=tan(73°-13°)=tan 60°=.
3.D　因为α+β=-,
所以tan(α+β)==tan=-1,
所以tan αtan β-(tan α+tan β)=1,
所以(1-tan α)·(1-tan β)=tan αtan β-(tan α+tan β)+1=2.
4.D　=
=
===.
5.D　由=2得=2,故tan α=,因此tan===.
6.C　由α,β均为锐角,得0<α+β<π,
又cos(α+β)=-,sin β=,
所以sin(α+β)==,cos β==,
所以sin α=sin(α+β-β)=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=×-×=.
7.ACD　由α,β∈得α+β∈(0,π),故sin(α+β)==,故A正确;
由α,β∈得α-β∈,故cos(α-β)==,故B错误;
2α=(α+β)+(α-β),则sin 2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=×+×=,故C正确;
===,则=,故D正确.
8.答案　7
解析　因为sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,
所以sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=,即sin[(α-β)-α]=sin(-β)=,所以sin β=-,又β∈,所以cos β=-=-,所以tan β=,
则tan===7.
9.C　由条件可知,tan α+tan β=3>0,tan αtan β=-2<0,
所以不妨设tan α>0,tan β<0,又α,β∈(0,π),所以α∈,β∈,则α+β∈,
因为tan(α+β)==1,所以α+β=.
10.B　∵α为三角形的内角,且cos α=<,
∴<α<,
∴sin α==,
又sin(α+β)=<,<α<α+β,β为三角形的内角,
∴<α+β<π,
则cos(α+β)=-=-,
故sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)·sin α=×+×=,
∵α>,α+β<π,∴β=.
11.答案　
解析　因为sin α=sin(α+β-β)=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=,cos(α+β)sin β=-,
所以sin(α+β)cos β=-=,
所以sin(α+2β)=sin(α+β+β)=sin(α+β)cos β+cos(α+β)sin β=-=,
又因为α,β均为锐角,cos(α+β)sin β=-<0,所以<α+β<π,所以<α+2β<,所以α+2β=.
12.A　解法一:tan α+tan
=tan
=tan
==3,
∴tan αtan=1-.
解法二:tan=tan
==,
所以=,
所以tan αtan=1-.
13.答案　
解析　因为α+β=,则tan(α+β)=tan =,
即tan(α+β)==,
所以tan α+tan β=(1-tan αtan β),
所以tan α+tan β+tan αtan β=.
14.答案　-
解析　原式=
=
=-tan 30°=-.
能力提升练
1.A 2.C 3.A
1.A　由tan α==,得sin α(3-sin α)=cos2α=1-sin2α,即sin α=,
因为α∈,sin2α+cos2α=1,所以cos α==,
所以sin=sin αcos +cos αsin =×+×=.
2.C　因为sin -cos =-,所以=1-2sin cos =,则sin cos =-,
又sin cos ==,
所以=-,化简得2tan2+5tan +2=0,解得tan =-2或tan =-,
又因为<α<,所以<<,所以tan >1,所以tan =-2,
所以tan===-.
3.A　由sin(α+β)=2sin(α-β),
得sin αcos β+cos αsin β=2sin αcos β-2cos αsin β,
移项可得sin αcos β=3cos αsin β①.
因为α,β∈,所以cos α≠0,cos β≠0,
①式两边同时除以cos αcos β,得tan α=3tan β,
则tan(α-β)==.
令t=tan β,因为β∈,所以t>0,则tan(α-β)==.
根据基本不等式可得+3t≥2=2,当且仅当=3t,即t=时等号成立,
所以tan(α-β)=≤=,当且仅当t=tan β=时,tan(α-β)取得最大值,为.
又因为tan α=3tan β,
所以当tan β=时,tan α=3×=,
即当tan(α-β)取得最大值时,tan α=.
4.答案　(-,-7)
解析　设射线OP为角θ的终边,则cos θ==,sin θ==,且||=10,
由题意可知,射线OQ为角θ-的终边,
则cos=-cos θ+sin θ=-,
sin=-sin θ-cos θ=-,
所以点Q的坐标为,
即Q(-,-7).
5.答案　-;A3,A9
解析　∵=,角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点A5,∴α=(5-1)×+2kπ=+2kπ,k∈Z,
∴cos α=cos=-,k∈Z.
若sin α=sin,
则sin α=sin αcos+cos αsin=sin α+cos α,
∴sin α=cos α,
∴tan α=,∴α=+2kπ,k∈Z或α=+2kπ,k∈Z.
由=(3-1)×,=(9-1)×,知满足条件的点为A3,A9.
6.解析　(1)由
解得或
又α∈,所以sin α=,cos α=,
所以tan α==,
所以
==
===-.
(2)因为β∈,且cos β=,
所以sin β==,
所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×-×=-,
由α∈,β∈,得α-β∈,
所以α-β=-.
7.解析　(1)由题意得asin B-bcos A=0,
由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,
又B∈(0,π),所以sin B≠0,所以sin A-cos A=0,所以tan A=,
又A∈(0,π),所以A=.
由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,即7=4+c2-2c,解得c=3或c=-1(舍),
所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×3×=.
(3)由(1)得B+C=,设B=+α,C=-α,
因为B,C∈,所以α∈,
则cos A+cos B+cos C=+cos+cos=+
2cos cos α=+cos α,
因为α∈,所以cos α∈,
所以cos A+cos B+cos C的取值范围是.
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