第四章 三角恒等变换 2.3 三角函数的叠加及其应用--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）
文档属性
| 名称 | 第四章 三角恒等变换 2.3 三角函数的叠加及其应用--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 338.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-22 16:15:11 | ||
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文档简介
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2026北师大版高中数学必修第二册
2.3 三角函数的叠加及其应用
基础过关练
题组一 利用三角函数的叠加求值
(多选题)(2025甘肃嘉峪关第一中学月考)若a=cos 15°-
sin 15°,b=,c=sin 105°cos 15°-cos 75°sin 15°,则( )
A.c2.(2025山东临沂第一中学月考)已知sin α+sin=,则sin的值是( )
A.- B. C. D.-
3.(2023陕西西安鄠邑期末)等式sin α+cos α=有意义,则m的取值范围是 .
4.(2025江苏扬州大学附属中学期中)已知sin θ-cos θ=,θ∈,则cos= .
5.(2024江西九江期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,单位圆O与x轴非负半轴的交点为A,点B,C在单位圆上,且满足∠AOB=α,∠AOC=β,α,β∈[0,π].
(1)若B,求cos的值;
(2)若α=,求·的取值范围.
题组二 三角函数的叠加在函数中的应用
6.(2024江西南昌第十九中学等校期末调研)已知函数f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)是奇函数,则tan φ=( )
A. B.- C. D.-
7.(2025江西多校联考)已知函数f(x)=sin x+acos x的图象关于点对称,则f(x)的最大值为( )
A.1 B.2 C. D.
8.(2025广东湛江阶段测试)若函数f(x)=3sin x+2cos x在[0,α]上单调递增,则当α取得最大值时,cos α=( )
A.- B.- C. D.
9.(2024广东深圳期末)已知函数f(x)=sin-cos 2x,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)图象的对称轴方程;
(3)求函数f(x)在上的单调区间.
能力提升练
题组 三角函数叠加的综合应用
1.(2023江苏无锡江阴高级中学期末)已知函数f(x)=sin x+cos x的定义域为[a,b],值域为[-1,],则b-a的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.(多选题)(2024河北沧州献县实验中学月考)已知向量a=(cos θ,
sin θ),b=(-3,4),则( )
A.若a∥b,则tan θ=-
B.若a⊥b,则sin θ=
C.|a-b|的最大值为5
D.若a·(a-b)=0,则|a-b|=2
3.(2025上海华东师范大学附属周浦中学月考)若等式cos θ-
msin θ=2有意义,则实数m的取值范围为 .
4.(2025江苏南京外国语学校期中)函数f(x)=,x∈的值域为 .
5.(2024江西多校教学质量检测)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AD=DC=AB=1,且AB⊥AD,点P是以A为圆心,AD的长为半径的圆上一点,若=x+y(x,y∈R),则3x+y的最小值为 .
6.(2024江西重点中学协作体期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A为单位圆与x轴正半轴的交点,点M为单位圆上的一点,且∠AOM=,点M沿单位圆按逆时针方向旋转θ角后到点N(a,b).
(1)当θ=时,求a+b的值;
(2)若θ∈,求b-a的取值范围.
(2025湖北武汉新洲部分学校期中)已知直线x=t分别与曲线y=
sin x和曲线y=cos(x+φ)相交于点M,N.
(1)若φ=0,求|MN|的最大值;
(2)若|MN|的最大值为,求φ的值.
答案与分层梯度式解析
2.3 三角函数的叠加及其应用
基础过关练
1.BCD 2.D 6.D 7.D 8.D
BCD a=cos 15°-sin 15°=cos 15°-
sin 15°=cos(45°+15°)=cos 60°=,
c=sin 105°cos 15°-cos 75°sin 15°=sin 75°cos 15°-cos 75°·
sin 15°=sin(75°-15°)=sin 60°=,
又b=,所以bD 由sin α+sin=可得sin α+sin αcos +cos αsin =
sin α+cos α=sin=,即sin=,
因此sin=sin=-sin=-.
3.答案
解析 sin α+cos α=2=2sinα+∈[-2,2],则≤2,
即|4m-6|≤2|4-m|①,且m≠4,
对①式化简,得|2m-3|≤|4-m|,两边平方得4m2-12m+9≤m2-8m+16,即3m2-4m-7≤0,
解得-1≤m≤.
4.答案
解析 因为sin θ-cos θ=,即2sin θ-cos θ=,所以2sin=,即sin=,
因为θ∈,所以θ-∈,
所以cos==.
5.解析 (1)∵B,∴sin α=,cos α=-,
∴cos=cos αcos +sin αsin =-×+×=.
(2)·=(-)·(-)=·-·-·+,
∵||=||=||=1,∠AOB=,∠AOC=β,
∴·=cos-cos β-cos+1
=-cos β-cos β-sin β=-sin,
∵β∈[0,π],∴β+∈,
∴sinβ+∈,∴·∈.
6.D f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)=2sin,
因为f(x)为奇函数,所以φ+=kπ,k∈Z,
解得φ=-+kπ,k∈Z,所以tan φ=-tan=-.
7.D 由题意,得f=+a=0,解得a=-,
所以f(x)=sin x-cos x=sin,
故当x-=+2kπ,k∈Z,即x=+2kπ,k∈Z时,f(x)取得最大值,为.
8.D f(x)=3sin x+2cos x=sin(x+φ),
其中sin φ=,cos φ=,且φ为锐角,
因为f(x)在[0,α]上单调递增,且φ+α∈(φ,φ+α],φ为锐角,所以(φ,φ+α] ,则α的最大值为-φ,
此时cos α=cos=sin φ=.
9.解析 (1)f(x)=sin-cos 2x=sin 2x-cos 2x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin,
所以函数f(x)的最小正周期T==π.
(2)由(1)知,f(x)=sin,由2x-=kπ-,k∈Z,得x=-,k∈Z,
所以f(x)图象的对称轴方程是x=-(k∈Z).
(3)由(1)知,f(x)=sin,
当x∈时,2x-∈,
由-≤2x-≤,解得0≤x≤,
由≤2x-≤,解得≤x≤,
所以函数f(x)在上的单调递增区间是,单调递减区间是.
能力提升练
1.D f(x)=sin x+cos x=sin,
因为x∈[a,b],所以x+∈,
令t=x+,则t∈,结合函数y=sin t在一个周期内的图象可知,(b-a)max=-=,(b-a)min=-=,所以b-a的取值范围是.
2.AD 因为a=(cos θ,sin θ),b=(-3,4),
所以|a|==1,|b|==5.
对于A,若a∥b,则4cos θ=-3sin θ,所以tan θ=-,故A正确;
对于B,若a⊥b,则a·b=-3cos θ+4sin θ=0,
所以tan θ=,
由解得或
故B错误;
对于C,|a-b|==
==,
其中tan φ=,
当sin(θ-φ)=-1时,|a-b|取得最大值6,故C错误;
对于D,若a·(a-b)=0,则a2-a·b=0,
即1+3cos θ-4sin θ=0,所以4sin θ-3cos θ=1,
所以|a-b|==
===2,故D正确.
3.答案 (-∞,-1]∪[1,+∞)
解析 由cos θ-msin θ=2,
得=2,
设=cos φ,=sin φ,
则(cos φcos θ-sin φsin θ)=2,
所以cos(θ+φ)=2,即cos(θ+φ)=,
因为-1≤cos(θ+φ)≤1,所以-1≤≤1,
所以≥2,即m2≥1,解得m≤-1或m≥1,
所以实数m的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞).
4.答案
解析 令t=sin x+cos x=sin,则t2=(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x,即sin xcos x=.
∵x∈,∴x+∈,∴t=sin∈[1,],
∴函数f(x)=等价于g(t)==,由t∈[1,]知g(t)∈,
故函数f(x)=,x∈的值域为.
5.答案 -
解析 以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.
则B(2,0),C(1,1),A(0,0),设P(cos θ,sin θ),θ∈[0,2π),
则=(cos θ,sin θ),=(2,0),=(1,1),
又=x+y,
所以(cos θ,sin θ)=x(1,1)+y(2,0)=(x+2y,x),
即x+2y=cos θ,x=sin θ,则y=,
所以3x+y=3sin θ+=sin θ+cos θ=sin(θ+φ),其中cos φ=,sin φ=,
所以(3x+y)min=-,此时sin(θ+φ)=-1,
故3x+y的最小值为-.
6.解析 (1)由题意得M,Ncos+θ,sin+θ,
当θ=时,N,即a=cos π,b=sin π,
∴a+b=cos π+sin π=-
=-sin π=-.
(2)由(1)知a=cos,b=sin,
则b-a=sin-cos=sin,
∵θ∈,∴θ+∈,
∴-≤sin≤1,则-≤sin≤,
故b-a的取值范围为.
7.解析 (1)当φ=0时,|MN|=|yM-yN|=|sin t-
cos t|=sin=sin≤,
当且仅当t-=kπ+(k∈Z),即t=kπ+(k∈Z)时取等号,所以|MN|的最大值为.
sin t-cos(t+φ)=sin t-cos tcos φ+sin tsin φ=(1+sin φ)sin t-
cos φcos t=sin(t+θ)
=sin(t+θ),其中tan θ=,
所以|MN|=|yM-yN|=|sin t-cos(t+φ)|=|sin(t+θ)|≤,
当且仅当t+θ=kπ+(k∈Z)时取等号,
依题意知=,所以sin φ=,所以φ=2kπ+(k∈Z)或φ=2kπ+(k∈Z).
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2.3 三角函数的叠加及其应用
基础过关练
题组一 利用三角函数的叠加求值
(多选题)(2025甘肃嘉峪关第一中学月考)若a=cos 15°-
sin 15°,b=,c=sin 105°cos 15°-cos 75°sin 15°,则( )
A.c
A.- B. C. D.-
3.(2023陕西西安鄠邑期末)等式sin α+cos α=有意义,则m的取值范围是 .
4.(2025江苏扬州大学附属中学期中)已知sin θ-cos θ=,θ∈,则cos= .
5.(2024江西九江期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,单位圆O与x轴非负半轴的交点为A,点B,C在单位圆上,且满足∠AOB=α,∠AOC=β,α,β∈[0,π].
(1)若B,求cos的值;
(2)若α=,求·的取值范围.
题组二 三角函数的叠加在函数中的应用
6.(2024江西南昌第十九中学等校期末调研)已知函数f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)是奇函数,则tan φ=( )
A. B.- C. D.-
7.(2025江西多校联考)已知函数f(x)=sin x+acos x的图象关于点对称,则f(x)的最大值为( )
A.1 B.2 C. D.
8.(2025广东湛江阶段测试)若函数f(x)=3sin x+2cos x在[0,α]上单调递增,则当α取得最大值时,cos α=( )
A.- B.- C. D.
9.(2024广东深圳期末)已知函数f(x)=sin-cos 2x,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)图象的对称轴方程;
(3)求函数f(x)在上的单调区间.
能力提升练
题组 三角函数叠加的综合应用
1.(2023江苏无锡江阴高级中学期末)已知函数f(x)=sin x+cos x的定义域为[a,b],值域为[-1,],则b-a的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.(多选题)(2024河北沧州献县实验中学月考)已知向量a=(cos θ,
sin θ),b=(-3,4),则( )
A.若a∥b,则tan θ=-
B.若a⊥b,则sin θ=
C.|a-b|的最大值为5
D.若a·(a-b)=0,则|a-b|=2
3.(2025上海华东师范大学附属周浦中学月考)若等式cos θ-
msin θ=2有意义,则实数m的取值范围为 .
4.(2025江苏南京外国语学校期中)函数f(x)=,x∈的值域为 .
5.(2024江西多校教学质量检测)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AD=DC=AB=1,且AB⊥AD,点P是以A为圆心,AD的长为半径的圆上一点,若=x+y(x,y∈R),则3x+y的最小值为 .
6.(2024江西重点中学协作体期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A为单位圆与x轴正半轴的交点,点M为单位圆上的一点,且∠AOM=,点M沿单位圆按逆时针方向旋转θ角后到点N(a,b).
(1)当θ=时,求a+b的值;
(2)若θ∈,求b-a的取值范围.
(2025湖北武汉新洲部分学校期中)已知直线x=t分别与曲线y=
sin x和曲线y=cos(x+φ)相交于点M,N.
(1)若φ=0,求|MN|的最大值;
(2)若|MN|的最大值为,求φ的值.
答案与分层梯度式解析
2.3 三角函数的叠加及其应用
基础过关练
1.BCD 2.D 6.D 7.D 8.D
BCD a=cos 15°-sin 15°=cos 15°-
sin 15°=cos(45°+15°)=cos 60°=,
c=sin 105°cos 15°-cos 75°sin 15°=sin 75°cos 15°-cos 75°·
sin 15°=sin(75°-15°)=sin 60°=,
又b=,所以b
sin α+cos α=sin=,即sin=,
因此sin=sin=-sin=-.
3.答案
解析 sin α+cos α=2=2sinα+∈[-2,2],则≤2,
即|4m-6|≤2|4-m|①,且m≠4,
对①式化简,得|2m-3|≤|4-m|,两边平方得4m2-12m+9≤m2-8m+16,即3m2-4m-7≤0,
解得-1≤m≤.
4.答案
解析 因为sin θ-cos θ=,即2sin θ-cos θ=,所以2sin=,即sin=,
因为θ∈,所以θ-∈,
所以cos==.
5.解析 (1)∵B,∴sin α=,cos α=-,
∴cos=cos αcos +sin αsin =-×+×=.
(2)·=(-)·(-)=·-·-·+,
∵||=||=||=1,∠AOB=,∠AOC=β,
∴·=cos-cos β-cos+1
=-cos β-cos β-sin β=-sin,
∵β∈[0,π],∴β+∈,
∴sinβ+∈,∴·∈.
6.D f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)=2sin,
因为f(x)为奇函数,所以φ+=kπ,k∈Z,
解得φ=-+kπ,k∈Z,所以tan φ=-tan=-.
7.D 由题意,得f=+a=0,解得a=-,
所以f(x)=sin x-cos x=sin,
故当x-=+2kπ,k∈Z,即x=+2kπ,k∈Z时,f(x)取得最大值,为.
8.D f(x)=3sin x+2cos x=sin(x+φ),
其中sin φ=,cos φ=,且φ为锐角,
因为f(x)在[0,α]上单调递增,且φ+α∈(φ,φ+α],φ为锐角,所以(φ,φ+α] ,则α的最大值为-φ,
此时cos α=cos=sin φ=.
9.解析 (1)f(x)=sin-cos 2x=sin 2x-cos 2x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin,
所以函数f(x)的最小正周期T==π.
(2)由(1)知,f(x)=sin,由2x-=kπ-,k∈Z,得x=-,k∈Z,
所以f(x)图象的对称轴方程是x=-(k∈Z).
(3)由(1)知,f(x)=sin,
当x∈时,2x-∈,
由-≤2x-≤,解得0≤x≤,
由≤2x-≤,解得≤x≤,
所以函数f(x)在上的单调递增区间是,单调递减区间是.
能力提升练
1.D f(x)=sin x+cos x=sin,
因为x∈[a,b],所以x+∈,
令t=x+,则t∈,结合函数y=sin t在一个周期内的图象可知,(b-a)max=-=,(b-a)min=-=,所以b-a的取值范围是.
2.AD 因为a=(cos θ,sin θ),b=(-3,4),
所以|a|==1,|b|==5.
对于A,若a∥b,则4cos θ=-3sin θ,所以tan θ=-,故A正确;
对于B,若a⊥b,则a·b=-3cos θ+4sin θ=0,
所以tan θ=,
由解得或
故B错误;
对于C,|a-b|==
==,
其中tan φ=,
当sin(θ-φ)=-1时,|a-b|取得最大值6,故C错误;
对于D,若a·(a-b)=0,则a2-a·b=0,
即1+3cos θ-4sin θ=0,所以4sin θ-3cos θ=1,
所以|a-b|==
===2,故D正确.
3.答案 (-∞,-1]∪[1,+∞)
解析 由cos θ-msin θ=2,
得=2,
设=cos φ,=sin φ,
则(cos φcos θ-sin φsin θ)=2,
所以cos(θ+φ)=2,即cos(θ+φ)=,
因为-1≤cos(θ+φ)≤1,所以-1≤≤1,
所以≥2,即m2≥1,解得m≤-1或m≥1,
所以实数m的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞).
4.答案
解析 令t=sin x+cos x=sin,则t2=(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x,即sin xcos x=.
∵x∈,∴x+∈,∴t=sin∈[1,],
∴函数f(x)=等价于g(t)==,由t∈[1,]知g(t)∈,
故函数f(x)=,x∈的值域为.
5.答案 -
解析 以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.
则B(2,0),C(1,1),A(0,0),设P(cos θ,sin θ),θ∈[0,2π),
则=(cos θ,sin θ),=(2,0),=(1,1),
又=x+y,
所以(cos θ,sin θ)=x(1,1)+y(2,0)=(x+2y,x),
即x+2y=cos θ,x=sin θ,则y=,
所以3x+y=3sin θ+=sin θ+cos θ=sin(θ+φ),其中cos φ=,sin φ=,
所以(3x+y)min=-,此时sin(θ+φ)=-1,
故3x+y的最小值为-.
6.解析 (1)由题意得M,Ncos+θ,sin+θ,
当θ=时,N,即a=cos π,b=sin π,
∴a+b=cos π+sin π=-
=-sin π=-.
(2)由(1)知a=cos,b=sin,
则b-a=sin-cos=sin,
∵θ∈,∴θ+∈,
∴-≤sin≤1,则-≤sin≤,
故b-a的取值范围为.
7.解析 (1)当φ=0时,|MN|=|yM-yN|=|sin t-
cos t|=sin=sin≤,
当且仅当t-=kπ+(k∈Z),即t=kπ+(k∈Z)时取等号,所以|MN|的最大值为.
sin t-cos(t+φ)=sin t-cos tcos φ+sin tsin φ=(1+sin φ)sin t-
cos φcos t=sin(t+θ)
=sin(t+θ),其中tan θ=,
所以|MN|=|yM-yN|=|sin t-cos(t+φ)|=|sin(t+θ)|≤,
当且仅当t+θ=kπ+(k∈Z)时取等号,
依题意知=,所以sin φ=,所以φ=2kπ+(k∈Z)或φ=2kπ+(k∈Z).
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同课章节目录
- 第一章 三角函数
- 1 周期变化
- 2 任意角
- 3 弧度制
- 4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
- 5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
- 6 函数y=Asin(wx+φ)性质与图象
- 7 正切函数
- 8 三角函数的简单应用
- 第二章 平面向量及其应用
- 1 从位移、速度、力到向量
- 2 从位移的合成到向量的加减法
- 3 从速度的倍数到向量的数乘
- 4 平面向量基本定理及坐标表示
- 5 从力的做功到向量的数量积
- 6 平面向量的应用
- 第三章 数学建模活动（二）
- 1 建筑物高度的测量
- 2 测量和自选建模作业的汇报交流
- 第四章 三角恒等变换
- 1 同角三角函数的基本关系
- 2 两角和与差的三角函数公式
- 3 二倍角的三角函数公式
- 第五章 复数
- 1 复数的概念及其几何意义
- 2 复数的四则运算
- 3 复数的三角表示
- 第六章 立体几何初步
- 1 基本立体图形
- 2 直观图
- 3 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 4 平行关系
- 5 垂直关系
- 6 简单几何体的再认识