第四章　三角恒等变换 2.4　积化和差与和差化积公式--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
2.4　积化和差与和差化积公式
基础过关练
题组一　对积化和差与和差化积公式的理解
1.下列各式中不正确的是(　　)
A.sin α+sin β=2sincos
B.cos α+cos β=2coscos
C.sin α-sin β=2cossin
D.cos α-cos β=2sinsin
2.sincos化成和差的形式为(　　)
A.sin(α+β)+sin(α-β)
B.cos(α+β)+sin(α-β)
C.sin(α+β)+cos(α-β)
D.cos(α+β)+cos(α-β)
题组二　利用公式化简、求值、证明
3.(2025江西新余第四中学段考)已知sin(α+β)=,cos(α-β)=,则sinsin=(　　)
A.　　B.
C.　　D.
4.(2023辽宁抚顺重点高中六校协作体期中)2sin sin -sin +
cos =(　　)
A.0　　B.sin 　　
C.2cos 　　D.2sin
5.(2023江西鹰潭一中期中)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°的值是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
6.(2025江苏无锡第一中学期末)已知角α,β满足cos α=,cos(α+
β)cos β=,则cos(α+2β)的值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
7.(2025湖南郴州综合性模拟)已知α+β=,sin 2α+sin 2β=,则
cos 2α+cos 2β=(　　)
A.±　　B.
C.-　　D.
8.(2023江苏淮安期末)若sin θ=2cos 10°·cos(20°-θ),0°<θ<180°,则θ=(　　)
A.50°　　B.60°　　C.70°　　D.80°
(多选题)(2025河南洛阳孟津第一高级中学期末)已知cos(α+β)=
-,cos 2α=-,其中α,β为锐角,则下列判断正确的是(　　)
A.sin 2α=　　B.cos(α-β)=
C.cos αcos β=　　D.tan αtan β=
10.(2024江西萍乡期中联考)求值:=　　　　.
11.(2023江西师大附中期中)若sin x+sin 3x+sin 5x=a,cos x+
cos 3x+cos 5x=b,则tan 3x=　　　　.(结果用a,b表示)
12.求下列各式的值.
(1)2cos 50°cos 70°-cos 20°;
(2)sin 80°cos 40°-sin 40°;
(3)sin 37.5°sin 22.5°-cos 15°;
(4)cos 40°-cos 80°-sin 20°.
已知A,B,C为△ABC的三个内角,求证:sin A+sin B+sin C=
4cos cos cos .
题组三　利用公式研究函数的性质
14.(2025安徽皖豫名校联盟期中)函数f(x)=sin+sin x的最大值为(　　)
A.2　　　　　　B.1　　　　　　C.　　D.
15.(2023福建师范大学附属中学月考)函数f(x)=sincos是(　　)
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为2π的非奇非偶函数
D.最小正周期为π的非奇非偶函数
16.(多选题)函数f(x)=sin-cos的图象的对称轴方程不可能为(　　)
A.x=-　　B.x=　　
C.x=　　D.x=
17.(多选题)(2024福建莆田期末)已知函数f(x)=sin 3x-sin 2x,则(　　)
A.f(x)的一个周期为-2π
B.f(x)的图象关于点(π,0)中心对称
C.f(x)的最大值为2
D.f(x)在(0,2π)上的所有零点之和为5π
18.(2025江苏宿迁沭阳华冲高级中学期中)已知向量m=sin,,n=sin,sin 2x,设函数f(x)=m·n.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)在△ABC中,A,B,C为三个内角,若f=1,求sin B+sin C的取值范围.
答案与分层梯度式解析
2.4积化和差与和差化积公式
1.C 2.B 3.A 4.C 5.A 6.C 7.C 8.D
9.AC 14.D 15.D 16.CD 17.ABD
1.C　
2.B　sincos=sin+α++β+sin+α--β=sin+α+β+sin(α-β)=cos(α+β)+sin(α-β).
3.A　由积化和差公式得sinsin
=-cos-cos
=-cos-cos(α-β)
=-[-sin(α+β)-cos(α-β)]=-×=.
C　2sin sin -sin +cos =cos-cos-cos+cos =cos -cos -cos +cos =-cos+
cos =2cos .
5.A　sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°
=[sin 90°+sin(-50°)]-[cos 60°-cos(-40°)]
=-sin 50°-+cos 40°=.
6.C　由题意及积化和差公式得cos(α+β)cos β=[cos(α+β+β)+cos(α+β-β)]=[cos(α+2β)+cos α]=cos(α+2β)+=,解得cos(α+2β)=-=.
7.C　由和差化积公式得sin 2α+sin 2β=2sin(α+β)cos(α-β)=,
由α+β=,得sin(α+β)=,cos(α+β)=-,则cos(α-β)=,
所以cos 2α+cos 2β=2cos(α+β)cos(α-β)=2××=-.
8.D　sin θ=2cos 10°·cos(20°-θ)=cos [10°-(20°-θ)]+cos[10°+(20°-θ)]=cos(θ-10°)+cos(30°-θ)=cos(θ-10°)+cos θ+sin θ,
则cos(θ-10°)=-cos θ+sin θ=cos(θ-150°),
又∵0°<θ<180°,
∴-10°<θ-10°<170°,-150°<θ-150°<30°,
显然θ-10°=θ-150°不成立,
∴θ-10°=-(θ-150°),解得θ=80°.
9.AC　因为α,β为锐角,所以α,β∈,所以α+β∈(0,π),2α∈(0,π),又因为cos(α+β)=-,cos 2α=-,所以sin(α+β)==,
sin 2α==,故A正确;
cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=×+×=,故B错误;
cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]=×=,故C正确;
sin αsin β=[cos(α-β)-cos(α+β)]=×=,
所以tan αtan β=,故D错误.
10.答案　2
解析　∵cos 20°=cos(30°-10°)=cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10°=
cos 10°+sin 10°,2cos 10°cos 20°=cos(20°+10°)+cos(20°-10°)=
cos 30°+cos 10°=+cos 10°,
∴===2.
11.答案　
解析　易得sin 5x+sin x=2sin cos
=2sin 3xcos 2x,
cos 5x+cos x=2cos cos =2cos 3xcos 2x,
则sin x+sin 3x+sin 5x=2sin 3xcos 2x+sin 3x=sin 3x(2cos 2x+1),
且cos x+cos 3x+cos 5x=2cos 3xcos 2x+cos 3x=cos 3x(2cos 2x+1),
故==tan 3x,
故tan 3x=.
12.解析　(1)2cos 50°cos 70°-cos 20°
=cos(50°+70°)+cos(50°-70°)-cos 20°
=cos 120°+cos 20°-cos 20°=cos 120°=-.
(2)sin 80°cos 40°-sin 40°
=[sin(80°+40°)+sin(80°-40°)]-sin 40°
=(sin 120°+sin 40°)-sin 40°
=sin 120°=.
(3)sin 37.5°sin 22.5°-cos 15°
=-[cos(37.5°+22.5°)-cos(37.5°-22.5°)]-cos 15°
=-(cos 60°-cos 15°)-cos 15°
=-cos 60°=-.
(4)cos 40°-cos 80°-sin 20°
=-2sin sin -sin 20°
=-2sin 60°sin(-20°)-sin 20°
=sin 20°-sin 20°=0.
13.证明　因为A+B+C=π,
所以C=π-(A+B),=-,
所以sin A+sin B+sin C=2sin cos +sin(A+B)
=2sin cos +sincos +cossin
=2sin
=2sin ·2cos cos
=2cos ·2cos cos
=4cos cos cos .
故等式成立.
D　解法一:f(x)=sin+sin x=2sin ·
cos =2sincos=sin,
可得f(x)max=.
解法二:f(x)=sin+sin x=sin x-cos x+sin x=sin x-
cos x==sinx-,可得f(x)max=.
15.D　f(x)=sincos
=sin+sin
=sin+1=+sin,
所以f(x)的最小正周期T==π,
由函数奇偶性的定义知,f(x)为非奇非偶函数.
16.CD　f(x)=sin-cos
=sin-sin
=2cos sin
=cos,
令x+=kπ,k∈Z,得x=kπ-,k∈Z,
所以f(x)的图象的对称轴方程为x=kπ-(k∈Z),
结合选项知x=和x=不可能是f(x)的图象的对称轴方程.
17.ABD　对于A,f(x-2π)=sin(3x-6π)-sin(2x-4π)=sin 3x-sin 2x=f(x),故A正确;
对于B,f(2π-x)=sin(6π-3x)-sin(4π-2x)=-sin 3x+sin 2x=-(sin 3x-
sin 2x)=-f(x),故B正确;
对于C,若f(x)的最大值为2,则当f(x)取得该最大值时,sin 3x=1,
sin 2x=-1,由sin 3x=1知3x=2kπ+,k∈Z,即x=+,k∈Z,而此时
sin 2x≠-1,故C不正确;
对于D,f(x)=sin 3x-sin 2x=2cos sin =2cos sin ,
令f(x)=0,得cos sin =0,
所以sin =0或cos =0,
又x∈(0,2π),所以∈(0,5π),
所以=或=或=或=或=,
解得x=或x=或x=π或x=或x=,即f(x)在(0,2π)上的所有零点之和为5π,故D正确.
18.解析　(1)f(x)=sinsin+sin 2x
=-cos-cos+sin 2x
=cos 2x+sin 2x=sin,
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)解法一:由(1)知f(x)=sin,
则f=sin=1,
在△ABC中,A∈(0,π),所以A+∈,
所以A+=,则A=.
易得sin B+sin C=2sin cos =cos ,
因为B,C∈,所以B-C∈,则∈,所以<
cos ≤1,
所以所以sin B+sin C的取值范围是.
解法二:同解法一得A=.
易得sin B+sin C=sin B+sin=sin B+cos B
=sin,
由B∈,可得B+∈,
所以sin∈,则sin∈,
所以sin B+sin C的取值范围是.
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