第四章　三角恒等变换 3.1　二倍角公式--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
§3　二倍角的三角函数公式
3.1　二倍角公式
基础过关练
题组一　二倍角的正弦公式
1.已知点P是角α的终边与单位圆的交点,则sin 2α=(　　)
A.　　B.-　　C.-　　D.
2.化简:=(　　)
A.sin 2-cos 2　　B.cos 2-sin 2
C.cos 2　　D.-cos 2
3.(2025江苏连云港期中)已知tan α=-3,则sin 2α=　　　　.
4.(2025湖南长沙期末)已知cos(α-β)=,sin αsin β=,则
sin 2αsin 2β=　　　　.
题组二　二倍角的余弦公式
5.(2025湖北武汉调研)若tan=7,则cos 2α的值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
6.(2025江西上饶诊断)函数f(x)=sin x+cos 2x+3的值域是(　　)
A.　　B.[1,4]
C.　　D.[1,5]
7.(2024江西南昌期末调研)在△ABC中,若AB=AC,则cos A+cos B的取值范围为(　　)
A.　　B.　　
C.　　D.
8.(2025黑龙江大庆教学质量检测)若cos=,则cos=(　　)
A.　　B.-　　C.-　　D.
9.(2025江西新八校联考模拟)已知角α,β的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,它们的终边关于x轴对称,若sin β=,则
cos 2α=　　　　.
题组三　二倍角的正切公式
(2025江苏苏锡常镇四市调研)已知sin α+cos α=(0<α<π),则
tan 2α=(　　)
A.-　　B.　　C.-　　D.
11.(2025江西吉安六校协作体期中)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,记△ABC的面积为S△ABC,若8S△ABC-c2=(b-a)·(b+a),则tan 2A=(　　)
A.-　　B.　　C.-　　D.
12.(2024天津耀华中学期末)已知tan=,tan=,则tan(α-2β)=(　　)
A.-　　B.-
C.　　D.
13.已知α,β均为锐角,且tan α=7,cos β=,则α+2β=　　　　.
题组四　二倍角公式的综合应用
14.(2023湖北黄冈月考)已知sin =-,cos =,则角θ的终边所在的象限是(　　)
A.第一象限　　B.第二象限
C.第三象限　　D.第四象限
15.(2025广东广州期末)已知p:=sin x-cos x,q:角x为第二象限角,则p是q的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
16.(多选题)(2024江西多校教学质量检测)下列计算正确的是(　　)
A.=tan 20°
B.=1
C.cos422.5°-sin422.5°=
D.sin215°+sin275°+sin 15°sin 75°=
17.(2024江西赣州期末)a=sin 84°-cos 84°,b=,c=,则(　　)
A.b18.(2025河南南阳期末)若sin cos x=sin x,x∈(0,π),则x=　　　　.
19.(2025安徽合肥第八中学检测)已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(2,-1),且a⊥b,则sin+2θ-cos=　　　　.
20.(2024江西南昌期末调研)已知4sin α-3cos α=5.
(1)求sin α的值;
(2)求的值.
21.(2024江西宜春宜丰中学月考)已知f(x)=cos2x-sin2x+2sin xcos x+1.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)当x∈时,f(x)-3≥m恒成立,求实数m的取值范围.
能力提升练
题组一　给角求值问题
1.(多选题)(2024广东江门期末)下列计算结果正确的是(　　)
A.cos(-15°)=
B.sin 15°sin 30°sin 75°=
C.tan +=2
D.=2
2.(2023云南昆明期末)数学可以刻画现实世界中的和谐美,人体结构、建筑物、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关,古希腊的毕达哥拉斯学派发现了黄金分割常数(约为0.618),该值也可用三角函数m=2sin 18°来表示,则=(　　)
A.2　　B.　　C.-2　　D.-
3.(2025四川南充诊断)已知a=2cos 73°,则=(　　)
A.-2　　B.-1　　C.-　　D.-
题组二　条件求值问题
4.在平面直角坐标系中,角θ的终边绕坐标原点按逆时针方向旋转后经过点(-1,),则tan=(　　)
A.-　　B.-　　
C.　　D.0
5.(2023湖南岳阳期末)已知sin(π-x)=2sin,则3sin 2x+
4cos 2x=(　　)
A.　　B.-　　C.0　　D.
6.(2023吉林长春东北师大附中期末)已知θ∈,且cos θ-sin θ=
-,则等于(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
7.(2024江苏扬州邗江中学期中)若2α∈-,,tan α=,则sin=(　　)
A.-　　B.　　
C.-　　D.
8.(2024江西景德镇期末质量检测)已知sin α+
cos α=,α∈,sinβ-=,β∈,则cos(α+2β)的值为(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
9.若tan α=(1-tan 20°)·sin 80°,则下列可能是α的是(　　)
A.20°　　B.40°　　C.50°　　D.70°
10.(2025福建泉州期末)已知cos(α+β)·cos+sin(α+β)sin=,则sin=　　　　.
11.(2023湖北十七所重点中学联考,)已知多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4满足对任意θ∈R, f(cos θ)=2cos 4θ+cos 3θ,则a1-a2+a3-a4=　　　　.(用数字作答)
12.(2025江西景德镇一中期末)已知锐角△ABC的面积为S,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(b2-a2)sin B=2S.
(1)求证:B=2A;
(2)求的取值范围.
题组三　二倍角公式的综合应用
13.(2025江西“三新”协同教研共同体期末联考)函数f(x)=cos 2x-2asin x+b-的最大值为1,最小值为-4,则b=(　　)
A.-1　　B.1　　C.-　　D.
14.(多选题)(2025四川嘉祥教育集团期中)已知函数f(x)=
sin 2x+sin4x-cos4x,则(　　)
A.f+f(-x)=0
B.|f(x)|≤f
C.f(x)在-,上单调递增
D.若f(x+φ)为偶函数,则|φ|的最小值为
15.“分离参数法”是数学中常用的解题方法,例如,已知含参数λ的方程f(x,λ)=0有解的问题,求解时可分离出参数λ,将方程化为F(λ)=g(x),根据g(x)的值域,求出F(λ)的范围,进而求出λ的取值范围.已知x∈,若关于x的方程(λ+1)sin x+cos 2x+2=0有解,则实数λ的取值范围为　　　　.
16.(2025陕西榆林绥德中学阶段性考试)已知函数f(x)=
cos 2x+sin x.
(1)解不等式:f(x)≥;
(2)若△ABC为锐角三角形,O为其外心,BC=2,f =,令t=·,求实数t的取值范围.
答案与分层梯度式解析
§3　二倍角的三角函数公式
3.1　二倍角公式
基础过关练
1.C 2.A 5.A 6.A 7.A 8.A 10.B 11.B
12.B 14.C 15.B 16.AC 17.D
1.C　由三角函数的定义可得sin α=,cos α=-,
所以sin 2α=2sin αcos α=2××=-.
2.A　==|cos 2-sin 2|,
∵2弧度角的终边位于第二象限,∴sin 2>0,cos 2<0,
∴=sin 2-cos 2.
3.答案　-
解析　sin 2α====-.
4.答案　
解析　因为cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,
且sin αsin β=,所以cos αcos β=,
所以sin 2αsin 2β=2sin αcos α·2sin βcos β=4cos αcos β·
sin αsin β=4××=.
5.A　由tan=7,可得=7,即=7,解得tan α=,
所以cos 2α====.
6.A　f(x)=sin x+1-2sin2x+3=-2sin2x+sin x+4.
令t=sin x,t∈[-1,1],此时原函数即为y=-2t2+t+4,t∈[-1,1].
对于函数y=-2t2+t+4,其在t∈R上的图象开口向下,对称轴方程为t=.
当t=时,y=-2×++4=;
当t=-1时,y=-2×(-1)2+(-1)+4=1,
所以y=-2t2+t+4在t∈[-1,1]上的值域是,即函数f(x)=sin x+
cos 2x+3的值域为.
7.A　因为AB=AC,所以B=C,
则cos A+cos B=cos A+cos= cos A+sin
=1-2sin2+sin ,
令sin =t,因为A∈(0,π),所以∈,
则t∈(0,1),cos A+cos B=1-2sin2+sin 等价为f(t)=-2t2+t+1=
-2+,
当t∈(0,1)时,f(t)∈,
故cos A+cos B的取值范围为.
8.A　cos=-cos=-cos
=-2cos2+1=-2×+1=.
9.答案　
解析　因为角α,β的终边关于x轴对称,
所以sin α=-sin β=-,
所以cos 2α=1-2sin2α=1-2×=.
10.B　由sin α+cos α=及sin2α+cos2α=1,
可得或
又α∈(0,π),所以sin α=,cos α=-,则tan α=-,
由二倍角公式可得tan 2α===.
11.B　由题意得8S△ABC=4bcsin A=b2+c2-a2,
故2sin A==cos A,则tan A=,
所以tan 2A===.
12.B　由tan=,得tan===,
因此tan(α-2β)=tan===-.
13.答案　
解析　因为β为锐角,cos β=,所以sin β=,
故tan β=,则tan 2β===.
因为β为锐角,且tan 2β>0,所以0<2β<,
又α为锐角,所以0<α+2β<π,
又tan(α+2β)===-1,
所以α+2β=.
14.C　∵sin θ=2sin cos =2××=-<0,
cos θ=cos2-sin2=-=-<0,
∴角θ的终边所在的象限是第三象限.
B　易得===
|sin x-cos x|,
若角x为第二象限角,则sin x>0,cos x<0,
可得sin x-cos x>0,所以=sin x-cos x,
即必要性成立;
取x=,则sin 2x=0,sin x=1,cos x=0,
满足=sin x-cos x,但不是第二象限角,
故充分性不成立.
综上,p是q的必要不充分条件.
16.AC　===tan 20°,故A正确;
=×=tan 45°=,故B错误;
cos422.5°-sin422.5°=(cos222.5°+sin222.5°)·(cos222.5°-sin222.5°)=
cos 45°=,故C正确;
sin215°+sin275°+sin 15°sin 75°=sin215°+cos215°+
sin 15°cos 15°=1+sin 30°=,故D错误.
17.D　a=sin 84°-cos 84°=sin 84°cos 60°-cos 84°sin 60°=sin(84°-60°)=sin 24°,
b==tan(2×13°)=tan 26°,
c====sin 25°,
因为y=sin x在0°因为0sin 26°,故b>c,即a18.答案　
解析　易知x≠,所以==tan =tan x,
因为y=tan x在,上均单调递增,所以x=.
19.答案　
解析　因为向量a=(cos θ,sin θ),b=(2,-1),且a⊥b,所以a·b=2cos θ-sin θ=0,
所以tan θ==2.
因此sin-cos=cos 2θ+sin 2θ
==
==.
20.解析　(1)因为4sin α-3cos α=5,
所以4sin α-5=3cos α,
即16sin2α+25-40sin α=9cos2α,
则25sin2α-40sin α+16=0,所以sin α=.
(2)由(1)知,sin α=,
因为4sin α-3cos α=5,所以cos α=-,
则tan α==-,
所以====-7.
解析　(1)∵f(x)=cos2x-sin2x+2sin xcos x+1=cos 2x+
sin 2x+1=2sin+1,
∴f(x)的最小正周期T==π,
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
则kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
∴函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)∵x∈,∴2x+∈,
令t=2x+,则t∈,
易知函数y=sin t在上单调递增,在上单调递减,且sin=-,sin =,∴(sin t)min=-,即=-,
∴当2x+=-,即x=-时,f(x)min=-×2+1=0,
要使f(x)-3≥m恒成立,则f(x)min≥m+3,即0≥m+3,可得m≤-3,
故实数m的取值范围是(-∞,-3].
能力提升练
1.BD 2.C 3.C 4.C 5.B 6.A 7.D 8.A
9.A 13.C 14.ABD
BD　对于A,cos(-15°)=cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+
sin 45°sin 30°=,所以A错误;
对于B,sin 15°sin 30°sin 75°=sin 15°sin 30°cos 15°
=sin 15°cos 15°=sin 30°=,所以B正确;
对于C,tan +=+=
==4,所以C错误;
对于D,==2×=2×=2,所以D正确.
2.C　=
==
==-2.
3.C　=
=-=-
=-=-=-.
4.C　由题意知,旋转后终边对应的角为θ+,
则tan=-,
所以tan=tan===.
奇思妙解
　　注意终边绕坐标原点旋转后过点(-1,),而=tan(k∈Z),因此可取特殊值,即原来的角θ的终边按逆时针方向旋转后所对应的一个角为,故原角θ可取特殊值,所以tan2θ+=tanπ+=tan=.
5.B　因为sin(π-x)=2sin,所以sin x=-2cos x,即tan x=-2,
所以3sin 2x+4cos 2x=
===-.
6.A　∵cos θ-sin θ=-,∴1-sin 2θ=,
∴sin 2θ=-.∵θ∈,∴cos θ+sin θ<0,
∴sin θ+cos θ=-=-=-=-,∴==(cos θ+sin θ)=-.
7.D　因为tan α=,且tan α=,
所以=,
整理,得3sin α=sin2α+cos2α=1,所以sin α=,
因为2α∈,所以α∈,
即α∈,
所以cos α==,
所以sin 2α=2sin αcos α=2××=,
cos 2α=1-2sin2α=,
所以sin=sin 2αcos -cos 2αsin =×-×=.
方法总结
　　对于弦切混合式,往往利用tan α=将切化为弦,从而将式子统一成弦的形式,方便求解.
8.A　由题意得(sin α+cos α)2=1+sin 2α=,
所以sin 2α=,
因为α∈,所以2α∈,所以cos 2α=,
又cos 2α=2cos2α-1=1-2sin2α,
所以cos2α=,sin2α=,
所以cos α=,sin α=.
因为β∈,所以β-∈,
又sin=,所以cos=,
所以sin =2sincos=,
又sin =sin=-cos 2β,
所以cos 2β=-.
因为β∈,所以2β∈,
所以sin 2β=,
所以cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β=×-×=-.
9.A　(1-tan 20°)·sin 80°
=(1-tan 20°)·(sin 60°cos 20°+cos 60°sin 20°)
=cos 20°-sin 20°+sin 20°-
=cos 20°-sin 20°-
=--sin 20°=-sin 20°
===tan 20°,
则有tan α=tan 20°,结合选项可知α可能为20°.
10.答案　-
解析　因为cos(α+β)cos+sin(α+β)·sin=,
所以cos=,即cos=,
所以cos=2cos2-1=-,
即cos=-,
所以sin=sin
=cos=-.
11.答案　1
解析　由题意得, f(cos θ)=2cos 4θ+cos 3θ
=2(2cos22θ-1)+cos θcos 2θ-sin θsin 2θ
=4(2cos2θ-1)2-2+cos θ(2cos2θ-1)-2sin2θcos θ
=4(4cos4θ-4cos2θ+1)-2+2cos3θ-cos θ-2(1-cos2θ)·cos θ
=16cos4θ-16cos2θ+2+2cos3θ-cos θ-2cos θ+2cos3θ
=2-3cos θ-16cos2θ+4cos3θ+16cos4θ,
又f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,
∴a0=2,a1=-3,a2=-16,a3=4,a4=16,
∴a1-a2+a3-a4=-3-(-16)+4-16=1.
12.解析　(1)证明:由(b2-a2)sin B=2S可得(b2-a2)sin B=2×acsin B,
∵B∈(0,π),∴sin B≠0,故b2-a2=ac,
则cos A===,cos B===,
则cos 2A=2cos2A-1=2×-1=-1=-1=-1==cos B,
因为△ABC为锐角三角形,所以2A∈(0,π),B∈,故B=2A.
(2)==
=
=2cos A+cos 2A+2cos2A
=4cos2A+2cos A-1=4cos A+2-,
由于所以故∈,
故∈(+1,+2).
13.C　f(x)=cos 2x-2asin x+b-=-sin2x-2asin x+b,
令t=sin x,则t∈[-1,1],原函数等价为g(t)=-t2-2at+b,易知函数y=-t2-2at+b的图象开口向下,对称轴方程为t=-a,
①当-a≥1,即a≤-1时,g(t)max=g(1)=-1-2a+b=1,g(t)min=g(-1)=-1+2a+b=
-4,
解得a=-,b=-,满足条件;
②当-a≤-1,即a≥1时,g(t)max=g(-1)=-1+2a+b=1,g(t)min=g(1)=-1-2a+b=
-4,
解得a=,b=-,满足条件;
③当-1<-a<1,即-1min{g(-1),g(1)}=-4,
即a2+2a-4=0或a2-2a-4=0,均不存在满足条件的解.
综上,b=-.
14.ABD　f(x)=sin 2x+sin4x-cos4x=sin 2x+(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)=sin 2x+sin2x-cos2x
=sin 2x-cos 2x=2sin.
对于A,f+f(-x)=2sin2-+2sin=2sin-2sin=0,故A正确;
对于B,|f(x)|=2sin≤2=f,故B正确;
对于C,由-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间为-+kπ,+kπ(k∈Z),
故当x∈时,f(x)不单调递增,故C错误;
对于D,f(x+φ)=2sin=2sin,若f(x+φ)为偶函数,
则2φ-=+kπ(k∈Z),即φ=+(k∈Z),
当k=0时,φ=,当k=-1时,φ=-,
所以|φ|的最小值为,故D正确.
15.答案　(-∞,-2]
解析　∵x∈,∴sin x∈(0,1].
∵方程(λ+1)sin x+cos 2x+2=0有解,
∴方程(λ+1)sin x+3-2sin2x=0有解,
∴λ+1==2sin x-有解,
令t=sin x,则t∈(0,1],
易知y=2t-在(0,1]上单调递增,则y≤2-3=-1,∴λ+1≤-1,解得λ≤-2,
故实数λ的取值范围为(-∞,-2].
解析　f(x)=cos 2x+sin x=cos 2x+cos xsin x=
sin 2x+cos 2x=sin.
(1)令sin≥,则sin≥,
∴+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
∴kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
故原不等式的解集为,k∈Z.
(2)∵f-=,∴sin2-+=,∴sin∠BAC=,
又0<∠BAC<,∴∠BAC=,∴B+C=.
∵O为△ABC的外心,∴t=·=·(-)=||2-=AC2-AB2,
在△ABC中,由正弦定理可知===,
则AC=sin B,AB=sin C,
∴t=(sin2B-sin2C)=sin2B-sin2-B=sin2B-sin2
=sin B+sin·sin B-sin=2sinB+·
cos-·2cosB+·sin-=sin-sin2B+=-sin,
∵△ABC为锐角三角形,∠BAC=,
∴∴-∴实数t的取值范围是(-2,2).
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