第四章　三角恒等变换 3.2　半角公式--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
3.2　半角公式
基础过关练
题组一　半角的正弦公式
1.(2024广东广州联考)已知α为锐角,cos α=,则sin =(　　)
A.　　B.　　
C.　　D.
2.若tan α=,且α为第一象限角,则sin =(　　)
A.　　B.±　　C.　　D.-
3.化简:+=(　　)
A.cos 10°　　B.sin 10°
C.2sin 10°-cos 10°　　D.2cos 10°-sin 10°
题组二　半角的余弦公式
4.(2025云南师范大学附属中学期中)已知cos α的值,则关于cos 和cos 2α的值,下列说法中正确的是(　　)
A.cos 的值和cos 2α的值均唯一确定
B.cos 的值唯一确定,但cos 2α的值不唯一
C.cos 2α的值唯一确定,但cos 的值不唯一
D.cos 的值和cos 2α的值均不唯一
5.已知α∈,sin α=,则cos=(　　)
A.-　　B.　　C.-　　D.
6.已知3π<α<4π,则=(　　)
A.sin 　　B.-sin 　　
C.cos 　　D.-cos
7.(2024江西景德镇期末质量检测)若α为钝角,β为锐角,且sin α=,
sin β=,则cos =　　　　.
题组三　半角的正切公式
8.(2025江西宜春中学等校期中联考)已知α为第一象限角,sin α=,则tan =(　　)
A.　　B.　　C.2　　D.
9.已知f(x)=,若α∈,则f(cos α)+f(-cos α)=(　　)
A.　　B.-
C.-　　D.
10.(2025辽宁本溪高级中学模拟)若α∈(0,π),且2cos 2α-cos α=1,则tan =　　　　.
题组四　半角公式的综合应用
(2025上海高境第一中学月考)若α∈[0,2π],且+=
sin -cos ,则α的取值范围是(　　)
A.[0,π]　　B.
C.[π,2π]　　D.
12.(2025北京石景山期末)若sin θ=,<θ<3π,则tan+cos=(　　)
A.3+　　B.3-　　
C.3+　　D.3-
13.(2023浙江金丽衢十二校联考)数学里有一种证明方法叫作Proof Without Words,也被称为无字证明,是指仅用图象而无需文字解释就能使数学命题不证自明,由于这种特性,这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如图,点C为半圆O上一点,CH⊥AB,垂足为H,记∠COB=θ,则由tan∠BCH=可以直接证明的三角函数公式是(　　)
A.tan =　　B.tan =
C.tan =　　D.tan =
14.(多选题)已知函数f(x)=(cos x+1-sin2x)·tan,则下列结论中正确的是(　　)
A. f(x)的最小正周期为π
B. f(x)的最小正周期为2π
C. f(x)是奇函数
D. f(x)是偶函数
15.(2023陕西宝鸡模拟)若α∈(0,π),且sin α+2cos α=2,则tan 等于(　　)
A.3　　B.2　　C.　　D.
(2025云南师范大学附属易门中学期末)已知450°<α<540°且
sin α=,则sin =　　　　.
17.(2025辽宁辽阳期末)已知sin=-,α∈,则sin=　　　　.
18.(创新题)(新定义·向量与三角恒等变换结合)定义向量=(a,b)的伴随函数为f(x)=asin x+bcos x,函数f(x)=asin x+bcos x的伴随向量为=(a,b).
(1)写出向量=(1,-1)的伴随函数f(x),并直接写出f(x)的最大值;
(2)求函数f(x)=sin2+2sin cos -3cos2+1的伴随向量的模.
19.(2024河北保定部分高中开学联考)已知sin=,α∈.
(1)求sin的值;
(2)求tan 的值.
答案与分层梯度式解析
3.2　半角公式
基础过关练
1.D 2.B 3.A 4.C 5.A 6.D 8.D 9.D
11.C 12.B 13.C 14.BC 15.C
1.D　因为α为锐角,所以为锐角,所以
sin ====.
2.B　因为α为第一象限角,且tan α=,所以cos α=,且是第一或第三象限角.当是第一象限角时,sin ==;当是第三象限角时,
sin =-=-.故sin =±.
3.A　+
=+sin 10°
=|sin 10°-cos 10°|+sin 10°
=cos 10°-sin 10°+sin 10°=cos 10°.
4.C　因为cos =±,cos 2α=2cos2α-1,
所以已知cos α的值时,cos 2α的值唯一确定,但cos 的值不唯一.
5.A　由α∈,sin α=,得cos α=-=-=-,
∵<α<π,∴<<,∴cos>0,
∴cos===,
∴cos=-cos=-.
6.D　因为3π<α<4π,所以<<2π,<<π,
于是==
=cos =-cos .
7.答案　
解析　由已知得cos α=-,cos β=,
因此cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
=×+×=,
又<α<π,0<β<,所以0<α-β<π,0<<,
故cos ===.
8.D　解法一:因为α为第一象限角,sin α=,所以cos α=,
所以tan ===.
解法二:因为α为第一象限角,sin α=,所以cos α=,
所以tan ===.
解法三:因为sin α===,
所以2tan2-5tan +2=0,解得tan =或tan =2.
因为α为第一象限角,
所以2kπ<α<+2kπ,k∈Z,则kπ<<+kπ,k∈Z,
所以tan =.
9.D　因为α∈,所以∈,
所以f(cos α)+f(-cos α)=+
=tan+=tan+=+==.
10.答案　
解析　由2cos 2α-cos α=1,得4cos2α-cos α-3=0,解得cos α=1或cos α=-,
又α∈(0,π),所以cos α=-,
所以sin α==,
所以tan ==.
11.C　由半角公式cos =±和sin =±化简得,cos +sin =-cos +sin ,
又∈[0,π],所以∈,所以α∈[π,2π].
12.B　因为sin θ=,<θ<3π,
所以cos θ=-=-,<<,
所以cos<0,tan ==3,
所以cos=-=-,
所以tan+cos=3-.
13.C　由已知得∠CBO=-,∠BCH=,
因为tan∠BCH=tan =,sin θ=,cos θ=,BH+OH=OB=OC,
所以===tan .
14.BC　由题意得≠kπ+(k∈Z),即x≠2kπ+π(k∈Z),故f(x)的定义域为{x∈R|x≠π+2kπ,k∈Z},关于原点对称.f(x)=(cos x+1-sin2x)tan=
(cos x+cos2x)·=sin 2x,则f(-x)=-·sin 2x,所以f(x)+f(-x)=0,所以函数f(x)是奇函数.因为f(0)=0, f(π)不存在,所以结合图象(图略)可知f(x)的最小正周期不是π,而是2π.
15.C　∵α∈(0,π),∴∈,
设tan =x,则x>0.
易得sin α===,
cos α===,
∴sin α+2cos α=+==2,
即x+1-x2=1+x2,即x(2x-1)=0,∴x=,
即tan =.
16.答案　
解析　∵450°<α<540°,∴90°<α-360°<180°,∴cos α<0,
又∵sin α=,∴cos α=-=-.
易知225°<<270°,∴cos =-=-=-.
易得112.5°<<135°,∴sin ===.
17.答案　
解析　因为sin=-cos α=-,所以cos α=,
因为α∈,所以∈,
所以sin =-=-,cos ==,
所以sin=sin cos +cos sin =-×+×=.
18.解析　(1)由题意可知向量=(1,-1)的伴随函数f(x)=sin x-cos x.
f(x)=sin x-cos x=sin,当x-=+2kπ,k∈Z,即x=+2kπ,k∈Z时,f(x)取得最大值,最大值为.
(2)f(x)=sin2+2sin cos -3cos2+1=+sin x-+1=sin x-
2cos x,
故伴随向量=(1,-2),故||==.
19.解析　(1)因为sin=-cos α=,
所以cos α=-,
因为α∈,
所以sin α=-=-=-,
所以sin 2α=2sin αcos α=2××=,
cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-,
所以sin=sin 2α+cos 2α=×+×=.
(2)解法一:因为α∈,所以∈,则sin >0,cos <0,
所以sin ==,cos =-=-,
则tan ===-2.
解法二:tan =====-2.
解法三:tan α====,解得tan =或tan =-2,
因为α∈,所以∈,则tan <0,故tan =-2.
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