第四章　三角恒等变换 复习提升--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
复习提升
易混易错练
易错点1　对公式结构把握不准确致错
1.已知2sin α-sin β=,2cos α-cos β=1,则cos(α-β)=(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
2.(2025江西南昌第十中学期中)若α是第三象限角,且sin(α+β)·
cos β-sin β·cos(α+β)=-,则tan =　　　　.
易错点2　忽视角的范围致错
3.(多选题)(2025湖北荆州中学月考)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则下列结论正确的是(　　)
A.sin θcos θ<0　　B.sin θ-cos θ=
C.cos θ=　　D.sin θ=
4.(2024四川内江六中月考)已知sin(2α-β)=,sin β=-,且<α<π,-<β<0.
(1)求cos 2α的值;
(2)求角α-β的大小.
易错点3　忽视角之间的特殊关系致错
5.(2025福建泉州永宁中学开学考试)若cos=,则sin=(　　)
A.-　　B.　　C.-　　D.
6.已知α,β为锐角,sin α=,cos(α+β)=.
(1)求cos的值;
(2)求sin β的值.
(2024江西南昌第一中学期中)已知0<α<,
-<β<0,cos=,cos=.
(1)求cos的值;
(2)求sin β的值;
(3)求角α-β的大小.
思想方法练
一、函数与方程思想
1.(2025湖南岳阳考前模拟)若=,则tan 2θ=(　　)
A.-2　　B.2　　C.-1　　D.1
2.(多选题)(2025江苏连云港期末)已知=,则(　　)
A.sin x+cos x=　　　B.sin xcos x=-
C.|sin x|+|cos x|=　　　D.tan x=
二、分类讨论思想
3.(多选题)设角θ的终边在第二象限内,则的值可能为(　　)
A.1　　B.-1　　C.-2　　D.2
4.已知角α的顶点为坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(-3,).
(1)求sin 2α-tan α的值;
(2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值.
三、转化与化归思想
5.(多选题)(2025江西师范大学附属中学期中)下列各式的值正确的是(　　)
A.=1
B.cos 28°cos 32°-cos 62°sin 32°=
C.sin 15°+cos 15°=
D.(1+tan 13°)(1+tan 32°)=2
6.(2024浙江宁波镇海中学期末)已知tan=,则cos 2α+
sin 2α+2=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.2
7.设0<β<α<,且cos α=,cos(α-β)=,求角β的值.
8.(2023宁夏银川唐徕中学期末)已知f(x)=cos sin-(ω>0),A,B是函数f(x)的图象与直线y=的两个交点,且|AB|的最小值为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若 x∈都有f(x)≥m2-m-,求m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.C 3.ABD 5.A
C　由2sin α-sin β=,2cos α-cos β=1,分别平方后相加得4sin2α+4cos2α+sin2β+cos2β-4sin αsin β-4cos αcos β=4,即5-
4sin αsin β-4cos αcos β=4,
故sin αsin β+cos αcos β=,
所以cos(α-β)=.
易错警示
　　在使用两角和与差的正、余弦公式时不要把“+”“-”以及函数名称记错,两角和与差的余弦公式可简记为“同名相乘,符号相异”,两角和与差的正弦公式可简记为“异名相乘,符号相同”.
2.答案　-5
解析　由已知及两角差的正弦公式得,sin(α+β)·cos β-
sin β·cos(α+β)=sin(α+β-β)=sin α=-,
∵α是第三象限角,∴cos α=-.
解法一:tan ===-5.
解法二:tan ===-5.
易错警示
　　对于半角的正切公式tan ==,分子与分母中的正、余弦的特征,及公式中的“+”“-”号极易记错,使用时应注意.
ABD　∵sin θ+cos θ=,∴(sin θ+cos θ)2=,即1+
2sin θcos θ=,∴sin θcos θ=-<0,故A正确.
∵θ∈(0,π),∴sin θ>0,∴cos θ<0,∴θ∈(易错点),
∴(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1+=,
∴sin θ-cos θ=,故B正确.
由sin θ+cos θ=,sin θ-cos θ=,得sin θ=,cos θ=-,故C错误,D正确.
4.解析　(1)因为<α<π,所以π<2α<2π,
又-<β<0,所以0<-β<,所以π<2α-β<,
又sin(2α-β)=>0,所以2π<2α-β<(易错点),
所以cos(2α-β)==.
由-<β<0且sin β=-,得cos β=,
所以cos 2α=cos [(2α-β)+β]=cos(2α-β)cos β-sin(2α-β)sin β=×-×=.
(2)由(1)知cos 2α=2cos2α-1=,又<α<π,
所以cos α=-,sin α=,
则sin(α-β)=sin[(2α-β)-α]=sin(2α-β)cos α-cos(2α-β)sin α=×-×=-,
因为<α<π,0<-β<,所以<α-β<,
所以α-β=.
易错警示
　　求三角函数值时,容易忽略角的范围而导致错误,为了避免这些错误,求解时要做到:(1)使用公式时要考虑全面;(2)将一些三角函数值与特殊角的三角函数值进行比较,方便限定角的范围;(3)善于利用隐含条件把角缩小到尽可能小的范围内.
5.A　sin=sin-2=cos 2=2cos2-1=2×-1=-点拨:令-α=t α=-t 2α+=-2t+=-2t.
6.解析　(1)∵α为锐角,sin α=,
∴cos α==.
∴cos=cos αcos+sin αsin
=×+×=.
(2)∵α,β为锐角,∴α+β∈(0,π),
由cos(α+β)=得sin(α+β)==,
∴sin β=sin[(α+β)-α](关键点)
=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α
=×-×=.
7.解析　(1)∵0<α<,-<β<0,
∴<+α<,<-<,
∴sin==,sin==,
则cos=cos(关键点)=cos·cos+sinsin=×+×=.
(2)sin β=cos=2cos2-1=-.
(3)由cos=(cos α-sin α)=,得cos α-sin α=,①
由sin=(cos α+sin α)=,得cos α+sin α=,②
由①②解得cos α=,sin α=,
由(2)知sin β=-,∵-<β<0,∴cos β=,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,
由题得,0<α-β<π,∴α-β=.
易错警示
　　对于三角函数的给值求值、给值求角问题,求解的关键是“变角”,即采用拆角、凑角等技巧将“目标角”变换成“已知角”,在“变角”的过程中,要注意分析所求角和已知角之间的关系,当角的终边所在的象限不确定时,应分情况讨论.
思想方法练
1.D 2.BC 3.AB 5.BCD 6.C
1.D　因为=,所以=,所以=,
即tan θ=,即tan 2θ+2tan θ=1,
整理成关于tan θ的方程,体现了方程思想.
所以tan 2θ===1.
2.BC　===,
令t=sin x+cos x=sin,易知t∈[-,],
将t看成关于x的函数,根据x的范围,求出t的范围,体现了函数的思想.
则sin xcos x=,可得=,整理得3t2-8t-3=0,解得t=-或t=3(舍去),
根据sin xcos x和sin x+cos x的关系,构建一元二次方程,求出t的值,体现了方程的思想.
所以sin x+cos x=-,sin xcos x=-,故A错误,B正确;
易知sin x,cos x是方程m2+m-=0的两根,
将sin x,cos x看成方程m2+m-=0的两根,利用求根公式得解,体现了方程的思想.
解得m=,
可知或
可得|sin x|+|cos x|=+=,故C正确;
tan x===或tan x==,故D错误.
思想方法
　　函数与方程思想在本章中的主要体现:(1)利用方程思想求解某个三角函数值;(2)构造函数或借助现有的函数,研究关于三角函数的性质问题等.
3.AB　∵角θ的终边在第二象限内,
∴2kπ+<θ<2kπ+π,k∈Z,
∴kπ+<==.
要去掉绝对值符号,需要确定sin与cos的大小关系,故需对角的终边位置进行讨论.
故当2nπ+<<2nπ+,n∈Z时,sin-cos>0,
∴=-1;
当2nπ+<<2nπ+,n∈Z时,sin-cos<0,
∴=1.
4.解析　(1)∵角α的终边经过点P(-3,),
∴sin α=,cos α=-,tan α=-.
∴sin 2α-tan α=2sin αcos α-tan α=-+=-.
(2)由sin(α+β)=,得cos(α+β)=±.
由于角α+β的终边所在位置不确定,所以cos(α+β)的值有两个.
由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)·sin α.
当cos(α+β)=时,cos β=×+×=;
当cos(α+β)=-时,cos β=-×+×=.
根据cos(α+β)的不同取值分类讨论,分别求出cos β的值.
所以cos β=.
思想方法
　　分类讨论思想在本章中的主要体现:(1)利用同角三角函数的平方关系开方求值时,对角的正弦值或余弦值的正负进行分类讨论;(2)利用半角公式开方求值时,对半角的三角函数值的正负进行分类讨论;(3)由已知条件得出不同结果时,对各结果进行分类讨论求解等.
5.BCD　对于A,=·=tan 45°=,故A错误;
对于B,cos 28°cos 32°-cos 62°sin 32°=cos 28°cos 32°-cos(90°-28°)sin 32°=cos 28°cos 32°-sin 28°sin 32°=cos(28°+32°)=cos 60°=,故B正确;
28°,32°两角之和为特殊角60°,利用诱导公式将62°角转化成28°角后可采用两角和的余弦公式得解.
对于C,sin 15°+cos 15°===,故C正确;
对于D,因为=tan(13°+32°)=tan 45°=1,
注意到13°,32°角的和是特殊角45°,所以联想到两角和的正切公式.
所以tan 13°+tan 32°=1-tan 13°tan 32°,
故(1+tan 13°)(1+tan 32°)=1+tan 13°+tan 32°+tan 13°·tan 32°=1+1-tan 13°tan 32°+tan 13°tan 32°=2,故D正确.
名师点睛
　　对于一些非特殊角的三角函数求值问题,当它们的和、差或倍数等能产生如30°,45°,60°,90°等的一些特殊角时,可充分利用三角函数公式将其转化成特殊角后进行求值,或通过合适的方式消去一些非特殊角.
6.C　由tan=得=,解得tan α=3,
利用两角差的正切公式将已知条件转化为关于tan α的方程,从而求得tan α的值.
cos 2α+sin 2α====-,
将cos 2α+sin 2α的分母1用sin2α+cos2α代替,从而将所求式转化为关于sin α,cos α的齐次式.
所以cos 2α+sin 2α+2=-+2=.
解析　因为0<β<α<,所以0<α-β<,又cos α=,cos(α-β)=,
所以sin α==,sin(α-β)==,
所以sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos α·sin(α-β)=×-×=,
将求角β的值转化为求角β的正弦值,再根据条件转化为求α-(α-β)的正弦值.
又0<β<,所以β=.
8.解析　(1)f(x)=cos sin-
=cos -
=sin cos +cos 2-
=sin ωx+
=sin ωx+cos ωx
=
=sin,
通过三角函数的相关公式将f(x)的解析式转化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,便于求解.
易知f(x)max=,
∴f(x)的最小正周期T=|AB|min=π,∴ω==2,
∴f(x)=sin,
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
∴f(x)的单调递增区间为-+kπ,+kπ,k∈Z.
(2)当≤x≤时,≤2x+≤,∵<,∴当2x+=,即x=时,f(x)取得最小值,即f(x)min=f =,
将原问题转化为f(x)在上的最小值恒大于或等于m2-m-,从而将其转化为代数不等式恒成立问题.
则问题等价于≥m2-m-恒成立,即m2-m-2≤0恒成立,解得-1≤m≤2,
所以m的取值范围是[-1,2].
思想方法
　　转化与化归思想是三角恒等变换中最基本、应用最广泛的数学思想之一,解决问题时,要注意“三看”:(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算的角转化;(2)看名称,尽量把一个式子中的三角函数名称化成相同的;(3)看式子,看式子是否满足三角函数的相关公式,如果满足,则直接使用,如果不满足,则转化角或转换三角函数名称,使其可以使用公式.此外转化与化归思想在本章中的应用还体现在化多角为单角、化高次为低次等.
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