第四章　三角恒等变换--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
第四章　三角恒等变换
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知第二象限角α的终边与单位圆交于点P,则=(　　)
A.-　　　B.-11　　　C.-　　　D.1
2.已知x,y∈,若sin x=,cos y=,则cos(x-y)=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
3.已知sin α-cos=,则cos的值为(　　)
A.　　　B.-　　　C.　　　D.-
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2csin2=c-b,则△ABC的形状可能是(　　)
A.等边三角形　　　B.直角三角形
C.等腰直角三角形　　　D.等腰三角形
5.已知a=2cos246°-1,b=cos 2 025°cos 2 024°+sin 2 025°sin 2 024°,c=,则(　　)
A.c>a>b　　　B.b>a>c
C.b>c>a　　　D.c>b>a
6.将函数f(x)=sin 2x图象上的所有点向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,则函数y=f(x)g(x)的最大值为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
7.已知角α,β满足cos 2α+cos α=sinsin+sin2β,且α∈(0,π),则α等于(　　)
A.　　　B.　　　
C.　　　D.
8.古希腊数学家波克拉底曾研究过一个几何图形,如图所示,此图由三个半圆构成,直径分别为直角三角形ABC的斜边AB,直角边BC,AC,N为AC的中点,点D在以AC为直径的半圆上,已知以直角边AC,BC为直径的两个半圆的面积之比为3∶1,sin∠DAB=,则cos∠DNC的值为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.以下各式化简正确的是(　　)
A.=tan α　　　B.cos α-cos β=-2sin sin
C.-=4　　　D.2cos 20°cos 40°cos 80°=
10.《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形,若图中直角三角形的两锐角分别为α,β,小正方形的面积为4,大正方形的面积为9,则下列说法正确的是(　　)
A.每一个直角三角形的面积均为
B.3sin β-3cos α=2
C.3sin β-3sin α=2
D.cos(α-β)=
11.已知函数f(x)=sin+2sin2ωx-1(ω>0),则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的最小值是-
B.若ω=1,则f(x)在上单调递减
C.若f(x)在上恰有3个零点,则ω的取值范围为
D.函数y=的值域为
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.将答案填在题中横线上)
12.若角α+的终边经过点P(-3,4),则sin 2α=　　　　.
13.满足等式(1-tan α)(1-tan β)=2的数组(α,β)有无穷多个,试写出一个这样的数组:　　　　.
14.若函数f(x)的图象可由函数y=3sin 2x-cos 2x的图象上的所有点向右平移φ(0<φ<π)个单位长度得到,且函数f(x)在区间上单调递减,则φ=　　　　.
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知0<α<<β<π,tan =,cos(β-α)=.
(1)求tan α,sin α的值;
(2)求β的值.
16.(15分)在平面直角坐标系中,锐角α,β的始边均为Ox,终边分别与单位圆交于点A,B,已知点A的纵坐标为,点B的横坐标为.
(1)求tan(α-β)和cos 2α的值;
(2)求的值;
(3)将点A绕点O逆时针旋转后得到点C,求点C的坐标.
17.(15分)给出下列三个条件:①2abcos C=a2+b2-4;②2(bcos A+acos B)=c2;③+=.请从这三个条件中任选一个补充在下面的横线处,并解答.
已知在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且　　　　.
(1)求c的长;
(2)若S△ABC=,求角C的最大值.
18.(17分)已知向量a=(cos 3x,sin 3x),b=-sin,cos,令f(x)=a·b.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)已知当x∈-,时,关于x的方程f(x)-m=0(m∈R)有两个不等实根,求m的取值范围和这两根之和;
(3)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知f(A)=1,a=2,求△ABC的周长l的取值范围.
19.(17分)已知函数f(x)=asin x+bcos x,称向量p=(a,b)为f(x)的特征向量,f(x)为p的特征函数.
(1)若g(x)=2sin(π-x)+sin,求g(x)的特征向量;
(2)若向量p=(,1)的特征函数为f(x),求当f(x)=且x∈时sin x的值;
(3)若向量p=的特征函数为f(x),记h(x)=[f(x)]2-,且h(x)在区间[a,b]上至少有40个零点,求b-a的最小值.
答案全解全析
1.B　因为第二象限角α的终边与单位圆交于点P,
所以=1,且m<0,所以m=-,tan α=-,
所以==-11.
2.D　因为x,y∈,sin x=,cos y=,所以cos x===,sin y===,因此cos(x-y)=cos xcos y+sin xsin y=×+×=.
3.A　sin α-cos=sin α-cos α-sin α=sin α-cos α=sin=,则cos=1-2sin2=.
4.B　因为2csin2=c-b,所以sin2=,即=,即cos A=,由正弦定理可得cos A=,所以cos Asin C=sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以cos Csin A=0,因为05.D　易得a=2cos246°-1=cos 92°<0;b=cos 2 025°cos 2 024°+sin 2 025°·sin 2 024°=cos(2 025°-2 024°)=cos 1°,显然0b>a.
6.C　易得g(x)=sin 2=sin,
则y=f(x)g(x)=sin 2x·sin=sin 2x·sin 2xcos-cos 2x·sin=sin 2x·sin 2x-cos 2x=sin22x-sin 2xcos 2x=×-×sin 4x=-=-sin,
所以当sin=-1时,y=f(x)g(x)取得最大值,为-×(-1)=.
7.C　由于sinsin+sin2β=cos β-sin β+sin2β=cos2β-sin2β+sin2β=cos2β+sin2β=,所以cos 2α+cos α=,即2cos2α-1+cos α=,解得cos α=或cos α=- (舍去),因为α∈(0,π),所以α=.
8.A　以AC,BC为直径的两个半圆的面积之比为3∶1,则其直径之比为∶1,即tan∠BAC=,因为∠BAC∈,所以∠BAC=,
因为sin∠DAB=,∠DAB∈,所以cos∠DAB==,
则cos∠DAN=cos=cos∠DAB+sin∠DAB=+,
故cos∠DNC=cos 2∠DAN=2cos2∠DAN-1=2×-1=.
9.BD　对于A,====|tan α|,故A错误.
对于B,cos α-cos β=cos-cos
=cos cos -sin sin -cos cos -sin sin
=-2sin sin ,故B正确(速解:由和差化积公式易知B正确).
对于C,-===
====2+>2+2>4,故C错误.
对于D,2cos 20°cos 40°cos 80°======,故D正确.
10.ACD　由题可知,每一个直角三角形的面积均为(9-4)×=,故A正确;
如图,设直角三角形中角α,β的对边分别为a,b,则ab=,a2+b2=9,
则sin β=,cos β=,sin α=,cos α=,
3sin β-3cos α=0,故B错误;
3sin β-3sin α=b-a,由ab=,a2+b2=9得ab=,b-a====2,所以3sin β-3sin α=b-a=2,故C正确;
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β==,故D正确.
11.AC　f(x)=sin+2sin2ωx-1=sin 2ωx-cos 2ωx-cos 2ωx
=sin 2ωx-cos 2ωx=sin.
对于A,因为-1≤sin≤1,所以-≤f(x)≤,故f(x)的最小值为-,故A正确;
对于B,当ω=1时,f(x)=sin,由x∈得2x-∈,由正弦函数的单调性知f(x)在上单调递增,故B错误;
对于C,由x∈得2ωx-∈,若f(x)在上恰有3个零点,则2π≤ω-<3π,解得≤ω<5,故C正确;
对于D,因为y==,所以sin=,
所以-1≤≤1,解得≤y≤,故D错误.
12.答案　
解析　根据已知条件可知cos=-,sin=,
则sin 2α=sin2-=-cos 2α+
=-cos2-sin2=-+=.
13.答案　(答案不唯一)
解析　由(1-tan α)(1-tan β)=2,得1-(tan α+tan β)+tan αtan β=2,
所以tan α+tan β=tan αtan β-1,
所以tan(α+β)===-1,
所以α+β=+kπ,k∈Z,所以可取α+β=,
所以数组(α,β)可以为.(答案不唯一)
14.答案　
解析　易知y=3sin 2x-cos 2x=2sin,
则f(x)=2sin=2sin,
当x∈时,2x-2φ-∈,
因为函数f(x)在区间上单调递减,
所以k∈Z,即k∈Z,
则φ=--kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=.
15.解析　(1)因为tan =,所以tan α==.(2分)
因为0<α<,且sin2α+cos2α=1,tan α==,(4分)
所以sin α=.(6分)
(2)由(1)知tan α=,sin α=,所以cos α=.(8分)
因为0<α<<β<π,所以0<β-α<π,
因为cos(β-α)=,所以sin(β-α)=.(10分)
因此sin β=sin[α+(β-α)]=sin αcos(β-α)+cos αsin(β-α)=×+×=,(12分)
又<β<π,故β=.(13分)
16.解析　(1)由α,β均为锐角,可知点A,B都在第一象限内,又点A的纵坐标为,点B的横坐标为,所以sin α=,cos β=,(2分)
则点A的横坐标为cos α==,点B的纵坐标为sin β==,因此tan α=,tan β=,(4分)
则tan(α-β)===-,(6分)
cos 2α=2cos2α-1=.(7分)
(2)由(1)知tan α=,
则====10.(9分)
(3)依题意,点C在角+α的终边上,且OC=1,由(1)知sin α=,cos α=,则点C的横坐标为cos=cos cos α-sin sin α=×=,(12分)
点C的纵坐标为sin=sin cos α+cos sin α=×=,(14分)
所以点C的坐标为.(15分)
17.解析　(1)若选条件①:由2abcos C=a2+b2-4及余弦定理,得2ab·=a2+b2-4,(3分)
所以c=2.(5分)
若选条件②:由2(bcos A+acos B)=c2及余弦定理,得2b·+a·=c2,(3分)
整理,得2c=c2,所以c=2.(5分)
若选条件③:由+=,得+=,(2分)
整理得=,即=,(4分)
又0故=,由正弦定理得=,所以c=2.(5分)
(2)显然c2=a2+b2-2abcos C≥2ab(1-cos C),当且仅当a=b时取等号,(7分)
∵c=2,∴ab(1-cos C)≤2,当且仅当a=b时取等号,
由S△ABC=absin C=,得absin C=2,(9分)
而absin C(1-cos C)≤2sin C,则(1-cos C)≤sin C,(11分)
即≤sin C+cos C,因此sin≥,(12分)
在锐角△ABC中,由0于是18.解析　(1)f(x)=a·b=-cos 3xsin+sin 3xcos=sin3x-=sin2x-,(3分)
故f(x)的最小正周期T==π,(4分)
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
故f(x)的单调递增区间为-+kπ,+kπ,k∈Z.(6分)
(2)当x∈-,时,2x-∈-,,sin∈[-1,1].
结合图象知(图略),若f(x)=m(m∈R)在x∈上有两个不等实根,则≤m<1.(8分)
不妨设两个不等实根分别为x1,x2,则2x1-+2x2-=π,故x1+x2=.(9分)
(3)由(1)知f(x)=sin.由f(A)=1可得sin=1,故2A-=+2kπ,k∈Z,故A=+kπ,k∈Z,
由于A为锐角,所以A=,(11分)
在△ABC中,==,
故b+c=(sin B+sin C)=sin B+sin=4sin,(13分)
由可得因此b+c=4sin∈(2,4],故l=a+b+c∈(2+2,6].(17分)
19.解析　(1)g(x)=2sin(π-x)+sin=2sin x-cos x,(2分)
所以函数g(x)的特征向量p=(2,-1).(3分)
(2)因为向量p=(,1)的特征函数为f(x),
所以f(x)=sin x+cos x=2sin,(4分)
由f(x)=,得sin=,
因为x∈,所以x+∈,(6分)
所以cos=,(7分)
所以sin x=sin=sincos -cossin
=×-×=.(9分)
(3)因为向量p=的特征函数为f(x),
所以f(x)=-sin x+cos x=cos,(11分)
则h(x)=[f(x)]2-=cos2-=cos+,(12分)
令h(x)=0,则cos=-,
则2x+=+2kπ,k∈Z或2x+=+2kπ,k∈Z,
解得x=+kπ,k∈Z或x=+kπ,k∈Z,(14分)
由h(x)在区间[a,b]上至少有40个零点,
不妨设a=,易知h(x)的最小正周期T==π,
则b≥+19π+=+19π,(15分)
则b-a≥+19π=,所以b-a的最小值为.(17分)
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