第五章　复数 §3　复数的三角表示--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
*§3　复数的三角表示
基础过关练
题组一　辐角
1.(2024福建泉州永春第一中学月考)复数z=-sin +icos 的辐角主值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.若复数z=(a+i)2的辐角的主值是(a∈R),则实数a的值为(　　)
A.1　　B.-1　　C.-　　D.-
3.(2025湖南衡阳第一中学期末)复数z=-3-i的辐角的主值为　　　　.
题组二　复数的三角形式
4.(2024广东深圳月考)复数-+i的三角形式是　　　　　　.
5.复数z=4在复平面内对应的点位于第　　　　象限.
6.将下列复数表示为三角形式(辐角取主值):
(1)-i;(2)2.
题组三　复数三角形式的乘除运算
7.已知复数z1=1,在复平面内,z2对应的向量由z1对应的向量绕着原点O按逆时针方向旋转而得到,则arg(z1z2)=(　　)
A.　　B.　　
C.　　D.
8.(多选题)(2025吉林长春文理高中段考)利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算.法国数学家棣莫弗发现[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ)(n∈N*),我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息,若复数z满足z5=32,则z可能的取值为(　　)
A.2　　
B.2
C.2　　
D.2
9.(2025江西南昌第二中学月考)已知复数z满足=1+i,则复数z的辐角的主值是　　　　.
10.设i为虚数单位,n为正整数,θ∈[0,2π).
(1)观察得,(cos θ+isin θ)2=cos 2θ+isin 2θ,(cos θ+isin θ)3=cos 3θ+isin 3θ,(cos θ+isin θ)4=cos 4θ+isin 4θ,……,猜测(cos θ+isin θ)n的结果为　　　　;
(2)若复数z=-i,利用(1)的结论计算z10=　　　　.
题组四　复数三角形式乘除运算的几何意义
11.(多选题)在复平面内有一正方形OABC,O是坐标原点,且点B在x轴的上方,向量对应的复数为2+i,则(　　)
A.点B对应的复数为1+3i
B.向量对应的复数为-1+2i
C.向量对应的复数为1+2i
D.||=
12.(2024上海建平中学期中)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,向量=-3cos ,3sin ,将绕点O按顺时针方向旋转得到向量,则点B的坐标是　　　　.
答案与分层梯度式解析
*§3　复数的三角表示
基础过关练
1.C 2.B 7.B 8.BD 11.ABD
1.C　因为z=-sin +icos =cos+isin=cos +isin ,且∈[0,2π),所以复数z的辐角主值为.
2.B　因为z=(a+i)2=a2-1+2ai,arg z=,所以所以a=-1.
3.答案　
解析　z=-3-i=2=2cos +isin ,
又∈[0,2π),所以复数z的辐角的主值为.
4.答案　cos 120°+isin 120°
解析　令z=-+i=r(cos θ+isin θ)(r>0,0°≤θ<360°),则r=|z|=1,所以
因为0°≤θ<360°,所以θ=120°,
所以复数-+i的三角形式是cos 120°+isin 120°.
5.答案　一
解析　z=4=4=2+2i,则z在复平面内对应的点为(2,2),位于第一象限.
6.解析　(1)因为r==2,
cos θ=,sin θ=-,所以θ=,
所以-i=2.
(2)原式=2=2cos +isin .
7.B　由题可知z1=cos 0+isin 0,z2=cos +isin ,
所以z1z2=cos +isin ,所以arg(z1z2)=.
8.BD　设z=r(cos θ+isin θ),其中r>0,
则z5=[r(cos θ+isin θ)]5=r5(cos 5θ+isin 5θ)=32,
故r5cos 5θ=32,sin 5θ=0,
∵r>0,∴cos 5θ>0,故5θ=2kπ,k∈Z,则cos 5θ=1,
故r5=32,则r=2,
故z=2,结合选项可知B,D正确.
9.答案　75°
解析　由=1+i,
可得=(cos 45°+isin 45°),
所以z=
==cos 75°+isin 75°,
所以z=(cos 75°+isin 75°),
又0°≤75°<360°,所以复数z的辐角的主值是75°.
10.答案　(1)cos nθ+isin nθ　(2)512+512i
解析　(1)(cos θ+isin θ)n=cos nθ+isin nθ.
(2)z=-i=2=2,
由(1)得z10=210=210cos10×+isin10×=210=210cos18π++isin18π+=210cos +isin =210=512+512i.
11.ABD　把绕点O按逆时针方向旋转45°,再把它的模变为原来的倍即得,
故向量对应的复数为(2+i)·(cos 45°+isin 45°)=(2+i)(1+i)=1+3i,即点B对应的复数为1+3i,故A正确;
把向量绕点O按逆时针方向旋转90°即得向量,所以对应的复数为(2+i)·(cos90°+isin 90°)=(2+i)i=-1+2i,故B正确;
对应的复数为对应的复数减去对应的复数,即(-1+2i)-(1+3i)=-2-i,故C不正确;
||=||=,故D正确.
12.答案　
解析　设向量对应的复数是z,
则z=-3cos +3isin =3,
所以对应的复数是
==3cos+isin-=3=-+i,
所以点B的坐标是.
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