第五章　复数 1.1　复数的概念--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
第五章　复数
§1　复数的概念及其几何意义
1.1　复数的概念
基础过关练
题组一　复数的相关概念
1.(2025江苏南京中华中学期中)设z=1-2i,则复数z的虚部为(　　)
A.-2　　B.2　　C.-2i　　D.2i
2.若复数z=a-2+(2a+1)i(其中i是虚数单位)的实部与虚部相等,则实数a=(　　)
A.-3　　B.-2　　C.2　　D.3
3.(2025甘肃定西期中)欧拉恒等式eiπ+1=0(i为虚数单位,e为自然对数的底数)被称为数学中最奇妙的公式,它是复分析中欧拉公式eix=cos x+isin x的特例:当自变量x=π时,eiπ=cos π+isin π=-1,得eiπ+1=0.根据欧拉公式,复数的虚部为(　　)
A.　　B.-　　C.-　　D.
题组二　复数的分类
4.(2025湖南娄底涟源模拟)设x∈R,则“x=-1”是“复数z=(x+1)+(x2-1)i为实数”的(　　)
A.充分必要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
5.(多选题)(2025河北秦皇岛山海关模拟)若i是虚数单位,则下列关于复数的说法,正确的是(　　)
A.若b≠0,则a+bi为虚数
B.若实数a=b,则z=a-b+(a+b)i是纯虚数
C.对于z=a+bi(a,b∈R),若a=b=0,则z不是复数
D.若复数z1,z2满足z1>z2,则z1,z2均为实数
6.复数z=cos+isin,且θ∈-,,若z是实数,则θ的值为　　　　;若z为纯虚数,则θ的值为　　　　.
7.(2025山西临汾适应性训练)已知m∈R,复数z=(m2-5m+6)+(m2-3m)i为纯虚数,则m=　　　　.
8.(2025江苏连云港赣榆期中)已知复数z=(m2-m)+(m2-1)i(m∈R).
(1)若z>0,求实数m的值;
(2)若z为虚数,求实数m的取值范围.
题组三　复数相等
9.若复数z1=a-i(a∈R),z2=1+bi(b∈R),z1=z2,则符合条件的点(a,b)(　　)
A.有1个　　B.有2个
C.在直线y=x上　　D.个数不确定
10.(2025陕西部分学校期中联考)已知复数z1=4-m2+mi(m∈R),z2=t+2cos θ+isin θ(t,θ∈R),若z1=z2,则t的取值范围为(　　)
A.[0,2]　　B.　　C.[2,6]　　D.
11.(2025天津经济技术开发区第一中学月考)若实数x,y满足(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中i为虚数单位,则xy=　　　　.
12.(2024江苏南通模拟)已知m∈R,i为虚数单位,若集合A={1,2m+(m-1)i},B={-2i,1,2},且A B,则m=　　　　.
答案与分层梯度式解析
第五章　复数
§1　复数的概念及其几何意义
1.1　复数的概念
基础过关练
1.A 2.A 3.D 4.C 5.AD 9.A 10.D
1.A　
2.A　∵复数z=a-2+(2a+1)i(其中i是虚数单位)的实部与虚部相等,∴a-2=2a+1 a=-3.
3.D　根据欧拉公式,可知=cos+isin =cos +
isin =+i,故复数的虚部为.
4.C　若复数z=(x+1)+(x2-1)i为实数,则x2-1=0,即x=±1.
又{-1}是{-1,1}的真子集,所以“x=-1”是“复数z=(x+1)+(x2-1)i为实数”的充分不必要条件.
5.AD　显然A正确;
若a=b=0,则z=a-b+(a+b)i=0,所以z∈R,所以B错误;
若a=b=0,则z=0,是复数,所以C错误;
因为虚数不能比较大小,所以若复数z1,z2满足z1>z2,则z1,z2均为实数,所以D正确.
6.答案　±;0
解析　z=cos+isin=-sin θ+icos θ.
当z是实数时,cos θ=0,
∵θ∈,∴θ=±;
当z为纯虚数时,
又θ∈,∴θ=0.
7.答案　2
解析　由题意可得解得m=2.
8.解析　(1)由z>0,知z为实数,
所以解得m=-1.
(2)若z为虚数,则m2-1≠0,所以m≠±1.
方法总结
　　若一个复数与一个实数之间存在大小关系,则这个复数必为实数.
9.A　由题意得a-i=1+bi,所以a=1,b=-1,即符合条件的点(a,b)为(1,-1),只有1个.
10.D　因为z1=z2,所以
则t=4-3sin2θ-2cos θ=3cos2θ-2cos θ+1=3cos θ-2+.
令x=cos θ,则x∈[-1,1],
易知t=3+在上单调递减,在,1上单调递增,
所以当x=时,tmin=,当x=-1时,tmax=6,
所以t的取值范围是.
11.答案　10
解析　根据复数相等的定义可得
解得所以xy=10.
12.答案　1
解析　由A B,得2m+(m-1)i=-2i①或2m+(m-1)i=2②,易知①无解,由②可得m=1.故m=1.
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