第五章　复数 1.2　复数的几何意义--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
1.2　复数的几何意义
基础过关练
题组一　复数与复平面内的点的对应关系
1.(2025北京丰台期中)在复平面内,复数z=1-3i对应的点位于(　　)
A.第一象限　　B.第二象限
C.第三象限　　D.第四象限
2.若复数z1与z2=-3-i(i为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称,则z1=(　　)
A.-3i　　B.-3+i　　C.3+i　　D.3-i
3.(多选题)(2024广东江门期末)已知复数z=m2-1+(m+1)i(m∈R),下列说法正确的是(　　)
A.若z为纯虚数,则m=1
B.若z为实数,则z=0
C.若z在复平面内对应的点在直线y=2x上,则m=-1
D.z在复平面内对应的点不可能位于第三象限
4.(2024江西南昌第十九中学等校期末)已知复数z=(2a-1)+ai(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限,则a的取值范围是　　　　.
5.(2024广东广州番禺中学期中)已知平行四边形ABCD,在复平面内,点A,B,C分别对应复数4+i,3+4i,3-5i,则点D对应的复数是　　　　.
6.已知i为虚数单位,当实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:
(1)位于第四象限
(2)在实轴负半轴上
(3)在上半平面内(含实轴)
题组二　复数与平面向量的对应关系
7.(2025河北邯郸五校期中联考)在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-3-7i,若点A关于实轴的对称点为B,则向量对应的复数为(　　)
A.7+3i　　B.3+7i
C.3-7i　　D.-3+7i
8.(2025江西新余第四中学模拟)在复平面内,若复数3+4i与2-i分别表示向量与,则表示向量的复数为(　　)
A.1+5i　　B.-1-5i
C.5+3i　　D.-5-3i
9.(2024山东青岛第二中学模拟)已知复数1+i与3i在复平面内对应的向量分别为和(其中i是虚数单位,O为坐标原点),则与的夹角为　　　　.
10.(2023湖南永州第四中学月考)如图,在复平面内有一个平行四边形ABCD,点A对应的复数为-1,对应的复数为2+2i,对应的复数为z,且=4+4i.
(1)求点D对应的复数;
(2)求平行四边形ABCD的面积.
题组三　复数的模
11.(2025北京大兴期中)已知复数z在复平面内对应的点为(-2,1),则|z|2=(　　)
A.3　　B.3-4i　　C.5-4i　　D.5
12.(2025浙江衢州五校联盟期中)已知复数z=cos -isin ,则|z|=(　　)
A.　　B.　　C.1　　D.
13.(2025浙江金砖联盟期中)已知复数z=(a+1)-ai(a∈R),则“a=0”是“|z|=1”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
14.(2024陕西西安月考)若复数z满足|z|=5,且z在复平面内对应的点位于第四象限,写出一个符合条件的复数z:　　　　.
15.(2025山东部分学校联考)已知复数z1=+i,z2=a-+(2a+2)i(a∈R).
(1)若|z1|=|z2|,求a的值;
(2)若z2在复平面内对应的点位于第二象限,求a的取值范围及|z2|的最小值.
16.(教材习题改编)已知复数z1=-i,z2=-+i.设z∈C,那么在复平面内,满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点的集合是什么图形
题组四　共轭复数
17.(多选题)(2025广东深圳宝安中学期中)已知复数z=-+i,为z的共轭复数,则(　　)
A.的实部为-
B.z的虚部与的虚部相同
C.|z|=||
D.在复平面内对应的点在第二象限内
18.在复平面内,复数z=1+i的共轭复数对应的向量为(　　)
19.(2024湖北荆州车胤中学月考)已知O为坐标原点,复数z对应的向量与a=(3,4)共线,其在复平面内对应的点Z位于第三象限,且|z|=10,则=(　　)
A.6+8i　　B.6-8i　　
C.-6-8i　　D.-6+8i
答案与分层梯度式解析
1.2　复数的几何意义
基础过关练
1.D 2.B 3.ABD 7.D 8.A 11.D 12.C 13.A
17.AC 18.C 19.D
1.D　复数z=1-3i在复平面内对应的点的坐标为(1,-3),位于第四象限.
2.B　复数z1与z2=-3-i(i为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称,则它们的实部相等,虚部互为相反数,所以z1=-3+i.
3.ABD　若z为纯虚数,则解得m=1,故A中说法正确;
若z为实数,则m+1=0,解得m=-1,则z=0,故B中说法正确;
z在复平面内对应的点的坐标为(m2-1,m+1),若该点在直线y=2x上,则m+1=2(m2-1),解得m=-1或m=,故C中说法错误;
令得无解,所以z在复平面内对应的点不可能位于第三象限,故D中说法正确.
4.答案　
解析　由复数z=(2a-1)+ai(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限,得解得05.答案　4-8i
解析　由题意可得A(4,1),B(3,4),C(3,-5),
设平行四边形ABCD的两条对角线的交点为M(xM,yM),点D(x,y),
结合中点坐标公式可得解得
即点D(4,-8),故点D对应的复数是4-8i.
6.解析　(1)要使复数z在复平面内对应的点位于第四象限,则∴∴-7(2)要使复数z在复平面内对应的点在实轴负半轴上,则∴∴m=4.
(3)要使复数z在复平面内对应的点在上半平面内(含实轴),则m2+3m-28≥0,解得m≥4或m≤-7.
7.D　依题意得,A(-3,-7),则点B(-3,7),
所以向量对应的复数为-3+7i.
8.A　因为=-,=(3,4),=(2,-1),
所以=(3,4)-(2,-1)=(1,5),
所以表示向量的复数为1+5i.
9.答案　
解析　根据题意得=(1,1),=(0,3),
∴cos<,>===,
又0≤<,>≤π,∴向量与的夹角为.
10.解析　(1)因为点A对应的复数为-1,
所以A(-1,0).
因为=4+4i,所以z=4-4i,所以=(4,-4).
设D(x,y),则=(x+1,y).
因为四边形ABCD为平行四边形,所以=,
即(x+1,y)=(4,-4),解得x=3,y=-4,
即D(3,-4),
故点D对应的复数为3-4i.
(2)由题意及(1)可知=(2,2),=(4,-4),
所以·=0,故⊥,
所以平行四边形ABCD为矩形.
易得||=2,||=4,
故平行四边形ABCD的面积为2×4=16.
11.D　由题意可得复数z的实部为-2,虚部为1,所以|z|2=(-2)2+12=5.
12.C　|z|==1.
13.A　当a=0时,z=1,所以|z|=1;
当|z|=1时,由|z|=|(a+1)-ai|==1,解得a=0或a=-1.
故“a=0”是“|z|=1”的充分不必要条件.
14.答案　z=3-4i(答案不唯一)
解析　设z=a+bi,a,b∈R,
因为|z|=5,所以a2+b2=25,
因为z在复平面内对应的点位于第四象限,
所以a>0,b<0,
故z可以为3-4i(答案不唯一).
15.解析　(1)因为|z1|==,所以|z2|===,
解得a=-或a=-1.
经检验均成立,故a的值为-或-1.
(2)复数z2=a-+(2a+2)i(a∈R)在复平面内对应的点为a-,2a+2,它位于第二象限,
则a-<0且2a+2>0,解得-1|z2|=
=≥,
当且仅当a=-时取等号,符合题意.
所以a的取值范围是,|z2|的最小值为.
16.解析　|z1|=|-i|==2,
|z2|===1.
∵|z2|≤|z|≤|z1|,∴1≤|z|≤2,其对应的点的集合是以原点O为圆心,1和2分别为半径的两个圆所夹的圆环(包括圆环的边界),如图中阴影部分所示.
17.AC　复数z=-+i的共轭复数为=--i,故的实部为-,z与的虚部不同,故A正确,B错误;|z|==1,||==1,则|z|=||,故C正确;在复平面内对应的点为-,-,在第三象限内,故D错误.
18.C　复数z=1+i的共轭复数为1-i,其在复平面内对应的向量=(1,-1).
19.D　设复数z=x+yi,x,y∈R,则=(x,y),
∵复数z对应的向量与a=(3,4)共线,
∴4x-3y=0①,由|z|=10得x2+y2=100②,
由①②可得x=6,y=8或x=-6,y=-8.
∵z在复平面内对应的点Z位于第三象限,
∴z=-6-8i,∴=-6+8i.
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