第五章　复数 2.1 复数的加法与减法--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
§2　复数的四则运算
2.1　复数的加法与减法
基础过关练
题组一　复数的加减运算
1.(2025福建福州闽侯第一中学月考)复数(3+i)-(1+2i)在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限　　B.第二象限
C.第三象限　　D.第四象限
2.(2025河北唐山滦南期中)若i为虚数单位,复数z1=1+2i,z2=2-3i,则|z1-+2i|=(　　)
A.2　　B.　　C.　　D.
3.(2024内蒙古包头期末)复数z1=a+3i,z2=-4+bi,其中a,b∈R,若z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数,则a+b=(　　)
A.-7　　B.-6　　C.6　　D.7
4.(2023浙江新高考研究测试)若z+=2,则|z|+2的实部可能是(　　)
A.3　　B.1　　C.3i　　D.i
5.(多选题)(2024湖南衡阳三校联考)已知复数z满足z+4-i=8+i,则下列说法正确的是(　　)
A.的虚部为-2
B.z-2为纯虚数
C.若z与复数a2+3a+(a2+5a+6)i(a∈R)相等,则a=1
D.z在复平面内对应的点位于第一象限
6.已知i为虚数单位,计算:
(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i);
(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)];
(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R).
题组二　复数加减法的几何意义
7.(2025江苏淮安调研)在复平面内,一个正方形的三个顶点对应的复数分别是2+i,-1+2i,0,则第四个顶点对应的复数是(　　)
A.-1+3i　　B.1+3i　　C.-1+i　　D.1+i
8.(2024江西重点中学协作体期末)已知复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　)
A.(x+1)2+y2=1　　B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1　　D.x2+(y+1)2=1
9.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是(　　)
A.等腰三角形　　B.直角三角形
C.等边三角形　　D.等腰直角三角形
10.(2025河北沧州四县期中联考)如图,在复平面内,每个小方格的边长均为1,向量,对应的复数分别为z1,z2,则|z1+z2|=(　　)
A.　　B.17　　C.5　　D.+2
11.(2024广东广州中学期中)在复平面内,对应的复数是1-i,对应的复数是1+i,则点B,D之间的距离是　　　　.
12.设向量,在复平面内分别与复数z1=5+3i,z2=4+i对应,试计算z1-z2,并把它对应的向量在复平面内表示出来.
能力提升练
题组一　复数的加减运算
1.(2024北京第八十中学月考)复数z=x+yi(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为(　　)
A.2　　B.4　　C.4　　D.16
2.(多选题)若z-=-14i,||=5,则z可能为(　　)
A.1-7i　　B.1+7i
C.-1-7i　　D.-1+7i
3.(多选题)(2025江苏盐城射阳中学阶段检测)复数z满足|z|=|z+i|=1,则(　　)
A.||=1　　B.z为纯虚数
C.z-=-i　　D.z+=
4.(2025浙江金兰教育合作组织期中)已知a,b∈R,复数z1=a+i,z2=-b-i,且z1+z2=0,若z=a+bi,则|z-i|的最小值为　　　　.
5.(2024河北邯郸期中)已知m∈R,复数z1=(m2+m)+(m2-1)i,z2=2m+i.
(1)若z1-z2在复平面内对应的点位于第三象限,求m的取值范围;
(2)设O为坐标原点,z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B(不与O重合),若·=0,求|z1-|.
题组二　复数加减法的几何意义的应用
6.(多选题)复数z满足|z-1|=|z+3|,则|z|(　　)
A.有最大值　　B.无最大值
C.有最小值　　D.无最小值
7.(2024广东惠州第一中学月考)已知复数z满足|z+i|=|z-i|,则|z+1+2i|的最小值为(　　)
A.1　　B.2　　C.　　D.
8.(2025重庆南开中学校期中)已知复数z满足|z+2-i|=2,则|z+i|的最大值为(　　)
A.2+2　　B.2+　　C.2+2　　D.4
9.(2025福建福州八中期末)已知复数z1=1+(10-a2)i,z2=(2a-5)i,a>0,+z2∈R.
(1)求实数a的值;
(2)若z∈C,|z-z2|=2,求|z|的取值范围.
答案与分层梯度式解析
§2　复数的四则运算
2.1　复数的加法与减法
基础过关练
1.D 2.B 3.A 4.A 5.AD 7.B 8.C 9.B
10.A
1.D　(3+i)-(1+2i)=2-i,其在复平面内对应的点为(2,-1),位于第四象限.
2.B　因为z2=2-3i,所以=2+3i,所以|z1-+2i|=|(1+2i)-(2+3i)+2i|=|-1+i|==.
3.A　由题得z1+z2=a-4+(3+b)i,z1-z2=a+4+(3-b)i,
因为z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数,所以
解得所以a+b=-7.
4.A　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,则z+=a+bi+a-bi=2,解得a=1,所以z=1+bi,
所以|z|+2=+2(1-bi)=(+2)-2bi,
则|z|+2的实部为+2,易知+2≥3,结合选项可知A符合题意.
5.AD　因为z+4-i=8+i,所以z=8+i-(4-i)=4+2i,
所以=4-2i,则的虚部为-2,故A正确;
z-2=2+2i,不是纯虚数,故B错误;
若z与复数a2+3a+(a2+5a+6)i(a∈R)相等,
则解得a=-4,故C错误;
复数z在复平面内对应的点为(4,2),位于第一象限,故D正确.
6.解析　(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)=(4-2i)-(5+6i)=-1-8i.
(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]=5i-(4+i)=-4+4i.
(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i.
7.B　记该正方形的三个顶点分别为O(0,0),A(2,1),B(-1,2),
设第四个顶点为D(m,n),由·=2×(-1)+1×2=0,得∠AOB=,
∴OD为正方形的一条对角线,则=+,
∴(m,n)=(2,1)+(-1,2),解得m=1,n=3,
∴D(1,3),即第四个顶点对应的复数为1+3i.
8.C　解法一:由复数的几何意义知|z-i|=1表示点Z(x,y)到点(0,1)的距离为1,即=1,故x2+(y-1)2=1.
解法二:由题意得z=x+yi,则z-i=x+(y-1)i,∴|z-i|==1,即x2+(y-1)2=1.
9.B　由题可得,复数z1对应向量,z2对应向量,
则|z1+z2|=|+|,|z1-z2|=|-|.
依题意有|+|=|-|,
∴以OA,OB为邻边所作的平行四边形是矩形,
∴△AOB一定是直角三角形.
10.A　由题意及题图可得+=(-1,2)+(2,2)=(1,4),所以z1+z2=1+4i,则|z1+z2|==.
11.答案　2
解析　因为=-,所以对应的复数是1+i-(1-i)=2i,则||=2,故点B,D之间的距离是2.
12.解析　z1-z2=(5+3i)-(4+i)=(5-4)+(3-1)i=1+2i.
记z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,则Z1(5,3),Z2(4,1),故=(1,2)即为z1-z2所对应的向量,如图所示:
能力提升练
1.C 2.AC 3.AC 6.BC 7.B 8.C
1.C　由z=x+yi(x,y∈R)且|z-4i|=|z+2|,得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,
∴x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,整理得x+2y=3,
∴2x+4y=2x+22y≥2=2=4,
当且仅当2x=22y,即x=,y=时,等号成立,
∴2x+4y的最小值为4.
2.AC　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,
由题得
解得或
所以z=1-7i或z=-1-7i.
3.AC　设z=a+bi,其中a,b∈R.
由题可知|z|==1,故a2+b2=1①.
又z+i=a+(b+1)i,所以|z+i|=,
由题可得a2+(b+1)2=1,即a2+b2+2b+1=1②.
将①代入②可得1+2b+1=1,解得b=-.
把b=-代入①可得a2+=1,即a2+=1,
解得a=±,所以z=±-i.
选项A,根据共轭复数的模的性质,可知||=|z|=1,故A正确.
选项B,纯虚数是指实部为0,虚部不为0的复数,而z=±-i的实部为±≠0,所以z不是纯虚数,故B错误.
选项C,当z=-i时,=+i,则z-=-=-i;
当z=--i时,=-+i,则z-=-=-i,故C正确.
选项D,当z=-i时,=+i,则z+=+=;
当z=--i时,=-+i,则z+=+=-,所以z+=±,故D错误.
4.答案　
解析　由z1+z2=0可得a+i+(-b-i)=0,可得a=b,
因此|z-i|=|a+bi-i|=
==≥=,
当且仅当a=时,|z-i|取得最小值,为.
5.解析　(1)易得z1-z2=(m2-m)+(m2-2)i,
因为z1-z2在复平面内对应的点位于第三象限,
所以解得0所以m的取值范围为(0,1).
(2)由题意得=(m2+m,m2-1),=(2m,1),
因为·=0,所以2m(m2+m)+m2-1=0,
即(m+1)2(2m-1)=0,解得m=-1(二重根)或m=,
当m=-1时,A(0,0),与O重合,不符合题意;
当m=时,A,B(1,1),符合题意,
此时z1=-i,z2=1+i,故=1-i,所以|z1-|==.
6.BC　因为|z-1|=|z+3|,
所以z在复平面内对应的点的集合是以点(1,0),(-3,0)为端点的线段的垂直平分线,
故|z|可看作该垂直平分线上的点与坐标原点间的距离,其最小值等于坐标原点到该直线的距离,无最大值.
所以|z|有最小值,无最大值.
7.B　设复数z在复平面内对应的点为Z,
因为复数z满足|z+i|=|z-i|,所以由复数加、减法的几何意义可知,点Z到点(0,-1)和(0,1)的距离相等,所以点Z的轨迹与x轴重合,
又|z+1+2i|表示点Z到点(-1,-2)(记为P)的距离,
所以问题转化为求x轴上的动点Z到定点P(-1,-2)的距离的最小值,易知|PZ|min=2,
所以|z+1+2i|的最小值为2.
8.C　由|z+2-i|=|z-(-2+i)|=2,得复数z在复平面内对应的点(记为Z)到复数-2+i对应的点(-2,1)(记为A)的距离为2,即点Z在以A(-2,1)为圆心,2为半径(记为r)的圆上,
易知|z+i|=|z-(-i)|,它表示复数z在复平面内对应的点Z到(0,-1)(记为B)的距离,
又圆心A(-2,1)到点B(0,-1)的距离d==2,所以点Z到点B的最大距离为d+r=2+2,即|z+i|的最大值为2+2.
9.解析　(1)因为z1=1+(10-a2)i,z2=(2a-5)i,a>0,
所以+z2=1-(10-a2)i+(2a-5)i=1+(a2+2a-15)i,
因为+z2∈R,所以a2+2a-15=0,
解得a=-5或a=3,因为a>0,所以a=3.
(2)由(1)知z2=i,
因为|z-z2|=2,所以z在复平面内对应的点的集合是以(0,1)为圆心,2为半径的圆.
故|z|可看作复数z在复平面内对应的点到坐标原点的距离,
所以2-1≤|z|≤2+1,即1≤|z|≤3.
故|z|的取值范围为[1,3].
规律总结
　　设动点P,定点A,B分别为复数z,z1,z2在复平面内对应的点,则:
(1)|z-z1|的几何意义为点P到点A的距离.
(2)复数方程|z-z1|=r(r>0)表示的图形是以点A为圆心,r为半径的圆.特别地,|z|=r表示的图形是以原点为圆心,r为半径的圆.
(3)复数方程|z-z1|=|z-z2|表示的图形为线段AB的垂直平分线.
(4)复数方程|z-z1|+|z-z2|=|AB|表示的图形为线段AB.
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