第五章　复数 2.2 复数的乘法与除法 2.3 复数乘法几何意义初探--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
2.2　复数的乘法与除法
*2.3　复数乘法几何意义初探
基础过关练
题组一　复数的乘、除法运算
1.(2025江西鹰潭模拟)已知复数z=a+2i(a∈R),若(2+i)·为纯虚数,则a=(　　)
A.4　　B.-4　　C.1　　D.-1
2.(2025江西赣州十八县(市、区)二十五校期中联考)若复数z满足(2-i)z=3+i,则复数z在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限　　B.第二象限
C.第三象限　　D.第四象限
3.(2025江西九师联盟期中)已知复数z满足=i,则=(　　)
A.1+i　　B.2+i　　C.2-i　　D.1-i
4.(多选题)(2024江西南昌外国语学校月考)下列关于非零复数z1,z2的结论正确的是(　　)
A.若z1,z2互为共轭复数,则z1·z2∈R
B.若z1·z2∈R,则z1,z2互为共轭复数
C.若z1,z2互为共轭复数,则=1
D.若=1,则z1,z2互为共轭复数
5.(2025江西萍乡模拟)若复数z满足(z+2i)(2+i)=3-i,其中i为虚数单位,则|z|=　　　　.
6.(2024江西南昌期末调研)已知复数z是关于x的方程x2+4x+5=0的一个根,且复数z在复平面内所对应的点位于第二象限.
(1)求z;
(2)若复数,z2在复平面内对应的向量分别为a,b,且(λa+b)⊥(a-b),求实数λ的值.
题组二　与in(n∈N)有关的计算
7.(2025江西景德镇质检)已知复数|4-3i|·z=1-2i2 025,则复数z的虚部为(　　)
A.-i　　B.-　　C.i　　D.
8.(多选题)(2024江西重点中学协作体期末)已知集合M={m|m=in,n∈N},其中i为虚数单位,则下列属于集合M的元素有(　　)
A.(1-i)(1+i)　　　　B.　　C.　　D.(1-i)2
9.已知i为虚数单位,则下列与i相等的是(　　)
A.　　B.(1-i)(1+i)
C.　　D.i+i2+i3+i4+…+i2 021
10.(2024湖南衡阳三校联考)若复数z=,则z+z2+z3+…+z99=　　　　.
题组三　复数乘法的几何意义
11.在复平面内,若复数z1=3+4i对应的向量为,复数z2=-8+6i对应的向量为,则(　　)
A.将按逆时针方向旋转,再伸长为原来的2倍得到
B.将按顺时针方向旋转,再伸长为原来的2倍得到
C.将按逆时针方向旋转,再压缩为原来的得到
D.将按顺时针方向旋转,再压缩为原来的得到
能力提升练
题组一　复数的混合运算
1.(2024江苏南通启东中学月考)已知f(n)=+(n∈N*),则集合{x|x=f(n),n∈N*}中元素的个数为(　　)
A.1　　B.2　　
C.3　　D.4
2.(2024江苏连云港高级中学月考)复数z=1+2i+3i2+4i3+…+2 024i2 023的虚部为(　　)
A.-1 011　　B.-1 012　　
C.1 011　　D.1 012
3.(多选题)(2024江西师范大学附属中学月考)复数z满足z3=1,且z≠1,则(　　)
A.|z|=1　　
B.z2=
C.=-z
D.zn+zn+1+zn+2=0,n∈N*
4.(多选题)(2025河南新未来联盟期末)已知z1,z2为复数,则下列结论一定正确的是(　　)
A.=·
B.=
C.=(z1,z2均不为0)
D.若|z1|=|z2|,则=
5.若复数z满足·=,且·>0,则|z|=　　　　.
6.(2024安徽六安一中期中)已知z是复数,z-i为实数,为纯虚数(i为虚数单位).
(1)求复数z和|z|;
(2)若复数z1=在复平面内对应的点在一次函数y=2x的图象上,求实数m的值.
题组二　复数范围内方程根的问题
7.(多选题)(2025江西南昌莲塘第一中学期末)已知a,b∈R,关于x的方程x2+ax+b=0有一个根为1+2i,i为虚数单位,另一个根为z,则(　　)
A.该方程不存在实数根
B.a=-2,b=5
C.z在复平面内对应的点在第三象限内
D.=
8.(2025山东济宁邹城期中)已知复数z1=a+bi(a,b∈R)为虚数.
(1)若z2=z1+是实数,求复数z1的模;
(2)若ω=z1-1,ω是关于x的方程x2-3x+3=0的一个根,求z1.
答案与分层梯度式解析
2.2　复数的乘法与除法
*2.3　复数乘法几何意义初探
基础过关练
1.D 2.A 3.D 4.AC 7.B 8.BC 9.D 11.A
1.D　由题意可得=a-2i,
因为(2+i)·为纯虚数,即(2+i)·=(2+i)(a-2i)=2a+2+(a-4)i为纯虚数,
所以解得a=-1.
2.A　由题意可得z===1+i,
所以复数z在复平面内对应的点为(1,1),位于第一象限.
3.D　因为=i,所以2-z==1-i,所以z=1+i,故=1-i.
4.AC　对于A,设z1=a+bi(a,b∈R,a与b不同时为0),则z2=a-bi,则z1·z2=a2+b2∈R,故A正确;
对于B,当z1=2+2i,z2=1-i时,z1·z2=4∈R,此时z1,z2不互为共轭复数,故B错误;
对于C,由z1,z2互为共轭复数,得|z1|=|z2|,从而=1,故C正确;
对于D,当z1=2+i,z2=1-2i时,|z1|=|z2|,即=1,此时z1,z2不互为共轭复数,故D错误.
5.答案　
解析　因为(z+2i)(2+i)=3-i,
所以z=-2i=-2i=1-i-2i=1-3i,
所以|z|==.
6.解析　(1)因为x2+4x+5=0,所以(x+2)2=-1,即(x+2)2=i2,所以x=-2+i或x=-2-i,
因为复数z在复平面内所对应的点位于第二象限,
所以z=-2+i.
(2)由(1)知z=-2+i,所以=-2-i,z2=3-4i,
所以a=(-2,-1),b=(3,-4),
所以λa+b=(-2λ+3,-λ-4),a-b=(-5,3),
因为(λa+b)⊥(a-b),所以(λa+b)·(a-b)=0,
即(-2λ+3)×(-5)+(-λ-4)×3=0,
所以10λ-15-3λ-12=0,解得λ=.
7.B　|4-3i|==5,i2 025=·i=i,
则5z=1-2i,∴z=-i,则复数z的虚部为-.
8.BC　依题意得M={1,i,-1,-i}.
(1-i)(1+i)=1+1=2 M,A错误;
===-i∈M,B正确;
===i∈M,C正确;
(1-i)2=-2i M,D错误.
方法技巧
　　计算复数的乘积要用到虚数单位i的乘方,有如下性质:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,n∈N.
9.D　==-i,故A不符合;
(1-i)(1+i)=12-i2=1+1=2,故B不符合;
===-i,故C不符合;
i+i2+i3+i4+…+i2 021=[i+(-1)+(-i)+1]+…+[i+(-1)+(-i)+1]+i=i,故D符合.
10.答案　-1
解析　z====i,
因为i2=-1,i3=-i,i4=1,所以i+i2+i3+i4=0,
所以z+z2+z3+…+z99
=i+i2+i3+i4+…+i93+i94+i95+i96+i97+i98+i99
=(i+i2+i3+i4)+…+(i93+i94+i95+i96)+i97+i98+i99
=i97+i98+i99
=i+i2+i3=-1.
11.A　因为-8+6i=(3+4i)·2i,
所以z2=z1·2i,
所以将按逆时针方向旋转,再伸长为原来的2倍得到.
能力提升练
1.B 2.B 3.ABD 4.AC 7.ABD
1.B　f(n)=+=+=2×(-1)n,∴{x|x=f(n),n∈N*}={2,-2},∴元素的个数为2.
2.B　z=1+2i+3i2+4i3+…+2 024i2 023
=(1+2i-3-4i)+(5+6i-7-8i)+…+(2 021+2 022i-2 023-2 024i)
==-1 012-1 012i,
其虚部为-1 012.
3.ABD　由z3=1得(z-1)(z2+z+1)=0,则z2+z+1=0,解得z=-±i,所以|z|=1,zn+zn+1+zn+2=zn(1+z+z2)=0,n∈N*,故A,D正确.
当z=-+i时,z2=,=z,当z=--i时,z2=,=z,故B正确,C错误.
4.AC　对于A,设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则z1z2=ac-bd+(ad+bc)i,
则=ac-bd-(ad+bc)i,
·=(a-bi)(c-di)=ac-bd-(ad+bc)i=,故A正确;
对于B,不妨取z1=1+i,则=(1+i)2=2i,=12+12=2,故≠,故B错误;
对于C,设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,a与b,c与d均不同时为0,则====
==
==,故C正确;
对于D,设z1=1+i,z2=1-i,满足|z1|=|z2|,
但=2i,=-2i,≠,故D错误.
5.答案　或
解析　由·=,
得z·++2=,即|z|2+=,
可得|z|=或|z|=.
又·>0,∴z·+>2,即|z|2+>2,
∴|z|=或|z|=都满足题意.
6.解析　(1)设z=a+bi(a,b∈R),则z-i=a+(b-1)i,
因为z-i为实数,
所以b-1=0,即b=1,
所以z=a+i,
则===,
因为为纯虚数,
所以2-2a=0,且a+4≠0,
解得a=1,所以z=1+i,故|z|=.
(2)由(1)知,z1====+i,则z1在复平面内对应的点为,
因为该点在一次函数y=2x的图象上,
所以=2·,解得m=3.
7.ABD　由1+2i是方程x2+ax+b=0的根,得(1+2i)2+a(1+2i)+b=0,整理得a+b-3+(4+2a)i=0,
因此解得故B正确;
对于A,由上述分析知方程为x2-2x+5=0,可得Δ=(-2)2-4×1×5=-16<0,所以该方程无实数根,故A正确;
对于C,对于方程x2-2x+5=0,由根与系数的关系可知1+2i+z=2,解得z=1-2i,其在复平面内对应的点为(1,-2),在第四象限内,故C错误;
对于D,由上述分析知===,所以==,故D正确.
方法技巧
　　如果实系数一元二次方程有虚根,那么有如下结论:(1)虚根以共轭复数的形式成对出现;(2)根与系数的关系仍然成立.
8.解析　(1)由复数z1=a+bi(a,b∈R)为虚数,知b≠0,
由题知z2=z1+=a+bi+=a+bi+=+i,
因为z2是实数,所以b-=0,即a2+b2=4,所以|z1|==2.
(2)由ω是方程x2-3x+3=0的一个根,可得ω2-3ω+3=0,即-3(z1-1)+3=0,即-5z1+7=0,由Δ=25-4×7=-3,可得z1=.
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