第五章　复数 复习提升--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
复习提升
易混易错练
易错点1　对复数相关概念理解不清致错
1.(2024吉林白山模拟)若复数z=i+2i2+3i3,则z的虚部为(　　)
A.2i　　B.-2i　　
C.2　　D.-2
2.已知复数z1=-4m+1+(2m2+3m)i,z2=2m+(m2+m)i,其中m∈R,当z1>z2时,m=　　　　.
3.(2025天津静海第六中学期中)已知i是虚数单位,复数z=(m2+2m-8)+(m-2)i,m∈R.
(1)若z是纯虚数,求m的值;
(2)是否存在实数m,使得z=
(3)若z在复平面内对应的点位于第三象限,求m的取值范围.
易错点2　对复数的几何意义考虑不全面致错
4.(2024福建厦门双十中学月考)设z为复数,若|z+2i|≤1,求|z|的最大值.
5.(2024安徽中国科技大学附属中学月考)在复平面内,O为坐标原点,向量,,分别对应复数z1,z2,z3,且z1=a2+(2-a)i,z2=-1+(3-2a)i,z3=2-mi,其中a,m∈R.已知+z2是纯虚数.
(1)求实数a的值;
(2)若Z1,Z2,Z3三点共线,求实数m的值.
易错点3　对复数范围内的方程问题考虑不全面致错
6.(2024湖南师范大学附属中学月考)已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有实根b,且z=a+bi,则复数z等于(　　)
A.2-2i　　B.2+2i　　
C.-2+2i　　D.-2-2i
7.(多选题)(2024辽宁沈阳模拟)设方程x2+x+1=0在复数范围内的两根分别为z1,z2,则下列判断中正确的有(　　)
A.=z2　　B.-=0
C.-=0　　D.z1z2=1
8.已知关于x的方程x2+kx-i=0有一个根是i,求另一个根及k的值.
思想方法练
一、分类讨论思想
1.若复数z=i+i2+i3+…+in,n∈N*,则|z|的最大值为(　　)
A.1　　B.　　C.　　D.2
2.设a>0,在C内解方程z2+2|z|=a.
二、函数与方程思想
3.(2025河北张家口期末)已知复数z满足=z-i,则z在复平面内所对应的点位于(　　)
A.第一象限　　B.第二象限
C.第三象限　　D.第四象限
4.(2025辽宁大连二十四中月考)设复数z满足|z+1|=|z-i|(i为虚数单位),则|z-i|的最小值为　　　　.
5.(2025陕西宝鸡期中)设a是实数,复数z1=1+2i,z2=(a+i)(1-i)(i是虚数单位).
(1)若z2在复平面内对应的点在第一象限内,求a的取值范围;
(2)求|+z2|的最小值.
三、数形结合思想
6.(2024四川遂宁射洪中学月考)已知复数z满足|z+3i|=|z-i|,则|z+1+2i|的最小值为(　　)
A.1　　B.3　　C.　　D.
7.(多选题)(2024安徽淮南期中)设复数z在复平面内对应的点为Z,则下列说法正确的有(　　)
A.若|z|=1,则z=±1或z=±i
B.若|z-(2+i)|=1,则|z|的最小值为-1
C.若z=-2i,则|z|=7
D.若1≤|z|≤,则点Z的集合所构成图形的面积为π
四、转化与化归思想
8.(2024浙江余姚中学月考)复数z1=-+i2的虚部是　　　　;若复数z2满足|z2|=1,则|+1+i|的取值范围为　　　　.
9.设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2.
(1)求|z|及z的实部的取值范围;
(2)设μ=,求证:μ是纯虚数;
(3)在(2)的条件下,求ω-μ2的最小值.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.D 6.A 7.ABD
1.D　z=i+2i2+3i3=i-2-3i=-2-2i,故z的虚部为-2.
易错警示
　　复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部是b,而不是bi.
2.答案　0
解析　因为z1>z2,所以z1,z2∈R,
所以解得m=0.
易错警示
　　当两个复数全为实数时,可以比较大小,否则不能比较大小,只能判断是否相等.
3.解析　(1)因为z是纯虚数,所以解得m=-4.
(2)由z=可知m-2=0,所以m=2,即存在实数m=2,使得z=.
(3)复数z=(m2+2m-8)+(m-2)i,m∈R在复平面内对应的点为(m2+2m-8,m-2),
由题知解得-4所以实数m的取值范围为(-4,2).
易错警示
　　(1)复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的条件是a=0,且b≠0,两者缺一不可.(2)实数的共轭复数是它本身.
4.解析　由复数及其运算的几何意义可得|z+2i|≤1表示复数z在复平面内对应的点的集合是以点(0,-2)为圆心,1为半径的圆及其内部,|z|表示复数z在复平面内对应的点到原点的距离,所以|z|的最大值为+1=3.
易错警示
　　若复数z在复平面内对应的点为Z,则|z|表示点Z到原点的距离;|z|=r(r>0)表示点Z的集合是以原点为圆心,r为半径的圆;|z-a-bi|(a,b∈R)表示点Z到点(a,b)的距离.遇到与此相关的题目时,可以借助复数及其运算的几何意义从几何角度解题.
5.解析　(1)由题意得+z2=a2-1+(1-a)i,
因为复数+z2是纯虚数,所以解得a=-1.
(2)由已知及(1)得z1=1+3i,z2=-1+5i,z3=2-mi,
则Z1(1,3),Z2(-1,5),Z3(2,-m),
所以=(-2,2),=(1,-m-3),
因为Z1,Z2,Z3三点共线,所以∥,
所以(-2)×(-m-3)=1×2,解得m=-2.
方法技巧
　　复数与复平面内的点、向量一一对应,因此可以利用向量知识解决复数问题.
6.A　由b是方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)的根可得b2+(4+i)b+4+ai=0,即b2+4b+4+(b+a)i=0,
所以所以所以z=2-2i.
易错警示
　　只有实系数一元二次方程才能利用判别式Δ讨论方程根的存在性.对于复系数一元二次方程ax2+bx+c=0,讨论其根的情况时,应先设方程的根为x=m+ni(m,n∈R),再代入方程,利用复数相等的充要条件转化为实数方程解决.
7.ABD　对于A,由实系数一元二次方程求根公式知z1=-+i,z2=--i,则==--i=z2(此结论与z1,z2的顺序无关),故A正确;
对于B,=·z1=z2z1,由根与系数的关系可得z1z2=1,同理=1,所以-=0,故B正确;
对于C,由A的分析知,-=z2-z1=-i≠0,故C错误;
对于D,由上述分析知D正确.
易错警示
　　实系数一元二次方程中的虚根是以共轭复数的形式成对出现的,但如果题设中没有直接交代一元二次方程的系数是实数,就不能得出上述结论.
8.解析　将x=i代入原方程得i2+ki-i=0,
由此可得k=1-i,设x0是方程的另一个根,则由根与系数的关系可得x0i=-i,解得x0=-1.
思想方法练
1.B 3.A 6.A 7.BD
1.B　因为i1=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,……,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i,i4k+4=1,k∈N,
in具有周期性,它的周期是4,此题中确定|z|时需分n=4k+1,n=4k+2,n=4k+3,n=4k+4(k∈N)四种情况讨论.
所以当n=4k+1(k∈N)时,z=i,则|z|=1;
当n=4k+2(k∈N)时,z=-1+i,则|z|=;
当n=4k+3(k∈N)时,z=-1,则|z|=1;
当n=4k+4(k∈N)时,z=0,则|z|=0.
所以|z|的最大值为.
2.解析　∵a,|z|∈R,∴z2=a-2|z|∈R,
∴z为实数或纯虚数.
由z2∈R,可得z为实数或纯虚数,再分类讨论.
①若z为实数,则原方程转化为|z|2+2|z|-a=0,所以|z|=-1+,所以z=±(-1+).
②若z为纯虚数,设z=bi(b≠0,b∈R),
于是方程转化为|b|2-2|b|+a=0.
(i)当0(ii)当a>1时,方程无解.
综上,当01时,z=±(-1+).
思想方法
　　分类讨论思想在复数问题中的应用非常广泛,如在研究与复数有关的方程问题时,要注意对根的情况进行分类讨论;in(n∈N*)具有周期性,周期为4,含有in的复数运算问题,一般会按照n被4除余数为0,1,2,3进行讨论.
3.A　设z=a+bi,其中a,b∈R,根据共轭复数的定义可知=a-bi.
将z=a+bi,=a-bi代入=z-i,可得=a+bi-i,而(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2+b2,则上式可化为=a+(b-1)i,
由复数相等的充要条件建立方程组求解.
所以
所以所以z=1+i,
在复平面内,复数z=1+i所对应的点的坐标为(1,1),该点位于第一象限.
4.答案　
解析　设z=a+bi,a,b∈R.
设出复数z的代数形式z=a+bi,a,b∈R,将已知条件转化为关于a,b的等式.
∵|z+1|=|z-i|,即|a+1+bi|=|a+(b-1)i|,
∴(a+1)2+b2=a2+(b-1)2,化简得a=-b.
∴|z-i|=|a+(b-1)i|===,
构造关于b的二次函数,利用配方法求最值.
∴当b=时,|z-i|min=.
5.解析　(1)z2=(a+i)(1-i)=a+1+(1-a)i,由题意得解得-1(2)由z1=1+2i,可得=1-2i,则+z2=a+2-(a+1)i,
∴|+z2|===,
利用二次函数的性质求最值.
∴当a=-时,|+z2|取得最小值,且最小值为.
思想方法
　　一般运用方程思想解决复数分类及复数相等中的参数问题,一般应用函数思想解决复数模的最值或者范围问题,求解时可根据题目条件,结合复数相关概念列式,再转化为函数(一般为二次函数)问题解决.
6.A　设复数z在复平面内对应的点为Z,
因为z满足|z+3i|=|z-i|,所以由复数及其运算的几何意义可知,点Z到点(0,-3)(记为A)和(0,1)(记为B)的距离相等,所以点Z在AB的垂直平分线上,即点Z的轨迹为直线y=-1,如图,
根据复数及其运算的几何意义画出图形求解.
|z+1+2i|表示点Z到点(-1,-2)的距离,
易知当Z的坐标为(-1,-1)时,|z+1+2i|最小,为1.
7.BD　对于A,当z=+i时,满足|z|==1,故A错误.
对于B,因为|z-(2+i)|=1,所以z在复平面内对应的点的集合是圆心为(2,1)(记为A),半径为1的圆,如图1,|z|表示圆上的点到原点(0,0)的距离,
由复数及其运算的几何意义画出z在复平面内对应的点所表示的图形,利用几何图形的性质解决最值问题.
易知当z对应的点为B时,|z|取得最小值,
则|z|min=-1=-1,故B正确.
对于C,|z|==,故C错误.
对于D,点Z的集合所构成的图形是以原点为圆心,1和分别为半径的两个圆所夹的圆环(包括圆环的边界),即图2中的阴影部分,其面积为π×()2-π×12=π,故D正确.
　
思想方法
　　在求复数模的最值问题时,可以利用复数及其运算的几何意义建立复数、复平面内的点的对应关系.
若复数z在复平面内对应的点为Z,则|z-(a+bi)|=r(r>0)表示点Z的集合是以点(a,b)为圆心,r为半径的圆;|z-(a+bi)|r表示点Z的集合为上述圆外部所有的点组成的集合;|z-(a+bi)|=|z-(c+di)|表示点Z的集合是以点(a,b)和(c,d)为端点的线段的垂直平分线.(a,b,c,d,r∈R)
8.答案　-;[-1,+1]
解析　z1==-i-=--i,故复数z1的虚部是-.
因为|z2|=1,所以可设z2=cos θ+isin θ,θ∈R,
设出复数的三角形式,将复数问题转化为三角函数问题求解.
则=cos θ-isin θ,
因此|+1+i|=|(1+cos θ)+(1-sin θ)i|===,
当θ∈R时,-1≤sin≤1,
所以3-2≤3-2sin≤3+2,
即(-1)2≤3-2sin≤(+1)2,
故-1≤|+1+i|≤+1,
所以|+1+i|的取值范围为[-1,+1].
9.解析　设z=a+bi(a,b∈R,且b≠0).
设出复数z的代数形式,将复数问题实数化.
(1)由题得ω=a+bi+=+i.
∵ω是实数,
∴b-=0,
∵b≠0,∴a2+b2=1,
即|z|=1,∴ω=2a.
又-1<ω<2,∴-∴z的实部的取值范围为.
(2)证明:μ====-i.
∵a∈,b≠0,
∴μ是纯虚数.
(3)ω-μ2=2a+=2a+=2a-=2a-1+=2-3,∵a∈,∴a+1>0,∴ω-μ2≥2×2-3=4-3=1,
当且仅当a+1=,即a=0(a=-2舍去)时,ω-μ2取得最小值,且最小值为1.
思想方法
　　在解决复数问题时,通过把复数z设成z=a+bi(a,b∈R)或者z=r(cos θ+isin θ)(r>0,θ∈R)的形式,将问题转化成关于实数a,b或r,θ的问题,实现复数问题实数化;利用点或者向量表示复数,实现将复数问题几何化.
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