第一章　三角函数 §1　周期变化--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
第一章　三角函数
§1　周期变化
基础过关练
题组一　周期现象
1.下列现象不是周期现象的是(　　)
A.“春去春又回”
B.钟表的分针每小时转一圈
C.“哈雷彗星”的运行时间
D.某同学每天上数学课的时间
2.(多选题)(2025河南南阳邓州春雨国文学校开学考试)已知△ABC是边长为2的等边三角形,使△ABC的顶点A与原点O重合,AB边在x轴非负半轴上,然后将△ABC沿着x轴顺时针滚动,每当顶点A再次回落到x轴上时,将相邻两个A之间的距离称为一个周期,则以下说法正确的是　　(　　)
A.一个周期是6
B.完成一个周期,顶点A的轨迹是一个半圆
C.完成一个周期,顶点A的轨迹长度是
D.完成一个周期,顶点A的轨迹与x轴围成的封闭图形的面积是+
题组二　周期函数
3.(多选题)(2025江苏盐城五校联盟期末)已知某周期函数f(x)在一个周期内的图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.当x=2 025时,f(x)取最大值
B.当x=2k1-1(k1∈Z)时,f(x)取最小值
C.当x∈[2 024,2 025]时,f(x)单调递增
D.f(x)的单调递减区间是[4k2-3,4k2-1](k2∈Z)
4.(多选题)(2025山东聊城一中月考)一半径为3.6米的水轮的示意图如图所示,水轮圆心O距离水面1.8米.已知水轮按逆时针方向匀速转动,每60秒转动一圈,当水轮上点P从水面开始浮现时(图中点P0的位置)计时,则下列判断正确的有(　　)
A.点P第一次到达最高点需要20秒
B.在水轮转动一圈的过程中,有40秒的时间,点P在水面的上方
C.当水轮转动95秒时,点P在水面上方,且点P距离水面1.8米
D.当水轮转动50秒时,点P在水面下方,且点P距离水面0.9米
5.(2025山东临沂学科素养水平监测)若函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且当x∈[0,2]时,f(x)=(x-1)2,则f=　　　　.
6.(2025湖北新高考协作体联考)已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=f(x+1)-f(x),f(1)=2,f(8)=5,则f(2 025)=　　　　.
7.(2023吉林白山临江第二中学月考)设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式.
答案与分层梯度式解析
第一章　三角函数
§1　周期变化
基础过关练
1.D 2.ACD 3.ACD 4.ABC
1.D　
2.ACD　依题意,完成一个周期,顶点A的运动轨迹如图中实线所示:
对于A,当顶点A再次回落到x轴上时,相邻两个A(即A与A″)之间的距离是6,即一个周期是6,故A正确;
对于B,完成一个周期,顶点A的轨迹由以B为圆心,2为半径的圆和以C'为圆心,2为半径的圆共同组成,不是一个半圆,故B错误;
对于C,由B知,完成一个周期,顶点A的轨迹长度是2××2π×2=,故C正确;
对于D,完成一个周期,顶点A的轨迹与x轴围成的封闭图形的面积等于两个以2为半径的圆的面积与△ABC的面积之和,即2×π×22+×22=+,故D正确.
3.ACD　由题图可知f(x)的最小正周期T=1-(-3)=4,f(x)在x=1处取得最大值,所以f(x)在x=4k+1,k∈Z处取得最大值,令4k+1=2 025,解得k=506∈Z,故A正确;
当k1=1时,x=2×1-1=1,此时f(x)取最大值,故B错误;
易知f(x)在[0,1]上单调递增,因为f(x)的最小正周期为4,所以f(x)在[4×506,4×506+1]上单调递增,即当x∈[2 024,2 025]时,f(x)单调递增,故C正确;
由题图知,在一个周期内,f(x)的单调递减区间是[-3,-1],因为f(x)的最小正周期为4,所以f(x)的单调递减区间是[4k2-3,4k2-1](k2∈Z),故D正确.
4.ABC　如图,记开始计时时,水轮与水面的另一个交点为P3,过O作直径P1P4,使P1P4⊥P0P3,垂足为A,连接OP3,P0P3,
依题意知OA=1.8米,所以∠AOP0=60°,故∠P0OP1=120°,
点P从P0处开始运动,第一次到达最高点P1需要的时间为×60=20(秒),故A正确.
根据对称性可知,点P由P0运动到P3需要的时间为20×2=40(秒),故B正确.
当水轮转动95秒时,点P的位置与转动95-60=35秒时相同,
当水轮转动35秒时,转过的角度为×360°=210°,
此时点P在图中P2的位置,连接OP2,其中OP1⊥OP2,故此时点P在水面上方,距离水面1.8米,故C正确.
当水轮转动50秒时,转过的角度为×360°=300°,
此时点P在图中P4的位置,在水面下方,距离水面3.6-1.8=1.8(米),故D错误.
5.答案　
解析　∵函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),即f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期为2的周期函数,
又当x∈[0,2]时,f(x)=(x-1)2,
∴f=f=f==.
6.答案　3
解析　∵f(x+2)=f(x+1)-f(x),
∴f(x+3)=f(x+2)-f(x+1),
两式相加,得f(x+3)=-f(x),∴f(x+6)=-f(x+3)=f(x),
∴f(x)是周期为6的周期函数,∴f(2 025)=f(337×6+3)=f(3),∵f(1)=2,f(8)=f(6+2)=f(2)=5,∴f(3)=f(2)-f(1)=5-2=3,∴f(2 025)=f(3)=3.
7.解析　(1)证明:∵f(x+2)=-,
∴f(x+4)=-=-=f(x),
∴f(x)是周期为4的周期函数.
(2)当x∈[2,4]时,-x∈[-4,-2],∴4-x∈[0,2],
∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8.
由(1)及题意可得f(4-x)=f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=-x2+6x-8,∴f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].
规律总结
　　对f(x)定义域内任一自变量x:(1)若f(x+a)=-f(x)(a>0)恒成立,则f(x)为周期函数,且周期T=2a;(2)若f(x+a)=(a>0)恒成立,则f(x)为周期函数,且周期T=2a;(3)若f(x+a)=-(a>0)恒成立,则f(x)为周期函数,且周期T=2a.
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