第一章　三角函数 §3　弧度制--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
§3　弧度制
基础过关练
题组一　角度与弧度的换算
1.(2024江西赣州四中开学考试)将-315°化为弧度,正确的是(　　)
A.-　　B.-　　C.-　　D.
2.(2025江西多校学情联合检测)把化成角度为(　　)
A.85°　　B.105°　　C.165°　　D.215°
3.已知α=15°,β=,γ=1,θ=105°,φ=,则α,β,γ,θ,φ的大小关系为　　　　　　.
题组二　弧度制与终边相同的角
4.(2025湖南邵阳期末联考)用弧度制表示与2 025°角终边相同的角(记为α)的集合为(　　)
A.
B.
C.
D.
5.(2025江西宜春丰城第九中学段考)有下列命题:①第四象限角可表示为α2kπ+π<α<2kπ,k∈Z;②若角α与角β不相等,则α与β的终边不可能重合;③将表的分针拨快10分钟,则分针转过的角为-;④若角α与角β的终边在一条直线上,则α-β=kπ(k∈Z).其中真命题的个数是(　　)
A.0　　B.1　　C.2　　D.3
6.如图,用弧度制表示顶点为原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边落在阴影部分(包括边界)内的角的集合.
题组三　弧度制的应用
7.(2025河南驻马店月考)已知某扇形的面积和周长分别为6,10,则该扇形的圆心角为(　　)
A.第一或第三象限角　　B.第二或第三象限角
C.第一或第二象限角　　D.第三或第四象限角
8.(2024江西景德镇期中质量检测)古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画,题字题画的扇面多为扇环形,已知某纸扇的扇面如图所示,其中外弧长与内弧长之和为89 cm,连接外弧与内弧的两端的线段长均为18 cm,且该扇环所对的圆心角的弧度数为2.5,则该扇环的外弧长为(　　)
A.63 cm　　B.65 cm　　C.67 cm　　D.69 cm
9.(2025河北张家口尚义一中开学考试)周长为4 cm的扇形的面积取得最大值时,其半径为　　　　cm.
10.(2025河南南阳淅川一中测评)在一块顶角为,腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形,现有如图所示的两种方案.
(1)求两种方案中扇形的周长之差的绝对值;
(2)比较两种方案中的扇形面积的大小.
能力提升练
题组一　弧度制与终边相同的角
1.把-表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,则使|θ|最小的θ的值是(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
2.(2025江西上饶第一中学月考)如果角α与角x+的终边相同,角β与角x-的终边相同,那么α与β之间的关系是(　　)
A.α+β=0　　B.α-β=
C.α+β=2kπ(k∈Z)　　D.α-β=2kπ+(k∈Z)
题组二　弧度制的综合应用
3.(2025江西赣州南康中学月考)我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题:“今有圆材埋壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何 ”现有一类似问题:不确定大小的一段圆柱形木材的一部分埋在墙壁中,用锯去锯这段木材,若锯口深CD=2-,锯道AB=2,其截面如图所示,则图中弧与弦AB围成的弓形面积为(　　)
A.π　　B.π-2　　C.4　　D.2π-2
4.(2025福建福州第三中学质量检测)如图所示,在以坐标原点O为圆心,1为半径的圆上,两动点P,Q从点A(1,0)处同时出发做匀速圆周运动.已知点P按逆时针方向每秒钟转α弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转β弧度(0<α<β<π),且P,Q两点在第2秒末第一次相遇于点处,则它们从出发后到第
2次相遇时,点P走过的总路程为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
5.(2024江西联考)扇形拼盘是一种可以在宴会或聚会中展示美食的独特器具,它不仅可以为食物增添美观的视觉效果,还可以使每个人轻松享用到不同的食物.已知某扇形拼盘如图所示,其示意图可以看成是由中间的一个直径为24 cm的圆,四周是8个相同的扇环组成的,寓意“八方进宝”.若每个扇环的周长为(32+10π)cm,则每个扇环的面积
为　　　　cm2.
6.(2023河北石家庄二中月考)已知扇形的圆心角α=60°,角α所对的弧长l=6π,则该扇形的面积与其内切圆面积的比值为　　　　.
7.(2024福建平山武夷山一中期中)《九章算术》是中国古代著名的数学专著,其中《方田》章给出了“弧田”“弦”和“矢”的定义,“弧田”(如图中阴影部分)是由圆弧和其所对的弦围成的,“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.
(1)当圆心角为,“矢”为2时,求“弧田”的面积;
(2)已知该扇形的圆心角为α,半径为r,周长是一定值c(c>0),当α为多少弧度时,该扇形的面积最大
答案与分层梯度式解析
§3　弧度制
基础过关练
1.C 2.C 4.D 5.C 7.C 8.C
1.C　-315°=-315×=-.
2.C　 rad=×=165°.
3.答案　α<β<γ<θ=φ
解析　解法一(角度化为弧度):α=15°=15×=,θ=105°=105×=,因为<<1<,所以α<β<γ<θ=φ.
解法二(弧度化为角度):β==×=18°,γ=1≈57.30°,φ==×=105°,因为15°<18°<57.30°<105°,所以α<β<γ<θ=φ.
方法技巧
　　在进行角度与弧度的换算时, 抓住关系式π rad=180°是关键,由它可以得到角度数×=弧度数, 弧度数×=角度数.
4.D　2 025°=2 025×==12π-,所以与2 025°角终边相同的角α的集合为.
5.C　对于①,第四象限角可表示为α2kπ+π<α<2kπ+2π,k∈Z,故①错误;
对于②,若α=2π,β=4π,则α≠β,但二者的终边重合,故②错误;
对于③,将表的分针拨快10分钟,是顺时针旋转,所以分针转过的角为-,故③正确;
对于④,角α与角β的终边在一条直线上,则二者的终边重合或相差π的整数倍,故α-β=kπ(k∈Z),故④正确.
综上所述,真命题的个数为2.
6.解析　题图(1)中,∵330°角与-30°角的终边相同,且-30°=-,75°=,∴所求角(记为α)的集合为α2kπ-≤α≤2kπ+,k∈Z.
题图(2)中,∵30°=,90°=,∴所求角(记为β)的集合为β≤β≤kπ+,k∈Z.
7.C　设扇形的半径为r,弧长为l,圆心角为α,
则可得r2-5r+6=0,解得r=2或r=3.
当r=2时,l=6,α==3,是第二象限角;
当r=3时,l=4,α=,是第一象限角.
综上所述,该扇形的圆心角为第一或第二象限角.
方法总结
　　与扇形有关的计算问题通常涉及四个量:半径r,圆心角α,弧长l,面积S.已知其中任意两个量即可求其余两个量.
8.C　如图,设弧的长为a cm,弧的长为b cm.
因为扇形圆心角的弧度数为2.5,
所以a=2.5OA,b=2.5OC,
即OA= cm,OC= cm,
所以AC=OA-OC= cm,又AC=18 cm,所以=18,
所以a-b=45,联立解得
所以该扇环的外弧长为67 cm.
9.答案　1
解析　设扇形的半径为R cm,圆心角为α,面积为S cm2,
则αR+2R=4,即α=,
则S=αR2=××R2=-R2+2R=-(R-1)2+1,
可知当R=1时,扇形的面积S取得最大值,为1.
10.解析　(1)已知∠AOB=,OA=OB=2.
方案一:设扇形的半径为R1,圆心角为α1,易得R1=2,α1=,则扇形的周长为2R1+×R1=2×2+=4+;
方案二:设扇形的半径为R2,圆心角为α2,易得R2=1,α2=,则扇形的周长为2R2+×R2=2×1+=2+.
所以两种方案中扇形的周长之差的绝对值为4+-2+=2-.
(2)由(1)可得,方案一中扇形的面积为α1=××22=;
方案二中扇形的面积为α2=××12=.
因为=,所以两种方案中的扇形面积的大小相等.
能力提升练
1.A 2.D 3.B 4.C
1.A　∵-=-2π-,∴-与-是终边相同的角,且此时-=是最小的.
2.D　利用终边相同的角的关系,得α=2nπ+x+(n∈Z),β=2mπ+x-(m∈Z),
则α+β=2(m+n)π+2x(n∈Z,m∈Z),因为m,n是整数,所以m+n也是整数,用k1(k1∈Z)表示,即α+β=2k1π(k1∈Z),只有当k1取0时,α+β=0,故A,C错误;
α-β=2(n-m)π+(n∈Z,m∈Z),因为m,n是整数,所以n-m也是整数,用k2(k2∈Z)表示,即α-β=2k2π+(k2∈Z),只有当k2取0时,α-β=,故B错误,D正确.
3.B　设木材截面圆的半径为r,则(r-CD)2+=r2,即+()2=r2,所以r=2,
所以OA2+OB2=AB2,所以OA⊥OB,所以弧与弦AB围成的弓形面积为×r2-r2=π-2.
4.C　由题意可得点P按逆时针方向转到点处,转了弧度解得α=,β=π.
设P,Q两点在第t秒末第二次相遇,则×t+×t=4π,解得t=4,
所以第二次相遇时,点P走过的总路程为4××1=.
5.答案　80π
解析　根据题意得扇环所在扇形的圆心角为,设扇环所在圆的半径为r cm,
则×12+r+2(r-12)=32+10π,解得r=28,
所以每个扇环的面积为××282-××122=80π(cm2).
6.答案　
解析　扇形的圆心角α=60°=,
设扇形的半径为R,因为角α所对的弧长l=6π,
所以R·=6π,解得R=18,
故扇形的面积为×6π×18=54π.
设扇形的内切圆的圆心为O,半径为r,如图所示,
显然∠APO=,OA=OB=r,PB=R=18,
由sin∠APO=,得=,所以r=6,所以扇形的内切圆的面积为π·62=36π,因此该扇形的面积与其内切圆面积的比值为=.
7.解析　(1)如图所示,由已知得∠AOB=,CD=2,
设扇形的半径为R,
则AB=2Rsin=R,OD=R·cos =,∴CD=OC-OD=R-=2,解得R=4,
∴“弧田”的面积为S扇形AOB-S△AOB=πR2-·OD·AB=R2-R2=-4.
(2)设扇形的弧长为l,则l=αr,
故该扇形的周长为αr+2r=c,∴r=,
∴扇形的面积S=αr2==≤=,当且仅当α=,即α=2时,等号成立,故当α为2弧度时,该扇形的面积最大.
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