第一章　三角函数 §6　函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
§6　函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象
基础过关练
题组一　图象变换和作法
1.(2025江西南昌第二中学月考)要得到函数y=cos的图象,只需将函数y=cos x图象上的所有点(　　)
A.先向右平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)
B.先向右平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)
C.横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度
D.横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),再向右平移个单位长度
2.(2025湖北新高考协作体联考)要得到函数y=-sin 2x的图象,只需要将函数y=cos2x+图象上的所有点(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
3.(多选题)(2024福建漳州期末)要得到函数y=2cos的图象,只需(　　)
A.将函数y=2cos 3x图象上的所有点向左平移个单位长度
B.将函数y=2cos 3x图象上的所有点向左平移个单位长度
C.将函数y=2sin 3x图象上的所有点向左平移个单位长度
D.将函数y=2sin 3x图象上的所有点向右平移个单位长度
4.(2025广东和美联盟联考)将函数f(x)=2sin x图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍,横坐标缩短为原来的,再将所得的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)=　　　　　　　.
5.已知函数f(x)=3sin,x∈R.
(1)列表并在下面的坐标系中画出函数f(x)在一个周期内的简图;
(2)将函数y=sin x的图象进行怎样的变换可得到函数f(x)的图象
题组二　由图象确定函数解析式
6.(2024江西部分高中联考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,则f(x)=(　　)
A.sin　　B.sin
C.sin　　D.sin
7.(2025辽宁沈阳120中学质量监测)函数y=Asin(ωx+φ)A<0,ω>0,|φ|≤的部分图象如图所示,则此函数的解析式为(　　)
A.y=-4sin　　B.y=4sin
C.y=-4sin　　D.y=4sin
8.(2024河北承德联考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+bA>0,0≤ω≤6,|φ|<的部分图象如图所示,则f(x)=(　　)
A.2sin+1　　B.3sin
C.2sin+1　　D.2sin+1
9.(2025北京海淀一模)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,若A,B,C,D四点在同一个圆上,则ω=　　　　.
10.函数f(x)=Asin+1(A>0,ω>0)的最大值为3,其图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设α∈, f=2,求α的值.
题组三　函数y=Asin(ωx+φ)(y=Acos(ωx+φ))的性质
11.(2025江苏苏州期中调研)函数f(x)=cos3x+图象的一个对称中心是(　　)
A.　　B.
C.　　D.
12.(2025湖北七市州联合统一调研测试)把函数f(x)=sin(4x+φ)图象上的所有点向右平移个单位长度后,得到偶函数g(x)的图象,则φ=(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
13.(2025江西南昌新民外语学校月考)已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增,则ω的取值范围是(　　)
A.(0,2]　　B.(0,4]　　C.(0,6]　　D.(0,8]
14.(多选题)(2025江西景德镇昌江一中模考)已知函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,则(　　)
A.f(x)和g(x)的最小正周期相同
B.f(x)和g(x)在区间上的单调性相同
C.将f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后得到g(x)的图象
D.f(x)和g(x)的图象关于直线x=对称
15.(2025江西九师联盟联考)函数y=2sin2x+-3cos的最大值为　　　　.
16.(2024山东临沂期末)已知函数f(x)=2cos(ωx-φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为4π,且图象经过点(0,1).
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)当x∈[0,2π]时,求f(x)的最值以及取得最值时x的值.
17.(2024江西抚州联考)已知函数f(x)=4sin(2x+φ)的图象关于点,0对称.
(1)求φ的值;
(2)求f(x)的单调递增区间;
(3)将f(x)图象上各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求g(x)在上的值域.
能力提升练
题组一　函数y=Asin(ωx+φ)的奇偶性、周期性与图象的对称性
1.(2025山西部分学校联考)已知函数f(x)=sinωx+的图象关于点对称,则函数y=|f(x)|的最小正周期为(　　)
A.　　B.
C.2π　　D.或2π
2.(多选题)(2025四川德阳天立高级中学教学质量检测)已知函数f(x)=2sin2x++φ|φ|<的图象的一条对称轴的方程是x=,则(　　)
A.φ=　　B.φ=-
C.f是偶函数　　D.f是奇函数
3.(2025辽宁大连滨城高中联盟月考)函数f(x)=sin(ω>0)的周期T=π,设x1<0A.　　B.
C.　　D.
4.(2025江西南昌第二中学月考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,C为图象与y轴的交点,B为图象与x轴的一个交点,且BC=,则函数f(x)图象的一条对称轴的方程可能为(　　)
A.x=　　B.x=1　　C.x=3　　D.x=
5.(多选题)(2024江西新余期末质量检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.φ=
B.函数f(x)的图象关于直线x=对称
C.将函数f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度,得到函数y=2sin 2x的图象
D.若方程f(x)=m(m∈R)在上有两个不相等的实数根x1,x2,则cos(x1+x2)=
6.(2024北京育才学校月考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),且f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,且　　　　.
从下面的①、②、③三个条件中任选两个作为已知条件补充在横线上,再解答下列问题.
①f(x)的最小值为-2;
②f(x)图象的一个对称中心为;
③f(x)的图象经过点.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的解析式;
(3)若f(x)图象的对称轴只有一条落在区间[0,a](a>0)上,求实数a的取值范围.
题组二　函数y=Asin(ωx+φ)的单调性与最值
7.(2025河南南阳六校联盟体联考)函数f(x)=log2(cos 2x)的单调递减区间和值域分别为(　　)
A.2kπ,+2kπ(k∈Z),R
B.2kπ,+2kπ(k∈Z),R
C.kπ,+kπ(k∈Z),(-∞,0]
D.kπ,+kπ(k∈Z),(-∞,0]
8.(2025山东济宁实验中学质量检测)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)满足f(x)≤,若0A.-　　B.　　C.　　D.-
9.(2025江西南昌第二中学月考)已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递增,且对任意x∈,都有f(x)≥0,则ω的取值范围为(　　)
A.　　B.[2,6]
C.　　D.
10.(2025山东部分学校学业水平联合检测)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<,f=0,当x=-时,f(x)取得最值,且当x∈时,f(x)单调递增,则f(x)在[-π,π]上的零点个数为　　　　.
11.(2024江西宜春部分中学联考)已知A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上的任意两点,f(0)=-1,且当|f(x1)-f(x2)|=2时,|x1-x2|的最小值为π.
(1)求f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上的所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,再将所得图象上的所有点向左平移个单位长度,得到y=g(x)的图象,若g(x)在区间(0,m)上有最大值没有最小值,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
§6　函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象
基础过关练
1.C 2.A 3.ACD 6.A 7.A 8.A 11.B 12.B
13.B 14.ABD
1.C　解法一(先平移后伸缩):
y=cos x的图象y=cos的图象y=cos的图象,故C正确.
解法二(先伸缩后平移):
y=cos x的图象y=cos x的图象y=cos =cosx-的图象,故C正确.
2.A　∵y=-sin 2x=cos=cos 2,
y=cos=cos 2=cos 2,
∴只需要将函数y=cos图象上的所有点向左平移个单位长度,即可得到函数y=-sin 2x的图象.
方法总结
　　在三角函数图象的变换中,若变换前与变换后函数名不相同,则应先利用诱导公式将函数化为同名三角函数,再利用相应的变换得到结论.
3.ACD　将y=2cos 3x图象上的所有点向左平移个单位长度,得到y=2cos 3=2cos3x+的图象,故A正确,B错误;
将y=2sin 3x图象上的所有点向左平移个单位长度,得到y=
2sin 3=2sin=2cos3x+的图象,故C正确;
将y=2sin 3x图象上的所有点向右平移个单位长度,得到y=
2sin 3=2sin=2sin-3x=2cos的图象,故D正确.
4.答案　4sin
解析　将函数f(x)=2sin x图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍,得到函数y=4sin x的图象,
再将所有点的横坐标缩短为原来的,得到函数y=4sin 4x的图象,
最后将其向右平移个单位长度,得到函数g(x)=4sin 4x-=4sin的图象.
5.解析　(1)函数f(x)的最小正周期T==4π.
列表如下:
x- 0 π 2π
x
f(x)=3sinx- 0 3 0 -3 0
描出五个关键点并用光滑的曲线顺次连接,得到f(x)在一个周期内的简图如下.
(2)先把函数y=sin x图象上的所有点向右平移个单位长度,然后把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变),即可得到函数f(x)的图象.
6.A　由题图可知A=,f(x)的最小正周期T=4×=,则ω==5,
由f =,得5×+φ=+2kπ,k∈Z,
又|φ|<,所以k=0,φ=-,
所以f(x)=sin.
7.A　由题图可知A=-4,T=14-(-2)=16,
所以T=16=,解得ω=,
又因为函数y=-4sin过点(2,-4),
所以-4sin=-4,
所以sin=1,即+φ=+2kπ(k∈Z),
解得φ=+2kπ(k∈Z),
又|φ|≤,所以φ=,所以y=-4sin.
8.A　由题图可知f(x)max=A+b=3,f(x)min=-A+b=-1,
解得A=2,b=1,所以f(x)=2sin(ωx+φ)+1,
由f(0)=2,得sin φ=,而|φ|<,所以φ=,
所以f(x)=2sin+1,
由f =0,得sin=-,
即ω+=-+2kπ或ω+=-+2kπ,k∈Z,
解得ω=-+或ω=-+,k∈Z,
函数f(x)的周期为,
显然有<<,解得<ω<,
又0≤ω≤6,所以ω=3,
所以f(x)=2sin+1.
9.答案　
解析　连接BC交x轴于E,如图,
因为A,B,C,D四点在同一个圆上,且A,D和B,C均关于点E对称,所以E为圆心,故AE=BE,
因为AE=T=·=,BE==,所以=,
又ω>0,所以ω=.
10.解析　(1)∵函数f(x)的最大值为3,
∴A+1=3,即A=2.
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为,
∴最小正周期T=π,
∴ω=2,
故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin+1.
(2)∵f=2sin+1=2,
∴sin=.
又∵0<α<,∴-<α-<,
∴α-=,故α=.
11.B　令3x+=+kπ,k∈Z,解得x=+,k∈Z,
当x=时,k=0,而x=,x=-,x=-均不满足x=+,k∈Z,所以函数图象的一个对称中心是.
12.B　把函数f(x)=sin(4x+φ)图象上的所有点向右平移个单位长度,得到函数g(x)=sin4x-+φ的图象,
因为g(x)是偶函数,
所以-+φ=kπ+(k∈Z),解得φ=kπ+(k∈Z),
又-<φ<,所以φ=-.
13.B　解法一:令-+2kπ≤ωx-≤+2kπ,k∈Z,
得-+≤x≤+,k∈Z,
令k=0,得-≤x≤,
因为函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增,所以≥,所以0<ω≤4,
即ω的取值范围是(0,4].
解法二:因为0≤x≤,所以-≤ωx-≤-,又函数f(x)在上单调递增,所以-<-≤,解得0<ω≤4,即ω的取值范围是(0,4].
14.ABD　对于A,f(x)和g(x)的最小正周期均为π,故A正确;
对于B,当x∈时,2x∈,所以f(x)单调递增,当x∈时,2x-∈,所以g(x)单调递增,故B正确;
对于C,将f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后得到函数f=sin的图象,故C错误;
对于D,f=sin=sin=g(x),故D正确.
15.答案　1
解析　因为y=2sin-3cos
=2sin-3cos
=2sin-3sin
=-sin,
所以y≤1当2x+=2kπ-,k∈Z,即x=kπ-,k∈Z时取“=”,即ymax=1.
16.解析　(1)∵f(x)=2cos(ωx-φ)的最小正周期为4π,∴=4π,∴ω=,
∵f(x)的图象经过点(0,1),
∴f(0)=2cos(-φ)=2cos φ=1,解得cos φ=,
∵0<φ<π,∴φ=,∴f(x)=2cos,
令2kπ≤-≤2kπ+π,k∈Z,
得4kπ+≤x≤4kπ+,k∈Z,
故函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.
(2)当x∈[0,2π]时,-∈,
则cos∈,
故当-=0,即x=时,函数f(x)取得最大值2,
当-=,即x=2π时,函数f(x)取得最小值-1.
17.解析　(1)依题意得f =4sin=0,
则+φ=kπ,k∈Z,解得φ=-+kπ,k∈Z,
又|φ|<,所以φ=.
(2)由(1)得f(x)=4sin,
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(3)由(2)及题得,g(x)=4sin,
由x∈,得4x+∈,
所以当4x+=-时,g(x)取得最小值,为4sin-=-2,
当4x+=时,g(x)取得最大值,为4sin =4,
故g(x)在上的值域为[-2,4].
能力提升练
1.A 2.BC 3.B 4.D 5.ACD 7.D 8.D 9.C
1.A　因为函数f(x)=sin的图象关于点对称,所以ω×+=kπ,k∈Z,即+=k,k∈Z,
则<ω=2k-<3,k∈Z,故1当k=2时,ω=,故f(x)的最小正周期为=,
所以y=|f(x)|的最小正周期为.
2.BC　由题意可得f=2sin=±1,故2×++φ=+kπ,k∈Z,故φ=-+kπ,k∈Z,
又因为|φ|<,所以φ=-,故A错误,B正确;
f(x)=2sin=2sin,
则f=2sin2+=2sin=2cos 2x,为偶函数,故C正确;
f=2sin2+=2sin,不是奇函数,故D错误.
技巧点拨
　　若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的图象关于直线x=a对称,则直线x=a必过该图象的最高点或最低点,故有f(a)=±A.
3.B　因为函数f(x)=sin(ω>0)的周期T=π,
所以ω==2,所以f(x)=sin,
令2x+=kπ(k∈Z),得x=-+(k∈Z),所以f(x)=sin的图象的对称中心为(k∈Z),
因为f(x1)+f(x2)=0,所以f(x1)=-f(x2),
所以点(x1,f(x1))与点(x2,f(x2))关于(k∈Z)对称,所以x1+x2=
-+kπ(k∈Z),
因为x1<0当x1=0时,x2=,此时|x1-x2|=,
当x2=0时,x1=-,此时|x1-x2|=,
又x1,x2均不为0,所以|x1-x2|>.
4.D　由题图可知A=2,则f(x)=2sin(ωx+φ).
设C(0,yC),由B,得BC==,即+=,
所以yC=-(由题中图象可知C点纵坐标为负).
因为C(0,-)在f(x)=2sin(ωx+φ)的图象上,
所以f(0)=2sin φ=-,即sin φ=-,
又因为|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=2sin.
因为B在f(x)=2sin的图象上,
所以2sin=0,故ω-=kπ,k∈Z,
解得ω==+,k∈Z.
设T为函数f(x)的最小正周期,
由题中图象可知,所以令<+<,k∈Z,可得k=1,
此时ω=+=,满足条件,
所以f(x)=2sin,
令x-=mπ+(m∈Z),解得x=2m+(m∈Z),所以f(x)的图象的对称轴方程为x=2m+(m∈Z).
当x=时,m=1,而x=,x=1,x=3都不满足x=2m+(m∈Z),故D正确.
5.ACD　由题图可得A=2,函数f(x)的最小正周期T=4=π,所以ω==2,所以f(x)=2sin(2x+φ),
把代入,得sin=0,即2×+φ=kπ,k∈Z,
又|φ|<,所以φ=,故A正确;
由上述分析知f(x)=2sin,
当x=时,f(x)=2sin=-1,不是最值,故函数f(x)的图象不关于直线x=对称,故B错误;
将f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度,得到函数y=2sin=2sin 2x的图象,故C正确;
因为x∈,所以2x+∈[0,π],
故2x1++=π,即x1+x2=,
所以cos(x1+x2)=,故D正确.
6.解析　(1)因为f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,所以最小正周期T=π.
(2)由(1)得ω==2,故f(x)=Asin(2x+φ).
选条件①②:由题知f(x) min=-A=-2,所以A=2.
因为f(x)图象的一个对称中心为,
所以2×+φ=kπ(k∈Z),
又|φ|<,所以φ=,
所以f(x)=2sin.
选条件①③:由题知f(x) min=-A=-2,所以A=2.
因为f(x)的图象过点,所以2sin=-1,即sin=-,
又因为|φ|<,所以<+φ<,
所以φ+=,解得φ=,
所以f(x)=2sin.
选条件②③:因为f(x)图象的一个对称中心为,
所以2×+φ=kπ(k∈Z),所以φ=kπ-(k∈Z).
因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=Asin.
因为f(x)的图象过点,所以Asin=-1,即-A=-1,所以A=2,所以f(x)=2sin.
(3)由(2)知,f(x)=2sin.
因为x∈[0,a],所以2x+∈,
因为f(x)图象的对称轴只有一条落在区间[0,a]上,
所以≤2a+<,所以≤a<,
所以实数a的取值范围为.
7.D　由题意得0因为y=log2t在t∈(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)=log2(cos 2x)的单调递减区间即为函数y=cos 2x的单调递减区间,
令2kπ≤2x≤π+2kπ,k∈Z,得kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
所以函数f(x)=log2(cos 2x)的单调递减区间为kπ,+kπ(k∈Z).
结合以上分析得函数f(x)=log2(cos 2x)的值域为(-∞,0].
8.D　由f(x)=sin(2x+φ)满足f(x)≤f,得f=1,
则2×+φ=+kπ,k∈Z,得φ=+kπ,k∈Z,
又0<φ<π,所以φ=,则f(x)=sin,
由0又f(x1)=f(x2)=-<0,x1所以π<2x1+<,<2x2+<2π,
则2x1++2x2+=2×,解得x1+x2=,
所以sin(x1+x2)=sin =-.
9.C　由≤x≤,ω>0,可得-≤ωx-≤-,
依题意得-+2kπ≤-<-≤+2kπ,k∈Z,
解得-2+12k≤ω≤2+6k,k∈Z(*).
又-≤=,ω>0,所以0<ω≤6,
结合(*)式得k=0,即0<ω≤2.
由≤x≤,ω>0,得-≤ωx-≤-,
因为对任意x∈,都有f(x)≥0,所以2mπ≤-<-≤π+2mπ,m∈Z,
解得+18m≤ω≤+8m,m∈Z,
又因为0<ω≤2,所以m=0,即≤ω≤2.
综上,可得ω的取值范围为.
方法总结
　　已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在某区间上单调,求参数的取值范围时,可将ωx+φ视为一个整体,求出该整体的范围,再与函数y=sin x的单调区间类比,从而得到关于参数的不等式(组)并求解.
10.答案　4
解析　由当x=-时,f(x)取得最值,且当x∈时,f(x)单调递增,
可知当x=-时,f(x)取得最小值,
设f(x)的最小正周期为T,则T≥-=,解得T≥π,故≥π,又ω>0,所以0<ω≤2,
又0<φ<,所以-<-+φ<,0<+φ<,
又sin=-1,f=0,
所以-+φ=-①,+φ=π②,
联立①②,解得ω=2,φ=,故f(x)=sin,
当x∈[-π,π]时,2x+∈,
令f(x)=0,则2x+=-π或2x+=0或2x+=π或2x+=2π,
解得x=-或x=-或x=或x=,
故f(x)在[-π,π]上的零点个数为4.
11.解析　(1)因为f(x)=sin(ωx+φ),
所以f(x)max=,f(x) min=-,
依题意可得解得φ=-,
设f(x)的最小正周期为T,因为当|f(x1)-f(x2)|=2时,|x1-x2|的最小值为π,所以T=π,所以T=2π,
又T=,ω>0,所以ω=1,
所以f(x)=sin.
(2)将y=f(x)图象上的所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,得到y=sin的图象,再将所得图象上的所有点向左平移个单位长度,得到g(x)=sin=sin的图象,
当x∈(0,m)时,2x+∈,
因为g(x)在区间(0,m)上有最大值没有最小值,
所以<2m+≤,解得即实数m的取值范围为.
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