第一章　三角函数 §8　三角函数的简单应用--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
§8　三角函数的简单应用
基础过关练
题组一　三角函数模型在物理中的应用
1.(2025吉林长春东北师范大学附属中学月考)电流强度I随时间t变化的关系式是I=4sin100πt+,当t= s时,电流强度I(单位:A)为(　　)
A.-2　　B.-2　　
C.　　D.2
2.(教材习题改编)单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s(t)=3sin,那么单摆来回摆动的振幅和往返一次所需的时间(秒)为(　　)
A.3,4　　B.-3,4　　
C.3,2　　D.-3,2
3.音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1),各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时,在一定时间内,音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y=·sin ωt.图2是该函数在一个周期内的图象,根据图中数据可确定ω的值为　　　　.
　　
题组二　三角函数模型在生活中的应用
4.人的血压在不断变化,血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mmHg为标准值.设甲某的血压满足函数式p(t)=102+24sin 160πt,其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),对于甲某而言,下列说法正确的是(　　)
A.收缩压和舒张压均高于相应的标准值
B.收缩压和舒张压均低于相应的标准值
C.收缩压高于标准值,舒张压低于标准值
D.收缩压低于标准值,舒张压高于标准值
5.(2025江西九师联盟联考)由于潮汐,某港口一天24 h的海水水位H(单位:m)随时间t(单位:h,0≤t<24)的变化近似满足关系式H(t)=A+Bsin(B>0),若一天中最高水位为14 m,最低水位为
6 m,则该港口一天内水位不低于8 m的时长为(　　)
A.12 h　　B.14 h　　C.16 h　　D.18 h
6.(2025江苏连云港灌南期末质量监测)为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律,建立如图所示的坐标系,设秒针针尖位置为P(x,y).若初始位置为P0,当秒针从P0(此时t=0)开始运动时,点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为(　　)
y=sin　　
B.y=sin
y=sin　　
D.y=sin
7.(2024浙江金华十校期末)某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数可用函数f(n)=200cos+300(n代表月份,且n∈{1,2,3,…,12})近似表示,游客流量越大所需服务工作的人数越多,则可以推断,当
n=　　　　 时,游客流量最大.
8.下图为2024年甲市某天6时至14时的气温变化曲线,其近似为函数y=Asin(ωx+φ)+B的半个周期的图象,则这一天8时的气温大约为　　　　.(精确到1 ℃)
题组三　三角函数模型的建立及其应用
9.将自行车支起来,使后轮能平稳地匀速转动,观察后轮气针的运动规律,若将后轮(看成一个圆)放入如图所示的坐标系中,后轮以ω rad/s的角速度逆时针做圆周运动,P0是气针的初始位置,气针(看成一个点P)到原点O的距离为r.
(1)求气针P的纵坐标y关于时间t(s)的函数解析式,并求出P的运动周期;
(2)当φ=,r=ω=1时,作出其图象.
10.如图,一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆逆时针匀速爬行,已知该圆的半径为1米,圆心O距离地面的高度为1.5米,蚂蚁爬行一圈需要4分钟,且蚂蚁的起始位置在最低点P0处.
(1)试写出蚂蚁距离地面的高度h(米)关于爬行时间t(分钟)的函数关系式;
(2)在蚂蚁绕圆爬行一圈的时间内,有多长时间蚂蚁距离地面超过1米
能力提升练
题组一　三角函数模型在物理中的应用
1.(多选题)(2025河南开封等三地二模)如图,弹簧挂着的小球做上下运动,它在时间t(单位:s)时相对于平衡位置的高度(单位:cm)由关系式h(t)=2sin确定,则下列说法正确的是(　　)
A.小球开始振动(即t=0 s)时在平衡位置上方 cm处
B.每秒钟小球能往复振动2π次
C.函数h(t)的图象关于直线t=对称
D.小球从t= s到t= s时运动的路程是5 cm
2.(2024河南南阳六校一联)某阻尼器模型的运动过程可近似看成单摆运动,其离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s(t)=3sin(ωt+φ),其中ω>0,若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次的位移均为s0(-3A. s　　B. s　　C.1 s　　D. s
3.信息多数是以波的形式进行传递的,其中必然会存在干扰信号形如y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的波,某种“信号净化器”可产生形如y=A0sin(ω0x+φ0)的波,只需要调整参数(A0,ω0,φ0),就可以产生特定的波(与干扰波的波峰相同,方向相反的波)来“对抗”干扰.现有干扰信号的部分图象,如图,想要通过“信号净化器”消除干扰,应将“信号净化器”的参数分别调整为(　　)
A.A0=,ω0=4,φ0=
B.A0=-,ω0=4,φ0=
C.A0=1,ω0=1,φ0=0
D.A0=-1,ω0=1,φ0=0
题组二　三角函数模型在生活中的应用
4.(多选题)(2025江西南昌第二中学月考)如图,一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈,筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位:米)(在水面下时取d为负数),若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间,则d(单位:米)与时间t(单位:秒)之间的关系为d=Asin(ωt+φ)+KA>0,ω>0,-<φ<,则下列说法正确的是(　　)
A.A=3
B.φ=-
C.盛水筒P出水后至少经过秒才可到达最低点
D.在转动一圈的过程中,盛水筒P在水中的时间为秒
5. (2024北京海淀期末)某校海洋研学小组的同学为了研究海水质点在竖直方向上的运动情况,通过数据采集和分析,发现海水质点在某一时间段内相对于海平面的位移y(米)与时间t(秒)的关系近似满足y=sin(ωt+φ),t∈[0,8],其中常数ω>0,|φ|<π.经测定,在t=2秒时该质点第一次到达波峰,在t=8秒时该质点第三次到达波峰.在t∈[0,8]时,该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为(　　)
A.秒　　B.2秒　　C.秒　　D.3秒
6.(2025江西师范大学附属中学月考)“南昌之星”摩天轮的高为160米(即最高点离地面的距离),转盘直径为153米,摩天轮在开放时匀速旋转,并且旋转一周需30分钟,若游客从最低点处登上摩天轮,那么他与地面的距离将随时间t(单位:分钟)的变化而变化,以他登上摩天轮的时间开始记时,则下列说法不正确的是(　　)
A.游客与地面的距离y与时间t的函数解析式为y=83.5-76.5cos t
B.第1次距离地面121.75米时,用了10分钟
C.第4次距离地面121.75米时,用了40分钟
D.当游客距离地面121.75米时,所用的时间t的取值集合为{t|t=10+30k或t=20+30k,k∈N}
题组三　三角函数模型的建立及其应用
7.(2024江西多校联考)为弘扬中华民族优秀传统文化,春节前后,各地积极开展各种非遗展演、文化庙会等活动.某地庙会每天8点开始,17点结束.通过观察发现,游客数量f(x)与时间x之间可近似用函数f(x)=600sin(ωx+φ)+k来刻画,其中x∈[8,17],8点开始后,游客逐渐增多,10点时大约为350人,14点时游客最多,大约为1 250人,之后游客逐渐减少.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)腊月二十九,为了营造幸福祥和的氛围,该庙会筹办方邀请本地书法家书写了950幅福字,计划选一时段分发给每位游客,为了保证在场的游客都能得到福字,应选择在什么时间赠送福字
8.(2025江西多校学情联合检测)蚊子是多种疾病的传播媒介,对人畜都有较大的危害.某热带养殖场为检测蚊虫密度,在养殖区内悬挂多盏诱蚊灯,去年每月收集28天,连续检测了12个月,其中5月份蚊虫最多,11月份蚊虫最少,由于工作人员不小心,某些月份数据丢失,保留的月份t(1≤t≤12,t∈Z)及每月对应的蚊虫密度值y的数据如下表:
t 2 5 8 11
y 42 82 42 2
(1)从y=at+b(a>0,且a≠1),y=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,-π<φ<π),y=logmt(m>0,且m≠1)中选择一个合适的函数模型,并给出理由;
(2)在(1)的基础上,求出蚊虫密度值y关于月份t的拟合模型的解析式;
(3)今年该养殖场新引进的某种动物容易感染疟疾,养殖场计划在蚊虫密度不低于62时,采取灭蚊措施.若此养殖场今年的蚊虫密度符合(2)中的函数模型,估计该养殖场应准备在哪几个月采取灭蚊措施.
答案与分层梯度式解析
§8　三角函数的简单应用
基础过关练
1.A 2.A 4.C 5.C 6.C
1.A　已知函数I=4sin,当t= s时,I=4sin100π·+=-2(A).
2.A　∵s(t)=3sin,∴单摆来回摆动的振幅为3,往返一次所需的时间为=4(秒).
3.答案　400π
解析　由题图2可得,ω>0,周期T=4×=,即=,则ω=400π.
4.C　∵p(t)=102+24sin 160πt,∴p(t)min=102-24=78,p(t)max=102+24=126,即甲某血压的收缩压为126 mmHg,舒张压为78 mmHg.
因此,收缩压高于标准值,舒张压低于标准值.
5.C　由题知解得
所以H(t)=10+4sin,
令H(t)≥8,得sin≥-,
因为0≤t<24,所以-≤t-<,
所以-≤t-≤,解得6≤t≤22.
所以该港口一天内水位不低于8 m的时长为22-6=16(h).
6.C　根据题意,设y=sin(ωt+φ)(ω<0,|φ|≤),
由题意可知,t=0时,y=sin φ=,
又因为|φ|≤,所以φ=,所以y=sin(ω<0),
又函数的最小正周期T=60,所以ω=-=-=-,所以点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为y=sin.
7.答案　8
解析　因为n∈{1,2,3,…,12},
所以+∈,π,,,,,,2π,,,,,
所以当+=2π,即n=8时,cos取得最大值1,
所以当n=8时,f(n)取得最大值,
又游客流量越大所需服务工作的人数越多,
所以当n=8时,游客流量最大.
8.答案　13 ℃
解析　由题意得A=×(30-10)=10,B=×(30+10)=20,∴y=10sin(ωx+φ)+20,x∈[6,14],
∵周期T=2×(14-6)=16,∴=16,∴ω=,
∴y=10sin+20,x∈[6,14].
将x=6,y=10代入,得10sin+20=10,
即sin=-1,
∴+φ=+2kπ,k∈Z,
∴φ=+2kπ,k∈Z.
又∵<φ<π,∴φ=,
∴y=10sin+20,x∈[6,14],
∴当x=8时,y=10sin+20=20-5≈13,
即这一天8时的气温大约为13 ℃.
9.解析　(1)易得y=rsin(ωt+φ),因此周期T=.
(2)当φ=,r=ω=1时,y=sin,
其图象可由y=sin t图象上的所有点向左平移个单位长度得到,如图所示.
10.解析　(1)如图所示,设t分钟时蚂蚁爬到A点,连接OA,过点A作AB⊥OP0,垂足为B.
因为蚂蚁爬行一圈需要4分钟,所以t分钟时蚂蚁所转过的圆心角为∠BOA=t=t,
在Rt△OBA中,OB=cost(米),
所以h=1.5-cost.
(2)令h=1.5-cost>1,得cost<,即能力提升练
1.ACD 2.D 3.B 4.ABD 5.C 6.C
1.ACD　当t=0时,h(0)=2sin=,故A正确;
小球往复振动的周期T==2π,所以每秒钟小球能往复振动次,故B错误;
因为h=2sin=2sin =-2,所以函数h(t)的图象关于直线t=对称,故C正确;
-==T,h=2sin=2sin =2,h=2sin=2sin=-1,
所以小球从t= s到t= s时运动的路程是2+2+1=5(cm),故D正确.
2.D　由题意得(t1+t2)=1,(t2+t3)=3,则函数s(t)的周期T=2×(3-1)=4,所以ω==,
故s(t)=3sin,
令<1.5,则-1.5<3sin<1.5,
即-所以+2kπ解得4k+-φ故总时间为-+4k+-φ-=(s).
综上,在一个周期内该阻尼器离开平衡位置的位移小于1.5 cm的总时间为 s.
3.B　设干扰信号对应的函数解析式为y=Asin(ωx+φ),T为干扰信号的周期.
由题图得,-=T,解得T=,∴ω===4.
∵函数的最大值为,∴A=.
将代入y=sin(4x+φ),得sin=-1,
∴+φ=+2kπ,k∈Z,
解得φ=+2kπ,k∈Z,
∵|φ|<,∴φ=,∴y=sin,
∴要消除形如y=sin的波,需要形如y=-sin的波,
∴A0=-,ω0=4,φ0=.
4.ABD　由题意得,d的最大值为3+1.5=4.5,最小值为1.5-3=-1.5,
∴解得故A正确.
设函数的最小正周期为T,由筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈可得T==,故ω=,∴d=3sin+1.5,
∵t=0时,d=3sin φ+1.5=0,∴sin φ=-,
又∵-<φ<,∴φ=-,故B正确.
由B得,d=3sin+1.5,
令d=-1.5,得3sin+1.5=-1.5,
故sin=-1,
∴t-=+2k1π,k1∈Z,故t=+40k1,k1∈Z,
令k1=0,得t=,故盛水筒P出水后至少经过秒才可到达最低点,故C错误.
由d≤0,得3sin+1.5≤0,得sin≤-,
∴+2k2π≤t-≤+2k2π,k2∈Z,
解得+40k2≤t≤40+40k2,k2∈Z,
∴在转动一圈的过程中,盛水筒P在水中的时间为40-=(秒),故D正确.
5.C　因为t=2秒时该质点第一次到达波峰,在t=8秒时该质点第三次到达波峰,所以周期T=×(8-2)=3,所以ω==,
当t=2时,y=sin=1,得+φ=+2kπ,k∈Z,
即φ=-+2kπ,k∈Z,
因为|φ|<π,所以φ=-,则y=sin,
由sin=,得t-=+2kπ或t-=+2kπ,k∈Z,即t=+3k或t=+3k,k∈Z,因为t∈[0,8],所以t=或t=或t=或t=或t=,因此该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为++=(秒).
6.C　如图,以摩天轮的轴心O为原点,与地面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系,
设y=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π),
根据题意可得A==76.5,B=160-76.5=83.5,ω==,φ=-,
∴y=76.5sin+83.5=83.5-76.5cos t,故A中说法正确;
令y=121.75,得121.75=83.5-76.5cos t,得cos t=-,
若t∈[0,30],则t∈[0,2π],∴t=或t=,解得t=10或t=20,
所以第1次距离地面121.75米时,用了10分钟的时间,故B中说法正确;
因为第2次距离地面121.75米时,用了20分钟的时间,旋转一周需要30分钟,所以第4次距离地面121.75米时,用了50分钟的时间,故C中说法不正确;
由上述分析知距离地面121.75米时所用的时间t的取值集合为{t|t=10+30k,k∈N或t=20+30k,k∈N},故D中说法正确.
7.解析　(1)由题意得f(10)=350,f(14)=1 250,且sin(14ω+φ)=1,
所以
所以
又ω>0,|φ|<,所以ω=,φ=,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=600sin+650,x∈[8,17].
(2)当x∈[8,17]时,x+∈,
令600sin+650=950,得sin=,得x+=或x+=,解得x=12或x=16,
又x∈[8,17],所以x∈[8,12]或x∈[16,17],
故为了保证在场的游客都能得到福字,应选择在8~12时或16~17时这两个时间段赠送福字.
8.解析　(1)y=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,-π<φ<π)适合.
当x=2与x=8时,y=42,而y=at+b(a>0,且a≠1)与y=logmt(m>0,且m≠1)均为单调函数,
所以y=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,-π<φ<π)适合.
(2)设函数的最小正周期为T.由5月份蚊虫最多,11月份蚊虫最少,得=11-5=6,所以T=12=,得ω=,
由A+B=82,-A+B=2,得A=40,B=42,
所以y=40sin+42,将(5,82)代入得sin=1,所以+φ=2kπ+,k∈Z,
解得φ=2kπ-,k∈Z,又-π<φ<π,所以φ=-,
故y=40sin+42(1≤t≤12,t∈Z).
(3)令40sin+42≥62,得sin≥,
即2kπ+≤t-≤2kπ+,k∈Z,
得12k+3≤t≤12k+7,k∈Z,
又1≤t≤12,t∈Z,所以t=3,4,5,6,7,
即该养殖场应准备在3,4,5,6,7月采取灭蚊措施.
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