第一章　三角函数 4.1 单位圆与任意角的正弦函数余弦函数定义 4.2 基本性质--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
基础过关练
题组一　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
1.在平面直角坐标系xOy中,已知sin α=-,cos α=,那么角α的终边与单位圆O的交点坐标为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.(2025河南南阳第一中学开学考试)已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),则2sin α+cos α的值为(　　)
A.-　　B.-2　　C.-2或2　　D.-或
3.(2025山东临沂郯城联考)已知a>0且a≠1,函数f(x)=ax+4-1+的图象恒过点P,若角α的终边经过点P,则sin α=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
4.(2025黑龙江新时代高中教育联合体期末)已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=-2x上,求5sin α+的值.
题组二　正弦、余弦函数值的符号及特殊角的三角函数值
5.(2024湖北A9高中联盟期末联考)若角α是第四象限角,则点P(sin α,cos α)位于(　　)
A.第一象限　　B.第二象限
C.第三象限　　D.第四象限
6.(2025陕西多校月考)“sin θcos θ<0”是“角θ为第二象限角”的(　　)
A.充分不必要条件　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
7.(2025河南南阳邓州春雨国文学校开学考试)sin 2cos 3的值(　　)
A.大于0　　B.小于0　　
C.等于0　　D.不能确定
8.cos =(　　)
A.　　B.-　　C.　　D.-
9.已知角α的终边经过点(3a,a+5),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围为　　　　.
题组三　正弦函数与余弦函数的基本性质及其应用
10.函数y=2-3cos x的单调递减区间是　　　　　　.
11.函数y=cos x-1的最大值为　　　　.
12.(2025上海复旦大学附属中学月考)函数f(x)=的定义域与值域的交集为　　 　.
13.(2024湖北武汉期末)函数f(x)=-cos2x+cos x+1,x∈[0,π]的值域是　　　　.
能力提升练
题组一　正弦函数、余弦函数的定义及其应用
1.(2023湖南长沙雅礼中学月考)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,动点P,Q从点A(1,0)出发,在单位圆上运动,点P按逆时针方向每秒转弧度,点Q按顺时针方向每秒转弧度,则P,Q两点在第1 804次相遇时,点P的坐标是(　　 )
A.　　B.　　
C.　　D.
2.(2025安徽马鞍山教学质量监测)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以原点为顶点,x轴的非负半轴为始边,它们的终边关于直线y=-x对称.若sin α=,则cos β=(　　)
A.　　B.-　　C.　　D.-
3.(多选题)已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(m,1-m),若m>0,则下列各式的符号无法确定的是(　　)
A.sin α　　B.cos α C.sin α-cos α　　D.sin α+cos α
4.(2025安徽亳州蒙城实验中学月考)已知角α的顶点为原点O,始边与x轴的非负半轴重合.若角α的终边过点P(-,y),且sin α=y(y≠0),判断角α的终边所在的象限,并求cos α的值.
题组二　正弦、余弦函数值的符号
5.(2025广东佛山第三中学阶段检测)若α是第一象限角,则下列结论一定成立的是(　　)
A.sin >0　　B.cos >0
C.sin +cos >0　　D.sin cos >0
6.(2024河南洛阳期末)已知集合M=yy=,N={a,b,lg a}(a>0),若M=N,则ab=(　　)
A.-4　　B.-1　　C.1　　D.4
7.(多选题)(2024河南洛阳强基联盟期末)给出下列四个命题,其中是真命题的为(　　)
A.如果α≠β,那么sin α≠sin β
B.如果sin α≠sin β,那么α≠β
C.如果θ是第一或第二象限角,那么sin θ>0
D.如果sin θ>0,那么θ是第一或第二象限角
8.已知=-,且lg(cos α)有意义.
(1)试判断角α的终边所在的象限;
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M,求m及sin α的值.
答案与分层梯度式解析
§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
基础过关练
1.A 2.D 3.B 5.B 6.B 7.B 8.B
1.A　
2.D　当a>0时,由三角函数的定义可知sin α==,
cos α==-,
则2sin α+cos α=;
当a<0时,由三角函数的定义可知sin α==-,
cos α==,
则2sin α+cos α=-.
故2sin α+cos α的值为或-.
3.B　令x+4=0,得x=-4,f(-4)=a-4+4-1+=,
∴点P的坐标为(-4,).
又∵角α的终边经过点P,
∴sin α===.
4.解析　①当α的终边在射线y=-2x(x≥0)上时,取射线上一点(1,-2),则r==,所以sin α=,cos α=,所以5sin α+=5×+=0;
②当α的终边在射线y=-2x(x<0)上时,取射线上一点(-1,2),则r'==,所以sin α=,cos α=,所以5sin α+=5×+=0.
综上所述,5sin α+=0.
5.B　由于角α是第四象限角,所以sin α<0,cos α>0,所以点P位于第二象限.
6.B　当sin θcos θ<0时,sin θ>0,cos θ<0或sin θ<0,cos θ>0,则角θ为第二象限角或角θ为第四象限角,故充分性不成立;
当角θ为第二象限角时,sin θ>0,cos θ<0,则sin θcos θ<0,故必要性成立.
所以“sin θcos θ<0”是“角θ为第二象限角”的必要不充分条件.
7.B　因为π≈3.14,所以<2<3<π,所以2,3为第二象限角,所以sin 2>0,cos 3<0,所以sin 2cos 3<0.
方法总结
已知角α的大小判断sin α,cos α的符号的一般步骤:
(1)把角α化为β+k·360°(0°≤β<360°,k∈Z)或β+2kπ(0≤β<2π,k∈Z)的形式;
(2)根据(1)确定角α的终边所在的象限;
(3)根据角α的终边所在的象限确定sin α,cos α的符号.
8.B　如图,以原点为角的顶点,x轴的非负半轴为始边,逆时针旋转,与单位圆交于点P.设点P(u,v),则u=-,v=-,所以cos =u=-.
9.答案　(-5,0]
解析　∵cos α≤0,sin α>0,
∴角α的终边落在第二象限内或落在y轴的非负半轴上,
∴∴-510.答案　[2kπ-π,2kπ](k∈Z)
解析　函数y=2-3cos x 的单调递减区间即为函数y=-cos x的单调递减区间,也即为函数y=cos x的单调递增区间,为[2kπ-π,2kπ](k∈Z).
11.答案　-
解析　∵-1≤cos x≤1,∴当cos x=1时,函数y=cos x-1取得最大值,为-.
12.答案　
解析　由sin x-≥0,得sin x≥,解得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z,
所以f(x)的定义域为2kπ+,2kπ+,k∈Z.
由于≤sin x≤1,所以0≤sin x-≤,
所以f(x)的值域为0,.
所以f(x)的定义域与值域的交集为,.
13.答案　
解析　令t=cos x(x∈[0,π]),
则t∈[-1,1],g(t)=-t2+t+1=-+,
故g(t)在上单调递增,在上单调递减,
又g(-1)=-1-1+1=-1,g=,g(1)=-1+1+1=1,所以g(t)∈,所以f(x)的值域为.
能力提升练
1.C 2.B 3.AC 5.D 6.B 7.BC
C　根据题意得第1 804次相遇的时间为1 804×2π÷=
3 608(秒),
故点P转过的角度为×3 608=300π+,其对应的坐标为,即点P的坐标为.
2.B　因为sin α=>0,且≠1,所以角α的终边在第一或第二象限内.
当角α的终边在第一象限内时,设终边上一点P(x1,y1),则点P关于直线y=-x的对称点P'(-y1,-x1)在角β的终边上,
则cos β===-sin α=-;
当角α的终边在第二象限内时,设终边上一点Q(x2,y2),则点Q关于直线y=-x的对称点Q'(-y2,-x2)在角β的终边上,
则cos β===-sin α=-.
综上所述,cos β=-.
3.AC　sin α=,当m∈(0,1)时,sin α>0,当m∈(1,+∞)时,
sin α<0,当m=1时,sin α=0,故sin α的符号不确定,故A符合;
cos α=>0,符号确定,故B不符合;
sin α-cos α=,当m∈时,sin α-cos α>0,当m∈
时,sin α-cos α<0,当m=时,sin α-cos α=0,故sin α-cos α的符号不确定,故C符合;
sin α+cos α=>0,符号确定,故D不符合.
4.解析　由三角函数的定义得sin α==y,
因为y≠0,所以=,即=,解得y=±,
所以角α的终边在第二或第三象限内.
当角α的终边在第二象限内时,y=,
则cos α==-;
当角α的终边在第三象限内时,y=-,
则cos α==-.
综上所述,角α的终边在第二或第三象限内,且cos α=-.
5.D　因为α是第一象限角,所以2kπ<α<+2kπ,k∈Z,
所以kπ<<+kπ,k∈Z,所以是第一或第三象限角.
当是第一象限角时,sin >0,cos >0,sin +cos >0,sin cos >0;
当是第三象限角时,sin <0,cos <0,sin +cos <0,sin cos >0.
综上,sin cos >0一定成立.
6.B　由题意得θ≠,k∈Z,
当θ是第一象限角时,y=×(1+1)=1;当θ是第二象限角时,y=×(1-1)=0;当θ是第三象限角时,y=×(-1-1)=-1;当θ是第四象限角时,y=×(-1+1)=0,因此M={-1,0,1}.
由M=N,且a>0,得a=1,故lg a=0,所以b=-1,所以ab=-1.
7.BC　对于A,取α=,β=,则≠,但sin α=sin β,故A是假命题;
对于B,如果sin α≠sin β,那么α≠β,故B是真命题;
对于C,若θ是第一或第二象限角,则由正弦函数的性质可知,sin θ>0,故C是真命题;
对于D,如果sin θ>0,那么θ是第一、第二象限角或θ的终边在y轴的非负半轴上,故D是假命题.
8.解析　(1)∵=-,∴sin α<0.①
∵lg(cos α)有意义,∴cos α>0.②
由①②得角α的终边位于第四象限.
(2)∵点M在单位圆上,
∴+m2=1,解得m=±.
由(1)知角α是第四象限角,∴m<0,∴m=-.
由三角函数的定义知,sin α=-.
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