第一章　三角函数 4.3 诱导公式与对称4.4诱导公式与旋转--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
4.3　诱导公式与对称　4.4　诱导公式与旋转
基础过关练
题组一　给角求值
1.(2024江西吉安泰和中学月考)sin 300°cos 0°的值为(　　)
A.0　　B.　　C.-　　D.-
2.(2025陕西多校月考)sin +cos =　　　　.
3.(2025安徽蚌埠月考)已知函数f(x)=,则f=　　　　.
4.计算下列各式的值:
(1)sin+cos+cos(-5π)+tan;
(2)sin(-1 200°)cos 1 290°.
题组二　给值求值
5.(2025河北衡水联考)已知锐角α满足+=4,则=(　　)
A.-1　　B.4　　C.　　D.2
6.(多选题)(2025河北沧州盐山中学月考)在平面直角坐标系xOy中,若角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(3a,-4a)(a≠0),则cos+2sin(π+α)+2sin的值为(　　)
A.-　　B.-2　　C.　　D.2
7.(2024江西宜春中学月考)已知cos=,则sin=　　　　.
8.(2025江西上饶余干蓝天中学月考)已知α为第二象限角,f(α)=,若f=,求sin,cos的值.
题组三　化简、证明
9.(2025浙江四校联考)在△ABC中,下列等式一定成立的是(　　)
A.sin =-cos
B.cos =-cos
C.sin(2A+2B)=-sin 2C
D.cos(2A+2B)=-cos 2C
10.化简:(k∈Z).
11.求证:sin=cos2nπ+(-1)n·(n∈Z).
题组四　诱导公式的综合应用
12.(多选题)已知函数f(x)=sin,则以下结论恒成立的是(　　)
A.f(-x)=-f(x)　　B.f(-x)=f(x)
C.f(2π-x)=f(x)　　D.f(π+x)=f(2π-x)
13.(2023江苏南通中学开学考试)已知f(sin x)=cos 3x,则f(cos 10°)的值为(　　)
A.-　　B.±　　C.　　D.
14.(2024江西抚州月考)从cos,sin ,cos ,sin ,sin 这五个数中任取两个数,则这两个数相等的概率为　　　　.
15.(2025上海青浦高级中学质量检测)已知sin A1+sin A2+…+
sin A2 025=2 025,则sin(A1+A2+…+A2 025)=　　　　.
(创新题)(2025上海南洋模范中学月考)在数学史上,为了三角计算的简便以及计算的精确性,曾经出现过下列两种三角函数:定义1-
cos θ为角θ的正矢,记作versin θ,定义1-sin θ为角θ的余矢,记作coversin θ,则下列命题正确的是　　　　.
①versin =;
②versin(π-θ)-coversin=0;
③若=2,则=-;
④函数f(x)=versin+coversin2 025x+的最大值为2+.
17.(2023北京顺义期末)在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于第一象限内的点P.
(1)求y1的值;
(2)将角α的终边绕坐标原点O按逆时针方向旋转角β后与单位圆交于点Q(x2,y2),请从下面的①、②、③这三个条件中任意选择一个作为已知条件,求的值.
①β=;②β=π;③β=.
答案与分层梯度式解析
4.3　诱导公式与对称　4.4　诱导公式与旋转
基础过关练
1.D 5.B 6.BD 9.C 12.AC 13.B
1.D　sin 300°cos 0°=sin(360°-60°)=sin(-60°)=-sin 60°=-.
2.答案　-1
解析　sin +cos =sin+cos=sin+cos=-sin -cos =--=-1.
3.答案　-
解析　f(x)===sin x,
所以f=sin =sin=sin =sin=-sin =-.
4.解析　(1)sin+cos+cos(-5π)+tan
=sin+cos+cos π+1=-1+0-1+1=-1.
(2)原式=-sin(120°+3×360°)cos(210°+3×360°)
=-sin 120°cos 210°
=-sin(180°-60°)cos(180°+30°)
=sin 60°cos 30°
=×=.
5.B　由+=4,得-=4,
因为α是锐角,所以cos α>0,
令=t,则t>0,t2-3t-4=0,解得t=4或t=-1(舍去),
所以=4.
6.BD　由三角函数的定义得cos α==,sin α==,
当a<0时,则cos+2sin(π+α)+2sin=sin α-2sin α+2cos α=-sin α+2cos α=-+2×=-2;
当a>0时,则cos+2sin(π+α)+2sin=-sin α+2cos α=+2×=2.
故cos+2sin(π+α)+2sin的值为2或-2.
7.答案　-
解析　sin=sin=-cos=-.
方法总结
　　利用诱导公式解决给值求值问题时,先寻找未知角与已知角之间的联系,再利用诱导公式把未知角的三角函数用已知角的三角函数表示出来,从而得到结果.
8.解析　f(α)===cos α,
因为f=,所以cos=,
因为+=,
所以sin=sin-=cos=,
因为+=π,
所以cos=cosπ--α=-cos-α=-.
9.C　∵A+B+C=π,∴=-,2A+2B=2π-2C,
∴sin =sin=cos ,cos =cos=sin ,sin(2A+2B)=sin(2π-2C)=sin(-2C)=-sin 2C,cos(2A+2B)=cos(2π-2C)=cos(-2C)=cos 2C,故C正确.
10.解析　当k=2n(n∈Z)时,
原式=
===-1;
当k=2n+1(n∈Z)时,
原式=
===-1.
综上,原式=-1.
易错警示
　　在化简含参的三角函数式时,要注意对参数进行分类讨论.
11.证明　①当n=2k,k∈Z时,
左边=sin=sin=,
右边=cos=cos=,
左边=右边,则原等式成立;
②当n=2k+1,k∈Z时,
左边=sin=sin
=sin=,
右边=cos2(2k+1)π+(-1)2k+1·=cos
=cos=,
左边=右边,则原等式成立.
综上,sin=cos2nπ+(-1)n·(n∈Z).
12.AC　f(-x)=sin=-sin=-f(x),故A正确,B错误;
f(2π-x)=sin=sin=sin=f(x),故C正确;
f(π+x)=sin=sin=cos,又由C中分析知f(2π-x)=sin ,所以f(π+x)≠(2π-x),故D错误.
13.B　因为f(sin x)=cos 3x,cos 10°=sin 80°,
所以f(cos 10°)=f(sin 80°)=cos 240°=cos(180°+60°)=-cos 60°=-.
又因为cos 10°=sin 100°,
所以f(cos 10°)=f(sin 100°)=cos 300°=cos(360°-60°)=cos 60°=,
故f(cos 10°)=±.
14.答案　
解析　由诱导公式可得cos=cos=sin =sin=
sin ,cos =sin+=sin .
易知从五个数中任取两个数,有10种不同的情况,cos,sin ,
sin 这三个数相等,从这三个数中任取两个数,有3种不同的情况,
cos 与sin 相等,取出这两个数,有1种情况,
故从五个数中取出的两个数相等的情况有3+1=4(种),所以所求概率为=.
15.答案　1
解析　因为sin An∈[-1,1],且sin A1+sin A2+…+sin A2 025=2 025,
所以sin A1=sin A2=…=sin A2 025=1,故An=+2kπ,k∈Z,n=1,2,…,
2 025,
所以A1+A2+…+A2 025=+2 025×2kπ=+1 012π+2 025×2kπ,k∈Z,
所以sin(A1+A2+…+A2 025)=sin =1.
16.答案　②③
解析　versin =1-cos =1-cos=1+cos =,①错误;
versin(π-θ)-coversin=1-cos(π-θ)-1+sin-θ=cos θ-cos θ=0,②正确;
因为===2,
所以sin x=2cos x,
则===-,③正确;
f(x)=versin+coversin
=1-cos+1-sin
=2-sin-sin
=2-2sin,
当sin=-1时,f(x)取得最大值,且最大值为4,④错误.
17.解析　(1)因为角α的终边与单位圆交于第一象限内的点P,所以解得y1=.
(2)易得sin α=,cos α=,sin(α+β)=y2,cos(α+β)=x2.
若选条件①β=,则===-.
若选条件②β=π,则===.
若选条件③β=,则===-.
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