第一章　三角函数 5.1 正弦函数的图象与性质再认识--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
5.1　正弦函数的图象与性质再认识
基础过关练
题组一　正弦函数的图象
1.以下对正弦函数y=sin x的图象的描述不正确的是 (　　)
A.当x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)且k取不同值时的图象形状相同,只是位置不同
B.介于直线y=1与直线y=-1之间
C.关于x轴对称
D.与y轴仅有一个交点
2.(2025江西南昌新建二中月考)函数y=1+sin x(x∈[0,2π])的大致图象是(　　)
3.(2024四川绵阳期末)函数f(x)=-sin|x|在区间[-π,π]上的图象大致是(　　)
　　　　　　
题组二　正弦函数图象的应用
4.(2025四川内江第一中学月考)已知x∈,则不等式2sin x+1≥0的解集是(　　)　 　　　　
A.　　B.
C.　　D.
5.(2025甘肃平凉静宁六校联考)在△ABC中,“sin A>”是“A>”的(　　)
A.必要不充分条件　　
B.充分不必要条件
C.充要条件　　
D.既不充分也不必要条件
6.(2024浙江温州联考)已知a为实数,且满足a=sin x+1(x∈[-π,π])的x的值只有1个,则实数a的值为(　　)
A.0　　B.1　　C.1或2　　D.0或2
7.(2025浙江杭州仁和实验学校期末)函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如,[-3.5]=-4,[2.1]=2,则方程[x]-sin x=0的根的个数为(　　)
A.0　　B.1　　C.2　　D.3
8.(2023河南开封通许第一高级中学期末)函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围为(　　)
A.[0,3]　　B.[1,3]　　C.(1,3)　　D.(0,3)
9.(2025福建福州质量检测)函数f(x)=sin x-,x∈(0,π)恰有两个零点x1,x2,则f(x1+x2)=　　　　.
10.用“五点(画图)法”作出函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图象,并写出使1≤y≤2 成立的x的取值范围.
题组三　正弦函数的性质及应用
11.(2025辽宁名校联盟联合考试)若命题“ x∈R,sin xA.(-∞,1]　　B.(-∞,1)
C.(-∞,-1]　　D.(-∞,-1)
12.(多选题)(2025浙江杭州实验学校期末)已知函数f(x)=|sin x|,则(　　)
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)的最小正周期为π
C.f(x)在区间π,上单调递增
D.f(x)为奇函数
13.(2025陕西咸阳模拟)已知x∈-,π,则函数y=的最大值是(　　)
A.　　B.1　　C.　　D.2
14.(2025上海高境第一中学月考)函数f(x)=2sin x+1的图象的对称轴方程是　　　　.
15.(2025河南南阳六校联考)函数y=的值域为　　　　.
16.(2024上海建平中学一检)已知函数f(x)=sin x+x+x3+2,若f(m)=4,则f(-m)=　　　　.
17.(2024江苏扬州大学附属中学月考)已知f(x)=-sin2x+sin x+2,求f(x)在,上的值域.
18.判断下列每组中两个三角函数值的大小.
(1)sin(-3)与sin(-2);
(2)sin与sin;
(3)sin与cos.
能力提升练
题组一　正弦函数的图象及应用
1.(2025四川成都树德中学阶段性测试)函数f(x)=sin x-的部分图象是(　　)
　　　　
　　
2.函数f(x)=(x-π)sin x+1在区间[-2π,4π]上的所有零点之和为　　(　　)
A.0　　B.π　　C.4π　　D.8π
3.(多选题)(2025河南驻马店月考)在平面直角坐标系内,曲线C由函数y=sin x(0≤x≤2π)和y=-sin x(0≤x≤2π)的图象构成,则下列说法一定正确的是(　　)
A.曲线C关于点(π,0)中心对称
B.直线x=t(0≤t≤2π)被曲线C截得的弦最长为2
C.曲线C所围成区域的面积小于2π
D.曲线C的周长大于14
题组二　正弦函数的性质及应用
4.已知函数f(x)=-4sin2 x+4sin x,x∈[0,a]的值域为[0,1],则实数a的取值范围为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
5.(多选题)(2024湖北荆门期末)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|,下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数
B.f(x)在区间上单调递减
C.f(x)的最大值为2
D.f(x)的周期为π
6.(2025黑龙江大庆实验中学开学考试)设函数f(x)=sin x+,若f(x1)f(x2)=2[f(x1)-f(x2)-1],则|x1-x2|的最小值为(　　)
A.π　　B.　　C.2π　　D.3π
7.(2024湖北武汉华中师大一附中期末)已知x,y∈,则“x3+y3>
-sin x-sin y”是“x+y>0”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
8.已知函数f(x)=ln+sin x,则关于a的不等式f(a-2)+f(a2-4)<0的解集是　　　　.
9.已知函数f(x)=,且f(x-2)+f(-x)-a>0.
(1)a的取值范围为　　　　;
(2)f(x)的最大值与最小值的和为　　　　.
10.(2025北京第一六一中学月考)已知函数f(x)=2sin2x-
asin x+1,x∈[0,π].
(1)当a<0时,求f(x)的最大值;
(2)若f(x)在[0,π]上有零点,求实数a的最小值.
答案与分层梯度式解析
§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
5.1　正弦函数的图象与性质再认识
基础过关练
1.C 2.A 3.A 4.C 5.B 6.D 7.C 8.C
11.C 12.BC 13.C
1.C　由正弦函数y=sin x的图象可知,C项不正确.
2.A　根据“五点(画图)法”找出五个关键点,分别为(0,1),,(π,1),,(2π,1),依此五点判断可知A项符合.
3.A　f(-x)=-sin|-x|=-sin|x|=f(x),故f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,排除B,C;当x∈(0,π)时,f(x)=-sin x<0,排除D.
4.C　由2sin x+1≥0得sin x≥-,在同一平面直角坐标系内作出函数y=sin x,x∈的图象及直线y=-,如图所示,
由图可知,原不等式的解集为.
B　在△ABC中,0sin x,x∈(0,π)的图象及直线y=,如图所示,
由图可知,当sin A>时,因为 ,
所以“sin A>”是“A>”的充分不必要条件.
D　在同一平面直角坐标系内作出直线y=a及函数y=sin x+1(x∈
[-π,π])的图象,如图所示,
由图可知,当直线y=a与曲线y=sin x+1在x∈[-π,π]上只有1个交点时,a=0或a=2.
7.C　方程[x]-sin x=0的根的个数等价于函数y=f(x)=[x]与y=sin x的图象的交点个数,
当x<-1时,[x]≤-2,两个图象没有交点;
当-1≤x<0时,[x]=-1,两个图象没有交点;
当0≤x<1时,[x]=0,两个图象有1个交点;
当1≤x<2时,[x]=1,两个图象有1个交点;
当x≥2时,[x]≥2,两个图象没有交点.
故两个函数图象共有2个交点,即方程[x]-sin x=0的根的个数为2.
8.C　f(x)=sin x+2|sin x|=
在同一平面直角坐标系中作出f(x)的图象和直线y=k,如图所示,
若使函数f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是(1,3).
9.答案　-
解析　因为函数f(x)=sin x-,x∈(0,π)恰有两个零点x1,x2,所以sin x1=,sin x2=,不妨设x1在同一平面直角坐标系中作出函数y=sin x,x∈(0,π)的图象和直线y=,如图所示,
由图可得=,即x1+x2=π,
所以f(x1+x2)=f(π)=sin π-=-.
10.解析　按五个关键点列表如下:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
y=1-sin x 1 0 1 2 1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示:
由图可知,当x∈{0}∪[π,2π]时,1≤y≤2成立.
11.C　因为“ x∈R,sin x又当x∈R时,sin x∈[-1,1],故a≤-1.
12.BC　解法一:因为f(x+π)=|sin(x+π)|=|sin x|=f(x),所以f(x)的最小正周期不是2π,故A错误;
假设存在0不妨取x=0,则f(T)=|sin T|=f(0)=|sin 0|=0,
而0故f(x)的最小正周期为π,故B正确;
当x∈π,时,y=sin x单调递减,且y∈[-1,0],
将y=sin x在π,上的图象沿着x轴翻折,即得y=|sin x|在π,上的图象,
故f(x)在区间上单调递增,故C正确;
因为f(x)=|sin x|的定义域为R,且f(-x)=|sin(-x)|=|sin x|=f(x)≠-f(x),所以f(x)是偶函数,故D错误.
解法二:作出函数f(x)=|sin x|的部分图象,如图所示,
由图可得,f(x)的最小正周期为π,且在区间π,上单调递增,为偶函数,所以B,C正确.
13.C　令u=sin x,则y=,易知y=在其定义域上单调递减,
因为x∈-,π,u=sin x在-,上单调递增,在,π上单调递减,
所以y=在-,上单调递减,在,π上单调递增,
当x=-时,y==,当x=π时,y==1,
所以函数y=的最大值是.
14.答案　x=+kπ(k∈Z)
解析　函数y=sin x的图象的对称轴方程是x=+kπ(k∈Z),
所以函数f(x)=2sin x+1的图象的对称轴方程是x=+kπ(k∈Z).
15.答案　[-3,1]
解析　解法一:y===3+,
因为-1≤sin x≤1,所以-3≤sin x-2≤-1,则-1≤≤-,-6≤≤
-2,-3≤3+≤1,
所以函数的值域为[-3,1].
解法二:由y=得ysin x-2y=3sin x,
易知y≠3,则sin x=,由|sin x|≤1,得≤1,
即4y2≤(y-3)2,解得-3≤y≤1,
所以函数的值域为[-3,1].
方法总结
　　求解y=(ac≠0)型函数的值域的两种方法:
反解出sin x,得到sin x=f(y),再根据-1≤sin x≤1列出不等式-1≤f(y)≤1,此不等式的解集即为原函数的值域.
(2)利用分离常数法,化为只有分母含sin x的函数,然后利用
sin x的有界性,求得值域.
16.答案　0
解析　设F(x)=f(x)-2=sin x+x+x3,则F(x)的定义域为R,关于原点对称,
∵F(-x)=-F(x),∴F(x)是奇函数,
∵f(m)=4,∴F(m)=f(m)-2=2,
∴F(-m)=-F(m)=-2,即F(-m)=f(-m)-2=-2,
∴f(-m)=0.
一题多解
由f(x)=sin x+x+x3+2得f(x)+f(-x)=sin x+x+x3+2+sin(-x)+(-x)+
(-x)3+2=4,
所以f(m)+f(-m)=4+f(-m)=4,即f(-m)=0.
17.解析　对于f(x)=-sin2x+sin x+2,
当x∈时,sin x∈,
令t=sin x,则t∈,
原函数等价为g(t)=-t2+t+2=-+,
故g(t)在上单调递增,在上单调递减,
又g=,g=,g(1)=,
所以f(x)min=,f(x)max=,
所以f(x)∈.
解析　(1)∵y=sin x在上单调递减,-<-3<-2<-,
∴sin(-3)>sin(-2).
(2)sin=sin=sin,
∵y=sin x在上单调递增,且-<-<<,
∴sinsin.
(3)sin=sin=sin=-sin,cos=cos=cos=cos=-sin,
∵y=sin x在上单调递减,且<<<,
∴sin>sin,∴-sin<-sin,
∴sin能力提升练
1.A 2.D 3.ABD 4.C 5.AC 6.A 7.A
1.A　函数f(x)=sin x-的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,
因为f(-x)=sin(-x)-=-=-f(x),
所以f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,
当x>0且x→0时,f(x)→-∞,故排除B,C;
又f=1->0,故排除D.
2.D　当x=π时,f(π)=0+1=1,所以π不是f(x)的零点.当x≠π时,令f(x)=(x-π)sin x+1=0,可得sin x=,在同一平面直角坐标系内作出函数y=sin x和y=的部分图象,如图,
它们均关于点(π,0)对称,由图象可知它们在[-2π,4π]上有8个交点,且这8个交点可分成4对关于点(π,0)对称的点,每对对称点的横坐标之和均为2π,所以这8个点的横坐标之和,即f(x)在区间[-2π,4π]上的所有零点之和,为8π.
ABD　对于A,由正弦函数的性质可知,函数y=sin x(0≤x≤2π)和y=
-sin x(0≤x≤2π)的图象都关于点(π,0)中心对称,则曲线C也关于点(π,0)中心对称,故A正确;
对于B,直线x=t(0≤t≤2π)被曲线C截得的弦的长为|sin t-
(-sin t)|=|2sin t|,
当t=或t=时取得最大值2,故B正确;
对于C,如图所示,记A,B,
则S△OAB=××1=,
易知曲线C所围成区域的面积大于8S△OAB=2π,故C错误;
对于D,结合C中分析知,曲线OA的长大于线段OA的长,
又OA==>,
所以曲线C的周长大于8OA=4,
又(4)2=208>196=142,所以4>14,故D正确.
C　设t=sin x,则f(x)=-4sin2x+4sin x可转化为g(t)=-4t2+4t=
-4+1,所以g(t)≤g=1,且g(0)=0,又函数f(x)=-4sin2x+
4sin x,x∈[0,a]的值域为[0,1],所以≤a≤π,故实数a的取值范围为.
方法总结
　　对于y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数的值域问题,常将sin x视为一个整体,将函数式看成关于sin x的“二次函数”,再通过配方法求值域.
AC　由题知,函数f(x)的定义域是R,关于原点对称,因为f(-x)=
sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)为偶函数,故A正确;
当x∈[0,π]时,|x|=x,|sin x|=sin x≥0,所以f(x)=2sin x;
当x∈(π,2π)时,|x|=x,|sin x|=-sin x≥0,所以f(x)=0,所以f(x)的部分图象如图所示,
所以f(x)在上单调递增,故B错误;
f(x)的最大值为2,故C正确;
由图象可知,函数f(x)不是周期函数,故D错误.
6.A　∵f(x1)f(x2)=2[f(x1)-f(x2)-1],
∴[f(x1)+2][f(x2)-2]=-6,
∵f(x)=sin x+,且-1≤sin x≤1,
∴-1≤f(x)≤+1,
∴+1≤f(x1)+2≤+3,-3≤f(x2)-2≤-1,
∴f(x1)+2>0恒成立,∴-3≤f(x2)-2<0,
∴[f(x1)+2][f(x2)-2]∈[(-3)×(+3),0×(+1)),即[f(x1)+2][f(x2)-2]∈[-6,0),
当且仅当f(x1)+2=+3,f(x2)-2=-3时,
[f(x1)+2][f(x2)-2]=-6成立,
∴sin x1=1,sin x2=-1,
∴x1=2k1π+,k1∈Z,x2=2k2π-,k2∈Z,
∴|x1-x2|=|2(k1-k2)π+π|,k1∈Z,k2∈Z,
∴=π.
7.A　设F(x)=x3+sin x,x∈,定义域关于原点对称,
因为F(-x)=(-x)3+sin(-x)=-(x3+sin x)=-F(x),
所以函数F(x)为奇函数,
又y=x3与y=sin x在x∈上均单调递增,
所以函数F(x)在上单调递增.
若x3+y3>-sin x-sin y,则x3+sin x>-y3-sin y,
即F(x)>F(-y),所以x>-y,即x+y>0,
此时“x3+y3>-sin x-sin y”是“x+y>0”的充分条件;
当x+y>0,即x>-y时,有F(x)>F(-y),
即x3+sin x>-y3-sin y,即x3+y3>-sin x-sin y,
此时“x3+y3>-sin x-sin y”是“x+y>0”的必要条件.
综上所述,“x3+y3>-sin x-sin y”是“x+y>0”的充要条件.
8.答案　(,2)
解析　由>0,得-1因为f(-x)=ln+sin(-x)=-ln -sin x=-f(x),
所以f(x)为奇函数,
又f(a-2)+f(a2-4)<0,
所以f(a-2)<-f(a2-4)=f(4-a2).
由函数y==-1,y=sin x在(-1,1)上都单调递增,可得函数f(x)在其定义域上单调递增,
所以解得9.答案　(1)(-∞,2)　(2)2
解析　(1)由f(x)=,得f(x-2)+f(-x)=+
==2,
所以2-a>0,即a<2,故a的取值范围为(-∞,2).
(2)解法一:由(1)知,f(x-2)+f(-x)=2,则f(x)的图象关于点(-1,1)对称,所以f(x)max+f(x)min=2.
解法二:f(x)==1+,
记g(x)=,则g(x-1)=,
易知g(x-1)在R上为奇函数,
所以g(x)max+g(x)min=g(x-1)max+g(x-1)min=0,
所以f(x)max+f(x)min=1+g(x)max+1+g(x)min=2.
10.解析　(1)令m=sin x,则m∈[0,1],原函数等价为g(m)=2m2-am+1,m∈[0,1],易知此函数在R上的图象开口向上,对称轴方程为m=,
当a<0时,m=<0,则函数g(m)在[0,1]上单调递增,
所以g(m)max=g(1)=2-a+1=3-a,
即f(x)的最大值为3-a.
(2)令t=sin x,则t∈[0,1],
则f(x)在[0,π]上有零点等价于y=2t2-at+1在[0,1]上有零点,
当t=0时,2×02-a×0+1=1≠0,所以只需研究t∈(0,1]时的情况,
令2t2-at+1=0,则a=2t+,t∈(0,1],
因为2t+≥2=2,
当且仅当2t=,即t=时,等号成立,
所以a≥2,即a的最小值为2.
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