第一章　三角函数 5.2 余弦函数的图象与性质再认识--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2026北师大版高中数学必修第二册
5.2　余弦函数的图象与性质再认识
基础过关练
题组一　余弦函数的图象及应用
1.用“五点(画图)法”作y=2cos x-1在[0,2π]上的图象时,应取的五点为(　　)
A.(0,1),,(π,-1),,(2π,1)
B.(0,1),,(π,-3),,(2π,1)
C.(0,1),(π,-3),(2π,1),(3π,-3),(4π,1)
D.(0,1),,,,
2.(2024云南昆明期末)函数y=(|cos x|-cos x),x∈[0,2π]的大致图象为(　　)
　　　　
　　
3.(2025陕西西安交通大学附属中学期末)不等式4cos2x-3≤0的解集是(　　)
A.kπ+,kπ+(k∈Z)
B.kπ-,kπ+(k∈Z)
C.kπ-,kπ+(k∈Z)
D.kπ+,kπ+(k∈Z)
4.方程|x|=cos x在(-∞,+∞)内(　　)
A.没有实根　　B.有且仅有一个实根
C.有且仅有两个实根　　D.有无穷多个实根
5.(2024山东青岛期末)当x∈(0,2π)时,函数f(x)=sin x与g(x)=|cos x|的图象的所有交点的横坐标之和为(　　)
A.π　　B.2π　　C.3π　　D.4π
题组二　余弦函数的性质及应用
6.(2025浙江名校新高考研究联盟联考)若f(x)=-cos x为奇函数,则实数m=(　　)
A.-1　　B.0　　C.1　　D.2
7.(2024湖北黄石二中月考)设a=cos 1,b=ln(cos 1),c=ecos 1,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a8.(多选题)(2023重庆第一中学校期末)已知函数f(x)=|2cos x|,则(　　)
A.函数f(x)的最小正周期T=2π
B.函数f(x)在上单调递增
C.函数f(x)在上的值域为(0,)
D.函数f(x)的图象关于直线x=2 025π对称
9.函数y=cos x在区间[-π,a]上单调递增,则a的取值范围是　　　　.
10.(2025上海建平中学开学摸底考试)函数f(x)=log(sin x)cos x的定义域为　　　　.
11.(2025陕西渭南蒲城第三高级中学质检)已知函数f(x)=2cos x.
(1)求函数f(x)在区间上的最小值;
(2)求方程f(x)+1=0,x∈[-2π,2π]的解.
能力提升练
题组一　余弦函数的图象与性质及其应用
1.(2023北京房山测试)若α,β是锐角三角形的两个内角,则下列各式中一定成立的是(　　)
A.cos α>cos β　　B.sin αC.cos α>sin β　　D.cos α2.(2024广东深圳外国语学校期末)已知函数f(x)=cos(sin x),则f(x)=在[-π,π]内的解的个数为(　　)
A.1　　B.2　　
C.3　　D.4
3.(2025河南郑州质量预测)关于函数f(x)=2cos x+,下列结论错误的是(　　)
A.函数f(x)的图象关于y轴对称
B.函数f(x)的图象关于直线x=对称
C.函数f(x)的最小正周期为2π
D.函数f(x)的最小值为2
4.写出一个同时满足以下条件的函数:f(x)=　　　　　　　　.
①f(x)的解析式中含有cos x;
②f(x)的最大值为3,最小值为-1;
③f(x)在[0,1]上单调.
5.已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+af(x)+1=0(a∈R)有且仅有12个不同的实根,则实数a的取值范围是　　　　　　.
6.已知f(x)=-cos2x+acos x-+.
(1)用a表示f(x)的最大值M(a);
(2)当M(a)=2时,求a的值.
题组二　正弦函数、余弦函数的综合问题
7.(2025江西抚州金溪第一中学等校联考)已知a=cos(sin 1),b=cos(sin 2),则(　　)
A.b>0>a　　B.b>a>0　　
C.a>0>b　　D.a>b>0
8.(多选题)(2025河南南阳六校联考)若函数f(x)=则下列正确的是(　　)
A.f(x)是以π为周期的函数
B.f(x)的图象关于对称
C.f(x)在区间2kπ+π,2kπ+,k∈Z上单调递减
D.f(x)的值域为[-1,1]
9.(多选题)(创新题)(新定义·从新定义角度理解函数有界性)若存在实数M∈(0,+∞),对任意x∈I,使得|f(x)|≤M|x|,则称f(x)是区间I上的“边界函数”,下列结论正确的是(　　)
A.f(x)=是R上的“边界函数”
B.f(x)=sin x是上的“边界函数”
C.f(x)=cos x是上的“边界函数”
D.若f(x)是[0,1]上的“边界函数”,则f(sin2x)是上的“边界函数”
10.(2024湖南长沙长郡中学月考)若cos5θ-sin5θ<3(sin3θ-cos3θ),且θ∈[0,2π),则θ的取值范围为　　　　.
答案与分层梯度式解析
5.2　余弦函数的图象与性质再认识
基础过关练
1.B 2.A 3.A 4.C 5.A 6.D 7.C 8.BD
1.B　
2.A　设f(x)=cos x,x∈[0,2π],令f(x)≥0,得x∈∪,令f(x)<0,得x∈.
因此y=(|cos x|-cos x)
=
故函数y=(|cos x|-cos x),x∈[0,2π]的大致图象为A.
3.A　由4cos2x-3≤0,得cos 2x≤,解得-≤cos x≤,在同一平面直角坐标系内作出函数y=cos x的部分图象和直线y=±,如图,由图可知原不等式在[0,π]上的解集为,,在[-π,0]上的解集为,解集的左、右端点均相差π的整数倍,所以原不等式在R上的解集为kπ+,kπ+(k∈Z).
4.C　在同一平面直角坐标系内作出函数y=|x|,y=cos x的大致图象,如图所示,
由图可知这两个函数的图象有两个交点,即方程|x|=cos x在(-∞,+∞)内有且仅有两个实根.
方法总结
　　形如f(x)=g(x)的方程解的个数问题常转化为函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点个数问题.
5.A　在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)=sin x和g(x)=|cos x|在(0,2π)上的图象,如图所示,
由图可知,当x∈(0,2π)时,两图象恰有2个交点,且这2个交点的横坐标分别为,,
故所有交点的横坐标之和为+=π.
6.D　解法一:由函数是奇函数得f(-x)=-f(x),
即-cos(-x)=-+cos x,
所以+=2cos x,即cos x=2cos x,
又因为cos x=0不恒成立,所以m=2.
解法二:因为f(x)为奇函数,且在x=0处有意义,所以f(0)=-1=0,解得m=2,则f(x)=-cos x,其定义域为R,且f(-x)=-cos(-x)=-cos x=-cos x=-+cos x=-f(x),满足题意,故m=2.
7.C　因为0e0=1,所以b8.BD　f(x)=|2cos x|=2|cos x|,作出其大致图象,如图:
由图象可知,函数f(x)的最小正周期T=π,故A错误;
由图象可知,函数的单调递增区间为(k∈Z),故函数f(x)在上单调递增,故B正确;
当x∈时,cos x∈,此时f(x)∈[0,2],故C错误;
f(2 025π)=2|cos 2 025π|=2=f(x)max,故函数f(x)的图象关于直线x=
2 025π对称,故D正确.
9.答案　(-π,0]
解析　因为y=cos x在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减,所以当且仅当-π10.答案　
解析　对于f(x)=log(sin x)cos x,可得00,
解0解cos x>0,得-+2k2π综上可得,2kπ所以f(x)=log(sin x)cos x的定义域为x2kπ11.解析　(1)因为f(x)=2cos x在上单调递增,在上单调递减,且f=2cos=2cos =-1,f=2cos =,
所以当x=-时,f(x)min=-1,
所以函数f(x)在区间上的最小值为-1.
(2)f(x)+1=0,即2cos x+1=0,即cos x=-.
因为x∈[-2π,2π],
所以x=-或x=-或x=或x=.
能力提升练
1.D 2.D 3.C 7.D 8.CD 9.ABD
1.D　由题意得,<α+β<π,且0<α<,0<β<,
所以0<-β<α<,
又函数y=cos x在上单调递减,
所以cos>cos α,即sin β>cos α,故D中式子成立,
C中式子不成立;
又角α,β的具体大小不确定,所以A,B中式子不一定成立.
2.D　解法一: 依题意得cos(sin x)=,因为x∈[-π,π],所以sin x∈[-1,1],令t=sin x,则t∈[-1,1],cos t=,解得t=或t=-,即sin x=或sin x=-,在同一平面直角坐标系中作出函数t=sin x在x∈[-π,π]上的图象和直线t=±,如图,
由图可知,函数t=sin x在x∈[-π,π]上的图象和直线t=±有4个不同的交点,即f(x)=在[-π,π]内的解的个数为4.
解法二:易知f(x)=cos(sin x)的定义域为R,关于原点对称,
因为f(-x)=cos[sin(-x)]=cos(-sin x)=cos(sin x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,
又f(x+π)=cos[sin(x+π)]=cos(-sin x)=cos(sin x)=f(x),所以函数f(x)的一个周期为π,
由题知,cos(sin x)=,所以sin x=±,
故当x∈[0,π]时,sin x=,此时x有两个实数解,故函数f(x)在[0,π]内有两个实数解,
又函数f(x)为偶函数,所以函数f(x)在[-π,0]内也有两个实数解,故f(x)=在[-π,π]内的解的个数为4.
3.C　对于A,f(x)的定义域为R,关于原点对称,
因为f(-x)=2cos(-x)+=2cos x+=f(x),
所以f(x)是偶函数,所以函数f(x)的图象关于y轴对称,故A中结论正确;
对于B, x∈R,f(π-x)=2cos(π-x)+=2-cos x+=+
2cos x=f(x),
所以函数f(x)的图象关于直线x=对称,故B中结论正确;
对于C,因为f(π+x)=2cos(π+x)+=2-cos x+=+
2cos x=f(x),
所以π为函数f(x)的一个周期,故2π不是函数f(x)的最小正周期,故C中结论错误;
对于D,因为-1≤cos x≤1,所以≤2cos x≤2,设t=2cos x,则原函数等价为y=t+,t∈,2,
因为t+≥2,当且仅当t=,即t=1时等号成立,
所以函数f(x)的最小值为2,故D中结论正确.
4.答案　2cos x+1(答案不唯一)
解析　若f(x)=2cos x+1,则显然满足条件①;由cos x∈[-1,1],可得2cos x+1∈[-1,3],满足条件②;由于y=cos x在区间[0,1]上单调递减,所以f(x)=2cos x+1在区间[0,1]上单调递减,满足条件③.故答案为2cos x+1(答案不唯一).
5.答案　
解析　作出函数f(x)的图象如图,
令f(x)=t,要使关于x的方程[f(x)]2+af(x)+1=0(a∈R)有且仅有12个不同的实根,只需方程t2+at+1=0有两个不同的实根t1,t2,且t1,t2∈(0,2).
设g(t)=t2+at+1,
则有解得-因此实数a的取值范围是.
6.解析　(1)f(x)=-cos2x+acos x-+
=-+-+,
∵0≤x≤,∴0≤cos x≤1.
①当0≤≤1,即0≤a≤2时,M(a)=-+;
②当>1,即a>2时,M(a)=f(0)=a-;
③当<0,即a<0时,M(a)=f =-+.
∴M(a)=
(2)当-+=2时,a=3或a=-2,均不符合题意;
当a-=2时,a=,符合题意;
当-+=2时,a=-6,符合题意.
综上,a=或a=-6.
7.D　因为sin 2=sin(π-2),且0<1<π-2<,函数y=sin x在区间上单调递增,所以0所以cos(sin 1)>cos(sin 2)>0,即a>b>0.
8.CD　当x∈-,时,sin x≤cos x,所以f(x)=sin x;
当x∈时,sin x>cos x,所以f(x)=-cos x.
所以函数f(x)的部分图象如图所示:
对于A,函数f(x)的最小正周期为2π,故A错误;
对于B,结合A可知f=f=sin =,
但关于的对称点并不在函数f(x)的图象上,故B错误;
对于C,由图象可知,f(x)在区间2kπ+π,2kπ+,k∈Z上单调递减,故C正确;
对于D,由图象可知,f(x)的值域为[-1,1],故D正确.
9.ABD　对于A, x∈R,=≤≤1,
则|f(x)|==·|x|≤1·|x|,A正确.
对于B, x∈,==≤<,则|f(x)|≤·|x|,B正确.
对于C, x∈,=,当x趋近于0时,趋近于+∞,
则不存在实数M>0,对任意x∈,使得≤M,即不存在实数M>0,对任意x∈,使得|f(x)|≤M|x|,C不正确.
对于D,因为f(x)是[0,1]上的“边界函数”,所以 实数M>0, x∈[0,1],|f(x)|≤M|x|,
又 x∈,sin 2x∈[0,1],所|f(sin2x)|≤M·|sin2x|≤M10.答案　
解析　由cos5θ-sin5θ<3(sin3θ-cos3θ),得3sin3θ+sin5θ>3cos3θ+cos5θ.
设f(x)=3x3+x5,则原不等式可化为f(sin θ)>f(cos θ),
易知f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,所以sin θ>cos θ,故2kπ+<θ<2kπ+(k∈Z),
又因为θ∈[0,2π),所以θ的取值范围是.
方法总结
　　利用同构法解不等式,是通过移项、变号等操作将不等式转化为一个等价的、更容易求解的形式.例如本题,将原不等式通过移项、同构转化为f(sin θ)>f(cos θ)的形式,再利用函数f(x)=3x3+x5的单调性脱去“f ”求解.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)