第一章　三角函数 7.3　正切函数的图象与性质--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
7.3　正切函数的图象与性质
基础过关练
题组一　正切(型)函数的图象及其应用
1.(2025江西抚州金溪一中等校联考)函数f(x)=tan在某一周期内的大致图象为(　　)
　　　　　　
　　　
2.(2024河南新乡开学考试)函数f(x)=tan ωx(ω>0)图象中的相邻两支截直线y=1所得的线段长为,则f的值是(　　)
A.0　　B.1　　C.-1　　D.
3.(2025安徽淮南第二中学月考)与函数y=tan2x+的图象不相交的一条直线的方程是(　　)
A.x=　　B.x=-　　C.x=　　D.x=-
4.根据正切函数的图象,写出使不等式3+tan 2x≥0成立的x的取值集合.
题组二　正切(型)函数的性质及其应用
5.(2025福建厦门月考)函数y=的定义域为(　　)
A.,k∈Z　　B.,k∈Z
C.,k∈Z　　D.,k∈Z
6.(2025江西宜春中学月考)已知函数f(x)满足f(x)=f(π-x),且当x∈时,f(x)=x+tan x,则(　　)
A.f(1)C.f(3)7.(多选题)(2024湖北部分学校期末联考)已知函数f(x)=tan,则(　　)
A. f(x)的最小正周期为
B. f(x)的定义域为xx≠+,k∈Z
C. f(x)图象的对称中心为,k∈Z
D. f(x)的单调递增区间为,k∈Z
8.(2024福建莆田期末)函数y=tan2x+4tan x-1,x∈的值域为　　　　　.
9.(2025河南南阳六校期中联考)若函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象与直线y=a的两个相邻交点之间的距离为,且f为奇函数,则φ的最小值为　　　　.
能力提升练
题组一　正切(型)函数的图象及其应用
1.(2025吉林一中月考)已知函数f(x)=tan(ωx-φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则ωφ=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.(多选题)若函数f(x)=则下列结论正确的是(　　)
A. f(x)的值域为(-1,+∞)
B. f(x)的单调递增区间为,k∈Z
C.当且仅当kπ-D. f(x)的最小正周期是2π
3.(2025江西赣州十八县(市)二十五校期中联考)函数f(x)满足:当x∈时,f(x)=tan x;f(x+π)=f(x);f=f(x).若方程f(x)=在区间(0,m)上有且仅有6个不同实根,则m的取值范围是　　　　.
题组二　正切(型)函数的性质及其应用
4.(多选题)(2025四川南充西充中学月考)在锐角△ABC中,三个内角分别是A,B,C,且A>B,则下列说法正确的是(　　)
A.tan A>tan B　　B.tan AC.tan A·tan B>1　　D.05.(2025河南豫东名校期末)若函数f(x)=tanωx+(ω>0)的最小正周期为2π,且函数f(x)在区间(-m,m)上单调递增,则m的取值范围是(　　)
A.　　B.
C.　　D.
6.(2023江西赣州中学月考)已知函数f(x)=tan(ωx+φ)ω>0,|φ|<的图象经过点(0,),若f(x)在区间[0,π]上恰有2个零点,则实数ω的取值范围是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
7.若函数f(x)=tan(ω>0)的最小正周期为π,则(　　)
A. f(2)>f(0)>f
B. f(0)>f(2)>f
C. f(0)>f >f(2)
D. f >f(0)>f(2)
8.(2023河北衡水二中月考)已知f(x)=2tan(ωx+φ),f(0)=,周期T∈,是f(x)图象的一个对称中心,则f 的值为(　　)
A.-　　B.　　C.　　D.-
9.(多选题)(2025山西吕梁期末)已知f(x)=tan x+,则(　　)
A.f(x)的定义域为
B.f(x)的图象关于点对称
C.f(x)的图象关于直线x=对称
D.f(x)在区间上单调递减
10. (2024安徽淮北期末)已知定义在上的函数f(x)=x3+tan x+2,则不等式f(x-2)+f >4的解集是(　　)
A.　　B.
C.　　D.
11.(2025四川绵阳南山中学月考)已知x1,x2是函数f(x)=tan(ωx-φ)(ω>0,0<φ<π)的两个零点,且|x1-x2|的最小值为,若将函数f(x)图象上的所有点向左平移个单位长度后得到的图象关于对称,则φ的最大值为　　　　.
12.已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠+kπ,k∈Z.
(1)当θ=-,x∈[-1,]时,求函数f(x)的最大值与最小值;
(2)若函数g(x)=为奇函数,求θ的取值集合;
(3)求使y=f(x)在区间[-1,]上单调的θ的取值范围.
13.(2024江西部分高中联考)已知函数f(x)=tan ωx(ω>0)与函数g(x)=cos ωx的部分图象如图所示,若图中阴影部分的面积为4.
(1)求f(x)的定义域;
(2)若h(x)=3f(x)+x2-4是定义在上的函数,求关于x的不等式h(x)≤0的解集.
答案与分层梯度式解析
7.3　正切函数的图象与性质
基础过关练
1.C 2.A 3.C 5.C 6.D 7.ABD
1.C　f(x)的最小正周期T=,排除B,D;
f(0)=tan-=-1<0,排除A.
A　因为函数f(x)=tan ωx(ω>0)图象中的相邻两支截直线y=1所得的线段长为,所以f(x)的最小正周期为,则=,解得ω=4,即f(x)=
tan 4x,故f=tan π=0.
3.C　由2x+=+kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z),
令k=0,得x=,令k=1,得x=,令k=-1,得x=-,令k=-2,得x=-,
结合选项得函数y=tan的图象与直线x=不相交.
4.解析　由3+tan 2x≥0得tan 2x≥-.如图所示,在同一平面直角坐标系中作出函数y=tan x,x∈的图象和直线y=-.
由图可得,在区间内,不等式tan x≥-的解集是,
∴在函数y=tan x的定义域xx≠kπ+,k∈Z内,不等式tan x≥-的解集是xkπ-≤x令kπ-≤2x∴使不等式3+tan 2x≥0成立的x的取值集合是.
5.C　由题意得1-tan≥0,得tan≤1,
所以kπ-得kπ-故所求函数的定义域为,k∈Z.
6.D　因为f(x)=f(π-x),
所以f(2)=f(π-2),f(3)=f(π-3),
因为函数y=x,y=tan x在上都单调递增,
所以函数f(x)=x+tan x在上单调递增,
又0<π-3<1<π-2<,所以f(π-3)所以f(3)方法总结
　　利用正切函数的单调性比较大小时,要注意利用对称性、周期性、诱导公式等使自变量的值在同一个单调区间内.
7.ABD　由已知得f(x)的最小正周期T=,故A正确;
令2x-≠kπ+,k∈Z,解得x≠+,k∈Z,
所以f(x)的定义域为xx≠+,k∈Z,故B正确;
令2x-=,k∈Z,解得x=+,k∈Z,
所以函数f(x)图象的对称中心为,k∈Z,故C错误;
令-+kπ<2x-<+kπ,k∈Z,
解得-+所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z,故D正确.
8.答案　[-4,4]
解析　当x∈时,tan x∈[-1,1],
∵y=tan2x+4tan x-1=(tan x+2)2-5,
∴当tan x=-1时,ymin=-4;当tan x=1时,ymax=4.
∴y=tan2x+4tan x-1,x∈的值域为[-4,4].
9.答案　
解析　因为函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象与直线y=a的两个相邻交点之间的距离为,
所以f(x)的最小正周期T=,
又T==,所以ω=3,所以f(x)=tan(3x+φ),
则f=tan,
又f为奇函数且φ>0,
所以φ+=(k∈N+),所以φ=-+(k∈N+),
所以φ的最小值为.
能力提升练
1.C 2.AD 4.AC 5.B 6.D 7.C 8.D 9.BCD
10.C
1.C　由题图可知,f(x)的最小正周期T=-==,所以ω=2,则f(x)=tan(2x-φ),
又当x=时,f(x)无意义,则-φ=kπ+,k∈Z,
则φ=-kπ,k∈Z,
又0<φ<π,所以φ=,所以ωφ=.
2.AD　当tan x>sin x,即kπ当tan x≤sin x,即kπ-画出y=f(x)的大致图象,如图.
由图可得,f(x)的单调递增区间是和(k∈Z),故B错误.
当x∈(k∈Z)时, f(x)≤0,故C错误.
由f(x)的图象可知f(x)的最小正周期是2π,故D正确.
3.答案　
解析　因为f(x+π)=f(x),f=f(x),
所以f(x)是以π为周期的周期函数,且其图象关于直线x=对称,
而当x∈时,f(x)=tan x,
则在x∈上,令tan x=,解得x=,
由于方程f(x)=在区间(0,m)上有且仅有6个不同实根,
所以m的值必须大于由小到大的第6个实根,且小于或等于第7个实根,
当x∈(0,π]时,有f=f=f=,
则由小到大的第2个实根为,故方程在第一个周期(0,π]上有,两个实根,
利用函数的周期性,可以求得方程f(x)=在区间(0,+∞)上的前7个实根依次为,,,,,,,所以4.AC　由题意可知>A>B>0,A+B>,则0<-B<,
A>-B,
因为函数y=tan x在上单调递增,
所以tan A>tan B,tan A>tan=>0,
所以tan A·tan B>1,故A,C正确.
5.B　由题意知T==2π,解得ω=,
所以f(x)=tan,
令-+kπ解得-+2kπ当k=0时,可得f(x)在上单调递增,
又函数f(x)在区间(-m,m)上单调递增,所以0即m的取值范围是.
6.D　由题意得f(0)=tan φ=,因为|φ|<,所以φ=,故f(x)=tan,
当x∈[0,π]时,ωx+∈,
若函数f(x)在区间[0,π]上恰有2个零点,则2π≤ωπ+<3π,解得≤ω<.
7.C　由函数f(x)=tan(ω>0)的最小正周期为π,可得=π,解得ω=1,故f(x)=tan,
令-+kπ得-+kπ当k=1时,又f(0)=f(π), f =f =f ,
且π>π>>2>,
所以f(0)>f >f(2).
8.D　由题知f(0)=2tan φ=,∴tan φ=,
又∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2tan.
∵T=∈,∴<ω<4.
又是f(x)图象的一个对称中心,
∴+=,k∈Z,∴ω=3k-1,k∈Z,
∴ω=2,∴f(x)=2tan,
∴f =2tan =-2tan =-.
9.BCD　要使f(x)有意义,则tan x≠0且tan x有意义,
所以x≠kπ,k∈Z且x≠kπ+,k∈Z,即x≠,k∈Z,故A错误;
f(π-x)=tan(π-x)+=-f(x),故B正确;
f=tan+=+=+=+tan x=f(x),故C正确;
任取x1,x2∈,且x1则f(x1)-f(x2)=tan x1+-tan x2-=(tan x1-tan x2)+-=
(tan x1-tan x2)·,
因为x1,x2∈,且x10,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在区间上单调递减,故D正确.
10.C　由f(x-2)+f>4,得f(x-2)-2>-,
令g(x)=f(x)-2=x3+tan x,x∈,其定义域关于原点对称,又g(-x)+g(x)=-x3-tan x+x3+tan x=0,所以g(x)为奇函数,
则f(x-2)-2>-等价于g(x-2)>-g=g,
因为y=x3,y=tan x在上均单调递增,
所以g(x)在上单调递增,
所以解得11.答案　
解析　由题意得,函数f(x)的最小正周期T=,则=,得ω=3,则f(x)=tan(3x-φ),
将函数f(x)图象上的所有点向左平移个单位长度,得到y=tan3-φ=tan3x+-φ的图象,
要使该图象关于对称,则3×+-φ=,k∈Z,所以φ=-,k∈Z,
又0<φ<π,所以当k=2时,φ取得最大值,为.
12.解析　(1)当θ=-时, f(x)=x2-x-1=-.
∵x∈[-1,],且f(x)的图象开口向上,
∴当x=时, f(x)min=-;
当x=-1时,f(x)max=.
(2)由题可知g(x)=x-+2tan θ,∵g(x)为奇函数,
∴g(-x)+g(x)=-x++2tan θ+x-+2tan θ=4tan θ=0,
∴tan θ=0,∴θ=kπ,k∈Z.
故θ的取值集合为{θ|θ=kπ,k∈Z}.
(3)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-tan θ.
∵f(x)在区间[-1,]上单调,
∴-tan θ≥或-tan θ≤-1,即tan θ≤-或tan θ≥1,
∴-+kπ<θ≤-+kπ或+kπ≤θ<+kπ,k∈Z,
故θ的取值范围是∪+kπ,+kπ,k∈Z.
13.解析　(1)如图,过点C作垂直于x轴的直线,
易知过点C且垂直于x轴的直线为x=,且阴影部分的面积等于矩形ABCO的面积,
所以S矩形ABCO=1×=4,解得ω=,所以f(x)=tan ,
由≠+kπ,k∈Z,得x≠2+4k,k∈Z,
故函数f(x)的定义域为{x|x≠2+4k,k∈Z}.
(2)由(1)知f(x)=tan ,
所以h(x)=3tan +x2-4,x∈(-2,2),
因为h(x)≤0,所以3tan ≤-x2+4,
设v(x)=3tan ,u(x)=-x2+4,x∈(-2,2),即求v(x)≤u(x),x∈(-2,2)的解集,
在同一平面直角坐标系中作出函数y=u(x),y=v(x)的图象,如图,
由图可知,当-2故不等式h(x)≤0的解集为(-2,1].
解题模板
　　对于正切曲线与其他直线或曲线围成的图形面积问题,常借助图象的对称性,利用割补法,将图形分割或补形成规则图形,再求其面积.
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