第一章 三角函数--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）
文档属性
| 名称 | 第一章 三角函数--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 365.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-22 00:00:00 | ||
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2026北师大版高中数学必修第二册
第一章 三角函数
全卷满分150分 考试用时120分钟
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知扇形的弧长为2,面积为1,则扇形的圆心角的弧度数是( )
A.4 B.2 C. D.
2.使lg(sin θ·cos θ)+有意义的θ为( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3.若a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 48°,则( )
A.c4.下列函数中,以π为周期,且在区间上单调递增的是( )
A.y=|sin x| B.y=|cos x| C.y=sin D.y=|tan x|
5.函数f(x)=的图象大致为( )
6.已知函数f(x)=tan(2x+φ)的部分图象如图所示,其最小正周期为T,则( )
A.T=π
B.cos φ=-
C.f(x)的一个单调递增区间为
D.f为奇函数
7.将函数f(x)=2sin(2x-θ)图象上所有点的横坐标缩短为原来的,再将所得图象上的所有点向右平移个单位长度得到一个偶函数g(x)的图象,则f(x)的零点为( )
A.-+(k∈Z) B.-+(k∈Z)
C.-+(k∈Z) D.-+(k∈Z)
8.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[3,4]时, f(x)=x-3,则( )
A. f(sin 1)f
C. f >f D. f二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列结论正确的是( )
A.-是第三象限角
B.若圆心角为的扇形的弧长为π,则该扇形的面积为
C.若角α的终边上有一点P(-3,4),则cos α=-
D.若α为锐角,则2α为钝角
10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△ABC是等腰直角三角形,A,B为图象与x轴的交点,C为图象上的最高点,且OB=3OA,则下列结论错误的是( )
A.f(2)+f(5)=- B.f(x)在(3,7)上有3个零点
C.f(x)在(1,2)上单调递减 D.函数f(x)的图象关于直线x=对称
11.科学研究已经证实:人的智力、情绪和体力分别以33天、28天和23天为周期,按曲线y=sin ωx(ω>0)进行变化.记智力曲线为I,情绪曲线为E,体力曲线为P,则( )
A.第35天时情绪曲线E处于最高点
B.第33天到第42天之间,智力曲线I与情绪曲线E不相交
C.第46天到第50天之间,体力曲线P处于上升期
D.体力曲线P关于点(320,0)对称
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.将答案填在题中横线上)
12.已知函数f(x)=sin x,若对任意x∈R都有f(x)+f(x+m)=0,则实数m的一个可能取值为 .
13.方程lg(sin x)=lg(cos x)的解构成的集合为 .
14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤,f=0,f=f,且f(x)在上单调,则ω的最大值为 .
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)
(1)化简:;
(2)若sin=,求sin+cos的值.
16.(15分)在以下三个条件中任选一个,补充在下面问题的横线上,并解答.
条件:①将函数f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称;②函数y=f 是奇函数;③当x=时,函数y=f 取得最大值.
问题:已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),ω>0,|φ|<,其图象的两个相邻对称中心之间的距离为, .
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在上的最小值,并写出取得最小值时x的值.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
17.(15分)已知函数f(x)=cos(2ωx+φ)的最小正周期为π,点为它的图象的一个对称中心.
(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间;
(2)若关于x的方程[f(x)]2+m·f(x)-2m=0在上有实数根,求实数m的取值范围.
18.(17分)建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场为响应国家节能减排的号召,在气温低于0 ℃时,才开放中央空调,否则关闭中央空调.下图是该市冬季某一天的气温y(单位:℃)随时间t(0≤t≤24,单位:时)的大致变化曲线,已知该曲线近似满足y=f(t)=Asin+b(A>0,ω>0)的关系.
(1)求y=f(t)的表达式;
(2)请根据(1)的结论,求该商场的中央空调在一天内开启的时长.
19.(17分)若定义在A上的函数f(x)和定义在B上的函数g(x),对任意的x1∈A,存在x2∈B,使得f(x1)+g(x2)=t(t为常数),则称f(x)与g(x)具有关系P(t).已知函数f(x)=2cos,x∈.
(1)若函数g(x)=4sin x,x∈R,判断f(x)与g(x)是否具有关系P(2),并说明理由;
(2)若函数g(x)=2x+a,x∈[-1,2],且f(x)与g(x)具有关系P(4),求a的最大值;
(3)若函数g(x)=cos2x-mcos x+5,x∈R,且f(x)与g(x)具有关系P(3),求m的取值范围.
答案全解全析
1.B 设扇形的圆心角为α rad,则半径为,所以扇形的面积为×2×=1,解得α=2.
2.C 依题意得sin θcos θ>0,且-cos θ≥0,
由sin θcos θ>0得sin θ与cos θ同号,则θ为第一或第三象限角;
由-cos θ≥0,即cos θ≤0知θ为第二或第三象限角,或角θ的终边在y轴上,或角θ的终边在x轴的非正半轴上.
综上,θ为第三象限角.
3.D 根据诱导公式,可得b=cos 55°=sin 35°.
因为函数y=sin x在0°又y=tan x在0°tan 45°=1,即c>1,
所以a4.B 当x∈时,y=|sin x|=sin x,它在此区间上单调递减,故A不正确;
y=|cos x|的图象可以通过将函数y=cos x的图象在x轴下方的部分翻折到x轴的上方,在x轴及其上方的部分保持不变而得到,故其周期为×2π=π,又当x∈时,y=|cos x|=-cos x,它在此区间上单调递增,故B正确;
当函数y=|tan x|的周期为π,在上单调递减,故D不正确.
5.A 易知函数f(x)的定义域为R, f(-x)===f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除C,D;
当x∈(0,π)时,sin x>0,2|x|-1>0,则f(x)>0,故排除B.
6.D 函数f(x)=tan(2x+φ)的最小正周期T=,故A错误;
由题图可得f(0)=tan φ=-,所以φ=-+kπ,k∈Z,
因为-<φ<,所以φ=-,故cos φ=,故B错误;
由kπ-<2x-取k=0,可得函数f(x)的一个单调递增区间为,故C错误;
f=tan(2x-π)=tan 2x,令2x≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z,故f的定义域关于原点对称,又tan(-2x)=-tan 2x,所以此函数为奇函数,故D正确.
7.C 将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的,得到函数y=2sin(4x-θ)的图象,再将所得图象上的所有点向右平移个单位长度,得到函数g(x)=2sin=2sin的图象,
因为g(x)为偶函数,所以+θ=kπ+,k∈Z,解得θ=kπ-,k∈Z,
又因为|θ|<,所以θ=-,所以f(x)=2sin,
令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-+,k∈Z,
即f(x)的零点为-+(k∈Z).
8.A ∵f(x+2)=f(x),∴2是f(x)的一个周期,
当x∈[0,1]时,4-x∈[3,4],
又f(x)是偶函数,当x∈[3,4]时, f(x)=x-3,
∴f(x)=f(x-4)=f(4-x)=4-x-3=1-x,x∈[0,1],∴f(x)在[0,1]上单调递减.
∵sin 1,cos 1∈[0,1],且sin 1>cos 1,∴f(sin 1)∵<<,∴0∵0<<,∴0f ,故D错误.
9.BC A中,-=-2π+是第二象限角,故A错误;B中,设扇形的半径为r,则·r=π,∴r=3,∴扇形的面积S=××32=,故B正确;C中,=5,∴cos α=-,故C正确;D中,α=30°是锐角,但2α=60°不是钝角,故D错误.
10.ABD 由C为图象上的最高点,可知点C的纵坐标为1,
又△ABC为等腰直角三角形,所以AB=2,则函数f(x)的最小正周期为4,由=4,ω>0,可得ω=.又OB=3OA,所以A,B,则C,将点C的坐标代入f(x)=sin,得1=sin,则+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,
又0<φ<π,故φ=,所以f(x)=sin.
易得f(2)+f(5)=sin+sin=-sin +sin =0,A中结论错误;
若x∈(3,7),则x+∈,因为函数y=sin t在t∈上有2π,3π两个零点,所以f(x)=sin在(3,7)上有2个零点,B中结论错误;
若x∈(1,2),则x+∈,因为y=sin m在m∈上单调递减,所以f(x)在(1,2)上单调递减,C中结论正确;
f=sin=0,则f(x)的图象关于点中心对称,D中结论错误.
11.AC 设人的智力曲线、情绪曲线和体力曲线对应的函数解析式分别为f(x)=sin ω1x,g(x)=sin ω2x,h(x)=sin ω3x,ω1,ω2,ω3>0,
所以ω1=,ω2==,ω3=.
第35天时,g(35)=sin=sin =1,故情绪曲线E处于最高点,故A正确;
设F(x)=f(x)-g(x)=sin x-sin x,
则F(33)=sin 2π-sin =-sin <0,F(42)=sin -sin 3π=sin >0,根据零点存在定理得,存在x0∈(33,42),使得F(x0)=0,此时智力曲线I与情绪曲线E相交,故B错误;
当x∈(46,50)时,x∈,
因为<,所以根据正弦函数的性质可得,h(x)=sin x单调递增,故体力曲线P处于上升期,故C正确;
因为h(320)=sin ≠0,所以体力曲线P不关于点(320,0)对称,故D错误.
12.答案 π(答案不唯一)
解析 由于f(x)+f(x+m)=0对任意x∈R恒成立,即f(x)+f(x+m)=sin x+sin(x+m)=0对任意x∈R恒成立,所以sin x=-sin(x+m),
利用诱导公式可得m=2kπ+π,k∈Z.故可填π(答案不唯一,只要是集合{m|m=2kπ+π,k∈Z}中的元素均可).
13.答案
解析 由lg(sin x)=lg(cos x),得sin x=cos x,即tan x=,
所以x=kπ+,k∈Z.①
易知sin x>0,cos x>0,所以2kπ由①②得x=2kπ+,k∈Z,故方程的解构成的集合为.
14.答案 14
解析 由题意得,-+φ=kπ,k∈Z①,且+φ=+nπ,n∈Z②,
解①得φ=+kπ,k∈Z,解②得φ=-+nπ,n∈Z,
所以+kπ=-+nπ,k,n∈Z,则ω=2+4(n-k),k,n∈Z,
又ω>0,所以ω=2,6,10,14,18,…,
由f(x)在上单调,可知≥-=,其中T为最小正周期,
即≥,故0<ω≤18.
当ω=18时,φ=+kπ,k∈Z,或φ=-+nπ,n∈Z,由|φ|≤,可得φ=,所以f(x)=sin,
当x∈时,18x+∈,显然f(x)在此区间上不单调,故ω=18不满足题意;
当ω=14时,φ=+kπ,k∈Z,或φ=-+nπ,n∈Z,由|φ|≤,可得φ=-,所以f(x)=sin,
当x∈时,14x-∈ ,故f(x)在此区间上单调递减,满足题意,
所以ω的最大值为14.
15.解析 (1)原式===-cos α.(6分)
(2)sin+cos=sin+cos=2sin-x=2×=.(13分)
16.解析 (1)设函数f(x)的最小正周期为T.由题意得=,则T=π,所以ω==2,所以f(x)=2sin(2x+φ).(3分)
选择①:因为将函数f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称,所以y=2sin=2sin的图象关于y轴对称,所以φ-=kπ+,k∈Z,(5分)
即φ=+kπ,k∈Z.(7分)
因为|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=2sin.(9分)
选择②:因为y=f=2sin=2sin是奇函数,所以+φ=kπ,k∈Z,(5分)
即φ=-+kπ,k∈Z.(7分)
因为|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=2sin.(9分)
选择③:y=f =2sin=2sin,(5分)
由题意得2×-+φ=2kπ+(k∈Z),则φ=2kπ-(k∈Z).(7分)
因为|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=2sin.(9分)
(2)由(1)知f(x)=2sin.当x∈时,2x-∈,(12分)
所以当2x-=-,即x=-时,函数f(x)取得最小值,为-2.(15分)
17.解析 (1)由最小正周期T==π,得|ω|=1,(1分)
当ω=1时, f(x)=cos(2x+φ),因为点为它的图象的一个对称中心,所以2×+φ=+kπ(k∈Z),所以φ=-+kπ(k∈Z),
又|φ|≤,所以φ=-,所以f(x)=cos;(3分)
当ω=-1时,f(x)=cos(-2x+φ),因为点为它的图象的一个对称中心,所以-2×+φ=+kπ(k∈Z),所以φ=+kπ(k∈Z),
又|φ|≤,所以φ=,所以f(x)=cos=cos.
综上可知,f(x)=cos.(6分)
令-π+2kπ≤2x-≤2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(8分)
(2)当-≤x≤时,-≤2x-≤,故-≤cos≤1,
因此函数f(x)在上的值域为.(10分)
设t=f(x)=cos,则t∈,
要使关于x的方程[f(x)]2+mf(x)-2m=0在上有实数根,
则m=在t∈时有实数根,(12分)
令n=2-t,则n∈,
则m===n+-4在n∈1,时有实数根,
即直线y=m与函数y=n+-4的图象在n∈时有交点,如图,
由图可知m∈[0,1].(15分)
18.解析 (1)由题图知,y=f(t)=Asin+b(A>0,ω>0)的图象上最低点的坐标为(3,-4),与之相邻的最高点的坐标为(15,12),
所以A==8,b==4,
设函数f(t)的最小正周期为T,则=15-3=12,所以T=24,(3分)
又T=,ω>0,所以=24,所以ω=,(5分)
所以y=f(t)=8sin+4(0≤t≤24).(7分)
(2)根据题意,令8sin+4<0,即sin<-,(9分)
由正弦函数的图象得+2kπ解得23+24k又因为0≤t≤24,所以当k=-1时,0≤t<7,当k=0时,23所以0≤t<7或23所以该商场的中央空调在一天内开启的时长为8小时.(17分)
19.解析 (1)f(x)与g(x)具有关系P(2).(1分)
理由如下:当x∈时,2x+∈,则cos∈,即2cos∈[-2,1],所以f(x)∈[-2,1],(2分)
易知g(x)=4sin x在R上的值域为[-4,4],
由于4-2=2,1+1=2,且[1,4] [-4,4],
所以对任意的x1∈A,存在x2∈B,使得f(x1)+g(x2)=2,
所以f(x)与g(x)具有关系P(2).(4分)
(2)当x∈[-1,2]时,g(x)=2x+a∈[-2+a,4+a],(5分)
由题意得,对任意的x1∈A,存在x2∈B,使得f(x1)+g(x2)=4,
由(1)知,f(x)∈[-2,1],
因为-2+6=4,1+3=4,所以[3,6] [-2+a,4+a],(6分)
即解得2≤a≤5,故a的最大值为5.(8分)
(3)由题意得,对任意的x1∈A,存在x2∈B,使得f(x1)+g(x2)=3,
由(1)知,f(x)∈[-2,1],则[-2,1]是函数y=3-g(x)的值域的子集,
(9分)
易知3-g(x)=3-cos 2x+mcos x-5=-cos 2x+mcos x-2,x∈R,
令p=cos x,则p∈[-1,1],y=3-g(x)等价于h(p)=-p2+mp-2,p∈[-1,1],
当≤-1,即m≤-2时,h(p)∈[h(1),h(-1)]=[m-3,-m-3],
则所以m≤-4;(11分)
当≥1,即m≥2时,h(p)∈[h(-1),h(1)]=[-m-3,m-3],
则所以m≥4;(13分)
当-1<<0,即-2则无解;(15分)
当0≤<1,即0≤m<2时,h(p)∈=,
则无解.
综上所述,m≥4或m≤-4,故m的取值范围是(-∞,-4]∪[4,+∞).(17分)
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2026北师大版高中数学必修第二册
第一章 三角函数
全卷满分150分 考试用时120分钟
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知扇形的弧长为2,面积为1,则扇形的圆心角的弧度数是( )
A.4 B.2 C. D.
2.使lg(sin θ·cos θ)+有意义的θ为( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3.若a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 48°,则( )
A.c
A.y=|sin x| B.y=|cos x| C.y=sin D.y=|tan x|
5.函数f(x)=的图象大致为( )
6.已知函数f(x)=tan(2x+φ)的部分图象如图所示,其最小正周期为T,则( )
A.T=π
B.cos φ=-
C.f(x)的一个单调递增区间为
D.f为奇函数
7.将函数f(x)=2sin(2x-θ)图象上所有点的横坐标缩短为原来的,再将所得图象上的所有点向右平移个单位长度得到一个偶函数g(x)的图象,则f(x)的零点为( )
A.-+(k∈Z) B.-+(k∈Z)
C.-+(k∈Z) D.-+(k∈Z)
8.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[3,4]时, f(x)=x-3,则( )
A. f(sin 1)
C. f >f D. f
9.下列结论正确的是( )
A.-是第三象限角
B.若圆心角为的扇形的弧长为π,则该扇形的面积为
C.若角α的终边上有一点P(-3,4),则cos α=-
D.若α为锐角,则2α为钝角
10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△ABC是等腰直角三角形,A,B为图象与x轴的交点,C为图象上的最高点,且OB=3OA,则下列结论错误的是( )
A.f(2)+f(5)=- B.f(x)在(3,7)上有3个零点
C.f(x)在(1,2)上单调递减 D.函数f(x)的图象关于直线x=对称
11.科学研究已经证实:人的智力、情绪和体力分别以33天、28天和23天为周期,按曲线y=sin ωx(ω>0)进行变化.记智力曲线为I,情绪曲线为E,体力曲线为P,则( )
A.第35天时情绪曲线E处于最高点
B.第33天到第42天之间,智力曲线I与情绪曲线E不相交
C.第46天到第50天之间,体力曲线P处于上升期
D.体力曲线P关于点(320,0)对称
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.将答案填在题中横线上)
12.已知函数f(x)=sin x,若对任意x∈R都有f(x)+f(x+m)=0,则实数m的一个可能取值为 .
13.方程lg(sin x)=lg(cos x)的解构成的集合为 .
14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤,f=0,f=f,且f(x)在上单调,则ω的最大值为 .
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)
(1)化简:;
(2)若sin=,求sin+cos的值.
16.(15分)在以下三个条件中任选一个,补充在下面问题的横线上,并解答.
条件:①将函数f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称;②函数y=f 是奇函数;③当x=时,函数y=f 取得最大值.
问题:已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),ω>0,|φ|<,其图象的两个相邻对称中心之间的距离为, .
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在上的最小值,并写出取得最小值时x的值.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
17.(15分)已知函数f(x)=cos(2ωx+φ)的最小正周期为π,点为它的图象的一个对称中心.
(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间;
(2)若关于x的方程[f(x)]2+m·f(x)-2m=0在上有实数根,求实数m的取值范围.
18.(17分)建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场为响应国家节能减排的号召,在气温低于0 ℃时,才开放中央空调,否则关闭中央空调.下图是该市冬季某一天的气温y(单位:℃)随时间t(0≤t≤24,单位:时)的大致变化曲线,已知该曲线近似满足y=f(t)=Asin+b(A>0,ω>0)的关系.
(1)求y=f(t)的表达式;
(2)请根据(1)的结论,求该商场的中央空调在一天内开启的时长.
19.(17分)若定义在A上的函数f(x)和定义在B上的函数g(x),对任意的x1∈A,存在x2∈B,使得f(x1)+g(x2)=t(t为常数),则称f(x)与g(x)具有关系P(t).已知函数f(x)=2cos,x∈.
(1)若函数g(x)=4sin x,x∈R,判断f(x)与g(x)是否具有关系P(2),并说明理由;
(2)若函数g(x)=2x+a,x∈[-1,2],且f(x)与g(x)具有关系P(4),求a的最大值;
(3)若函数g(x)=cos2x-mcos x+5,x∈R,且f(x)与g(x)具有关系P(3),求m的取值范围.
答案全解全析
1.B 设扇形的圆心角为α rad,则半径为,所以扇形的面积为×2×=1,解得α=2.
2.C 依题意得sin θcos θ>0,且-cos θ≥0,
由sin θcos θ>0得sin θ与cos θ同号,则θ为第一或第三象限角;
由-cos θ≥0,即cos θ≤0知θ为第二或第三象限角,或角θ的终边在y轴上,或角θ的终边在x轴的非正半轴上.
综上,θ为第三象限角.
3.D 根据诱导公式,可得b=cos 55°=sin 35°.
因为函数y=sin x在0°
所以a
y=|cos x|的图象可以通过将函数y=cos x的图象在x轴下方的部分翻折到x轴的上方,在x轴及其上方的部分保持不变而得到,故其周期为×2π=π,又当x∈时,y=|cos x|=-cos x,它在此区间上单调递增,故B正确;
当
5.A 易知函数f(x)的定义域为R, f(-x)===f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除C,D;
当x∈(0,π)时,sin x>0,2|x|-1>0,则f(x)>0,故排除B.
6.D 函数f(x)=tan(2x+φ)的最小正周期T=,故A错误;
由题图可得f(0)=tan φ=-,所以φ=-+kπ,k∈Z,
因为-<φ<,所以φ=-,故cos φ=,故B错误;
由kπ-<2x-
f=tan(2x-π)=tan 2x,令2x≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z,故f的定义域关于原点对称,又tan(-2x)=-tan 2x,所以此函数为奇函数,故D正确.
7.C 将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的,得到函数y=2sin(4x-θ)的图象,再将所得图象上的所有点向右平移个单位长度,得到函数g(x)=2sin=2sin的图象,
因为g(x)为偶函数,所以+θ=kπ+,k∈Z,解得θ=kπ-,k∈Z,
又因为|θ|<,所以θ=-,所以f(x)=2sin,
令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-+,k∈Z,
即f(x)的零点为-+(k∈Z).
8.A ∵f(x+2)=f(x),∴2是f(x)的一个周期,
当x∈[0,1]时,4-x∈[3,4],
又f(x)是偶函数,当x∈[3,4]时, f(x)=x-3,
∴f(x)=f(x-4)=f(4-x)=4-x-3=1-x,x∈[0,1],∴f(x)在[0,1]上单调递减.
∵sin 1,cos 1∈[0,1],且sin 1>cos 1,∴f(sin 1)
9.BC A中,-=-2π+是第二象限角,故A错误;B中,设扇形的半径为r,则·r=π,∴r=3,∴扇形的面积S=××32=,故B正确;C中,=5,∴cos α=-,故C正确;D中,α=30°是锐角,但2α=60°不是钝角,故D错误.
10.ABD 由C为图象上的最高点,可知点C的纵坐标为1,
又△ABC为等腰直角三角形,所以AB=2,则函数f(x)的最小正周期为4,由=4,ω>0,可得ω=.又OB=3OA,所以A,B,则C,将点C的坐标代入f(x)=sin,得1=sin,则+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,
又0<φ<π,故φ=,所以f(x)=sin.
易得f(2)+f(5)=sin+sin=-sin +sin =0,A中结论错误;
若x∈(3,7),则x+∈,因为函数y=sin t在t∈上有2π,3π两个零点,所以f(x)=sin在(3,7)上有2个零点,B中结论错误;
若x∈(1,2),则x+∈,因为y=sin m在m∈上单调递减,所以f(x)在(1,2)上单调递减,C中结论正确;
f=sin=0,则f(x)的图象关于点中心对称,D中结论错误.
11.AC 设人的智力曲线、情绪曲线和体力曲线对应的函数解析式分别为f(x)=sin ω1x,g(x)=sin ω2x,h(x)=sin ω3x,ω1,ω2,ω3>0,
所以ω1=,ω2==,ω3=.
第35天时,g(35)=sin=sin =1,故情绪曲线E处于最高点,故A正确;
设F(x)=f(x)-g(x)=sin x-sin x,
则F(33)=sin 2π-sin =-sin <0,F(42)=sin -sin 3π=sin >0,根据零点存在定理得,存在x0∈(33,42),使得F(x0)=0,此时智力曲线I与情绪曲线E相交,故B错误;
当x∈(46,50)时,x∈,
因为<,所以根据正弦函数的性质可得,h(x)=sin x单调递增,故体力曲线P处于上升期,故C正确;
因为h(320)=sin ≠0,所以体力曲线P不关于点(320,0)对称,故D错误.
12.答案 π(答案不唯一)
解析 由于f(x)+f(x+m)=0对任意x∈R恒成立,即f(x)+f(x+m)=sin x+sin(x+m)=0对任意x∈R恒成立,所以sin x=-sin(x+m),
利用诱导公式可得m=2kπ+π,k∈Z.故可填π(答案不唯一,只要是集合{m|m=2kπ+π,k∈Z}中的元素均可).
13.答案
解析 由lg(sin x)=lg(cos x),得sin x=cos x,即tan x=,
所以x=kπ+,k∈Z.①
易知sin x>0,cos x>0,所以2kπ
14.答案 14
解析 由题意得,-+φ=kπ,k∈Z①,且+φ=+nπ,n∈Z②,
解①得φ=+kπ,k∈Z,解②得φ=-+nπ,n∈Z,
所以+kπ=-+nπ,k,n∈Z,则ω=2+4(n-k),k,n∈Z,
又ω>0,所以ω=2,6,10,14,18,…,
由f(x)在上单调,可知≥-=,其中T为最小正周期,
即≥,故0<ω≤18.
当ω=18时,φ=+kπ,k∈Z,或φ=-+nπ,n∈Z,由|φ|≤,可得φ=,所以f(x)=sin,
当x∈时,18x+∈,显然f(x)在此区间上不单调,故ω=18不满足题意;
当ω=14时,φ=+kπ,k∈Z,或φ=-+nπ,n∈Z,由|φ|≤,可得φ=-,所以f(x)=sin,
当x∈时,14x-∈ ,故f(x)在此区间上单调递减,满足题意,
所以ω的最大值为14.
15.解析 (1)原式===-cos α.(6分)
(2)sin+cos=sin+cos=2sin-x=2×=.(13分)
16.解析 (1)设函数f(x)的最小正周期为T.由题意得=,则T=π,所以ω==2,所以f(x)=2sin(2x+φ).(3分)
选择①:因为将函数f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称,所以y=2sin=2sin的图象关于y轴对称,所以φ-=kπ+,k∈Z,(5分)
即φ=+kπ,k∈Z.(7分)
因为|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=2sin.(9分)
选择②:因为y=f=2sin=2sin是奇函数,所以+φ=kπ,k∈Z,(5分)
即φ=-+kπ,k∈Z.(7分)
因为|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=2sin.(9分)
选择③:y=f =2sin=2sin,(5分)
由题意得2×-+φ=2kπ+(k∈Z),则φ=2kπ-(k∈Z).(7分)
因为|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=2sin.(9分)
(2)由(1)知f(x)=2sin.当x∈时,2x-∈,(12分)
所以当2x-=-,即x=-时,函数f(x)取得最小值,为-2.(15分)
17.解析 (1)由最小正周期T==π,得|ω|=1,(1分)
当ω=1时, f(x)=cos(2x+φ),因为点为它的图象的一个对称中心,所以2×+φ=+kπ(k∈Z),所以φ=-+kπ(k∈Z),
又|φ|≤,所以φ=-,所以f(x)=cos;(3分)
当ω=-1时,f(x)=cos(-2x+φ),因为点为它的图象的一个对称中心,所以-2×+φ=+kπ(k∈Z),所以φ=+kπ(k∈Z),
又|φ|≤,所以φ=,所以f(x)=cos=cos.
综上可知,f(x)=cos.(6分)
令-π+2kπ≤2x-≤2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(8分)
(2)当-≤x≤时,-≤2x-≤,故-≤cos≤1,
因此函数f(x)在上的值域为.(10分)
设t=f(x)=cos,则t∈,
要使关于x的方程[f(x)]2+mf(x)-2m=0在上有实数根,
则m=在t∈时有实数根,(12分)
令n=2-t,则n∈,
则m===n+-4在n∈1,时有实数根,
即直线y=m与函数y=n+-4的图象在n∈时有交点,如图,
由图可知m∈[0,1].(15分)
18.解析 (1)由题图知,y=f(t)=Asin+b(A>0,ω>0)的图象上最低点的坐标为(3,-4),与之相邻的最高点的坐标为(15,12),
所以A==8,b==4,
设函数f(t)的最小正周期为T,则=15-3=12,所以T=24,(3分)
又T=,ω>0,所以=24,所以ω=,(5分)
所以y=f(t)=8sin+4(0≤t≤24).(7分)
(2)根据题意,令8sin+4<0,即sin<-,(9分)
由正弦函数的图象得+2kπ
19.解析 (1)f(x)与g(x)具有关系P(2).(1分)
理由如下:当x∈时,2x+∈,则cos∈,即2cos∈[-2,1],所以f(x)∈[-2,1],(2分)
易知g(x)=4sin x在R上的值域为[-4,4],
由于4-2=2,1+1=2,且[1,4] [-4,4],
所以对任意的x1∈A,存在x2∈B,使得f(x1)+g(x2)=2,
所以f(x)与g(x)具有关系P(2).(4分)
(2)当x∈[-1,2]时,g(x)=2x+a∈[-2+a,4+a],(5分)
由题意得,对任意的x1∈A,存在x2∈B,使得f(x1)+g(x2)=4,
由(1)知,f(x)∈[-2,1],
因为-2+6=4,1+3=4,所以[3,6] [-2+a,4+a],(6分)
即解得2≤a≤5,故a的最大值为5.(8分)
(3)由题意得,对任意的x1∈A,存在x2∈B,使得f(x1)+g(x2)=3,
由(1)知,f(x)∈[-2,1],则[-2,1]是函数y=3-g(x)的值域的子集,
(9分)
易知3-g(x)=3-cos 2x+mcos x-5=-cos 2x+mcos x-2,x∈R,
令p=cos x,则p∈[-1,1],y=3-g(x)等价于h(p)=-p2+mp-2,p∈[-1,1],
当≤-1,即m≤-2时,h(p)∈[h(1),h(-1)]=[m-3,-m-3],
则所以m≤-4;(11分)
当≥1,即m≥2时,h(p)∈[h(-1),h(1)]=[-m-3,m-3],
则所以m≥4;(13分)
当-1<<0,即-2
当0≤<1,即0≤m<2时,h(p)∈=,
则无解.
综上所述,m≥4或m≤-4,故m的取值范围是(-∞,-4]∪[4,+∞).(17分)
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同课章节目录
- 第一章 三角函数
- 1 周期变化
- 2 任意角
- 3 弧度制
- 4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
- 5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
- 6 函数y=Asin(wx+φ)性质与图象
- 7 正切函数
- 8 三角函数的简单应用
- 第二章 平面向量及其应用
- 1 从位移、速度、力到向量
- 2 从位移的合成到向量的加减法
- 3 从速度的倍数到向量的数乘
- 4 平面向量基本定理及坐标表示
- 5 从力的做功到向量的数量积
- 6 平面向量的应用
- 第三章 数学建模活动（二）
- 1 建筑物高度的测量
- 2 测量和自选建模作业的汇报交流
- 第四章 三角恒等变换
- 1 同角三角函数的基本关系
- 2 两角和与差的三角函数公式
- 3 二倍角的三角函数公式
- 第五章 复数
- 1 复数的概念及其几何意义
- 2 复数的四则运算
- 3 复数的三角表示
- 第六章 立体几何初步
- 1 基本立体图形
- 2 直观图
- 3 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 4 平行关系
- 5 垂直关系
- 6 简单几何体的再认识