专题强化练3　平面向量基本定理及坐标表示--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
专题强化练3　平面向量基本定理及坐标表示
1.(2023湖南湘潭期末)向量a,b,c在网格中的位置如图所示,若c=xa+yb(x,y∈R),则x+y=(　　)
A.-　　B.　　C.-4　　D.4
2.(2023河南洛阳栾川第一高级中学入学测试)已知AB是☉O的直径,C,D是半圆弧上的两个三等分点,设=a,=b,则=(　　)
A.a+b　　B.a-b　　C.a+b　　D.a-b
3.(2025福建龙岩期中)已知在正方形ABCD中,AC与BD相交于点O,E为BC的中点,DE与CO相交于点F,M为DF的中点,若=λ+μ,则λ+μ的值为(　　)
A.　　B.-　　C.-　　D.-
4.在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,M为BC的中点,H为△ABC的内心,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.1
5.(多选题)(2024河北石家庄二中月考)如图,延长正方形ABCD的边CD至点E,使得DE=CD,动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A,若=λ+μ(λ,μ∈R),则下列说法错误的是(　　)
A.满足λ+μ=2的点P必为BC的中点
B.满足λ+μ=1的点P有且只有一个
C.满足λ+μ=3的点P有且只有一个
D.满足λ+μ=的点P有且只有一个
6.(2025天津第二中学月考)设点O为△ABC的外心,AB=2,AC=3,=x+y,x+2y=1(xy≠0),则cos∠BAC=　　　　.
7.(2025江苏无锡锡山高级中学期中)如图,△ACD是边长为2的等边三角形,O是边AC上一点,连接DO并延长至点B,若=t+(t为常数),且BD=4,则OA的长度是　　　　.
8.(2025江西赣州十八县(市)二十五校期中联考)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,且AE,BF,CD交于点M.
(1)已知=.
(i)若O是△ABC所在平面内任意一点,证明:=+;
(ii)若=,=x,求x的值;
(2)若=a,=b,=c,证明:abc=1.
答案与分层梯度式解析
专题强化练3　平面向量基本定理及坐标表示
1.A 2.A 3.D 4.A 5.ABD
1.A　设网格中每个小正方形的边长均为1,在网格线上取互相垂直的单位向量i,j,如图所示,
则有a=-i+j,b=6i+2j,c=-i-3j,
由c=xa+yb,得-i-3j=x(-i+j)+y(6i+2j)=(-x+6y)i+(x+2y)j,
则解得∴x+y=-.
2.A　连接OC,OD,CD(图略).
∵C,D是半圆弧上的两个三等分点,∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°,又OC=OD,∴△COD为等边三角形,∴CD=OB,∠ODC=60°,∴CD∥AB.
又AB是☉O的直径,∴AB=2OB,
∴CD=AB,∴==a,
∴=+=b+a.
3.D　解法一:因为四边形ABCD为正方形,所以AD∥BC,易得△ADF∽△CEF,
因为E为BC的中点,所以CE=CB=AD,故==2,所以=,
则=+=-+×=-+-=---=--,
所以λ=-,μ=-,则λ+μ=--=-.
解法二:易知△ADF∽△CEF,结合E为BC的中点,可得==2,又M为DF的中点,所以=,因为D,M,E三点共线,所以=+=--,又=λ+μ,所以λ=-,μ=-,所以λ+μ=--=-.
解法三:根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系,
不妨设正方形ABCD的边长为6,则A(0,0),B(6,0),D(0,6),C(6,6),E(6,3),易知△ADF∽△CEF,E为BC的中点,故==2,又M为DF的中点,所以=,设M(x,y),由定比分点坐标公式可得x==2,y==5,即M(2,5),所以=(-4,-1),又=(6,0),=(0,6),所以由=λ+μ,可得(-4,-1)=λ(6,0)+μ(0,6),
得λ=-,μ=-,所以λ+μ=--=-.
知识拓展
　　在三角形ABC中,D为BC边上一点,若BD∶DC=m∶n,则=+.
4.A　易知△ABC为直角三角形,且∠BAC=90°,以A为原点建立平面直角坐标系,如图,
则A(0,0),B(0,6),C(8,0),M(4,3),
所以=(0,6),=(4,3).
设△ABC的内切圆的半径为r,
则×(6+8+10)r=×6×8,解得r=2,
∴H(2,2),∴=(2,2).
∵=λ+μ,∴(2,2)=λ(0,6)+μ(4,3),
∴解得∴λ+μ=.
5.ABD　如图,以A为原点,建立平面直角坐标系,
令AB=1,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),
∴=(1,0),=(0,1),
则=λ+μ=λ+μ(-)=(λ-μ)+μ=(λ-μ,μ),
当P在AB上时,0≤λ-μ≤1且μ=0,
∴0≤λ≤1,∴0≤λ+μ≤1;
当P在BC上时,λ-μ=1且0≤μ≤1,
则λ=μ+1,∴1≤λ≤2,∴1≤λ+μ≤3;
当P在CD上时,0≤λ-μ≤1且μ=1,
∴μ≤λ≤μ+1,∴1≤λ≤2,∴2≤λ+μ≤3;
当P在AD上时,λ-μ=0且0≤μ≤1,
∴λ=μ,∴0≤λ≤1,∴0≤λ+μ≤2.
综上所述,0≤λ+μ≤3.
对于A,取λ=μ=1,满足λ+μ=2,此时=+=,因此点P不一定是BC的中点,故A中说法错误;
对于B,当P在点B处或为AD的中点时,均满足λ+μ=1,此时点P不唯一,故B中说法错误;
对于C,当P在点C处时,λ-μ=1且μ=1,解得λ=2,∴λ+μ=3,由上述分析可知,当λ+μ=3时,P在点C处,且P只有在点C处时才满足λ+μ=3,故C中说法正确;
对于D,若λ+μ=,则当P在BC上时,λ-μ=1,故λ=,μ=,此时P,
当P在AD上时,λ=μ,故λ=μ=,此时P,
故点P不唯一,故D中说法错误.
6.答案　
解析　如图,以A为原点,的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,
则A(0,0),C(3,0).
设∠BAC=α,由AB=2得B(2cos α,2sin α),
∴=(2cos α,2sin α),=(3,0).
∵点O为△ABC的外心,
∴点O在线段AC的垂直平分线上,故点O的横坐标为,∴的横坐标为.
∵=x+y,∴=2xcos α+3y,
∵x+2y=1,∴x+3y=,
∴2cos α=,故cos α=,即cos∠BAC=.
7.答案　1
解析　因为=t+,所以=t+,
设t+=,因为t+1-t=1,所以T,A,C三点共线,
由=可知B,T,D三点也共线,故T与O重合,
故=,故||=3,故||=,
又△ACD的AC边上的高为,
所以DO⊥AC,故AO=OC=1.
8.解析　(1)(i)证明:因为=,所以-=(-),即-=-,整理得=+.
(ii)设=y,则=+=+y=+y(-)=+y=(1-y)+y,
又=+=+x=+x(-)=+x=x+(1-x),
所以解得x=.
(2)证明:因为=a,所以-=a(-),
即-=a-a,易知a≠-1,则=+,
因为M在CD上,所以不妨设=-,
所以+a+s=0,①
同理可设=-,=-,
则t++b=0②,c+r+=0③,
联立①②消去,联立①③消去,
可得(1-at)+(s-ab)=0,(ac-r)+(sc-1)·=0,
又因为,,中任意两个向量都不共线,
所以1-at=s-ab=ac-r=sc-1=0,
由sc-1=0得s=,由s-ab=0得s=ab,
故=ab,即abc=1.
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