专题强化练4　平面向量的数量积及性质--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
专题强化练4　平面向量的数量积及性质
1.(多选题)(2025江苏南京第二十九中学月考)关于平面向量,有下列四个命题,其中错误的是(　　)
A.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量共线的单位向量为
B.已知非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为30°
C.已知平面向量a=(1,2),b=(2,t),若向量a与b的夹角为锐角,则t>-1
D.已知向量=(2,2),=(-1,-),则在上的投影向量为(,3)
2.(2024江西景德镇一中月考)已知G是△ABC的重心,O是△ABC所在平面内的一点,满足·+·+·=6,++=6,则||=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.2
3.(多选题)(2024江西南昌第五中学期中)引入平面向量之间的一种新运算“ ”如下:对任意的向量m=(x1,y1),n=(x2,y2),规定m n=x1x2-y1y2,若对于平面内的任意向量a,b,c,则下列说法正确的是(　　)
A.a b=b a　　B.(λa) b=λ(a b)
C.a·(b c)=(a b)·c　　D.|a|·|b|≥|a b|
4.(2025浙江金兰教育合作组织期中)已知||=||=2,且与的夹角为,动点M关于点A的对称点为S,点S关于点B的对称点为N,则·的最小值为(　　)
A.-8　　B.-4　　C.-2　　D.2
5.(2025陕西榆林期中联考)窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸,是中国传统民间艺术之一.有一个正八边形窗花隔断如图1所示,从窗花图中抽象出的几何图形的示意图如图2所示.在正八边形ABCDEFGH中,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为　　　　;若正八边形ABCDEFGH的边长为2,P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点,则·的最小值为　　　　.
图1 图2
6.(2025吉林毓文中学月考)如图,在直角梯形ABCD中,已知AB∥CD,∠DAB=90°,AB=4,AD=CD=2,对角线AC,BD交于点O,点M在AB上,且满足OM⊥BD.
(1)求·的值;
(2)若N为线段AC上任意一点(不含端点),求·的最小值.
答案与分层梯度式解析
专题强化练4　平面向量的数量积及性质
1.AC 2.C 3.ABD 4.B
1.AC　对于A,因为A(1,3),B(4,-1),所以=(3,-4),||=5,所以与向量共线的单位向量为±=±,故A中命题错误;
对于B,因为|a|=|b|=|a-b|,所以|b|2=|a-b|2,
即|b|2=|a|2+|b|2-2a·b,化简得2a·b=|a|2,
所以|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=3|a|2,即|a+b|=|a|,
又a·(a+b)=a2+a·b=|a|2,
所以cos===,
因为0°≤≤180°,所以=30°,故B中命题正确;
对于C,若向量a与b的夹角为锐角,则a·b>0且a,b不同向共线,即1×2+2t>0且1×t-2×2≠0,解得t>-1且t≠4,故C中命题错误;
对于D,因为=(-1)2+=4,·=2×(-1)+2×(-)=-4,
所以在上的投影向量为·=×(-1,-)=(,3),故D中命题正确.
易错警示
　　(1)与非零向量a=(x,y)共线的单位向量为±;
(2)与非零向量a=(x,y)垂直的单位向量为±.
其中正、负号表示不同的方向.
2.C　由G是△ABC的重心,得++=0,即(-)+(-)+(-)=0,
所以=(++),
又因为=+++2(·+·+·)=18,所以||=.
3.ABD　设a=(x1,y1),b=(x2,y2),c=(x3,y3).对于A,因为a b=x1x2-y1y2,b a=x2x1-y2y1,所以a b=b a,故A正确;
对于B,因为(λa) b=(λx1)x2-(λy1)y2=λ(x1x2-y1y2)=λ(a b),故B正确;
对于C,a·(b c)=(x2x3-y2y3)a,(a b)·c=(x1x2-y1y2)c,此时a·(b c)=(a b)·c不恒成立,故C错误;
对于D,因为(|a|·|b|)2=(·)2=+++,|a b|2=+-2x1x2y1y2,
所以(|a|·|b|)2-|a b|2=++2x1x2y1y2=(x1y2+x2y1)2≥0,
又|a|·|b|≥0,|a b|≥0,所以|a|·|b|≥|a b|,故D正确.
4.B　由向量加法的平行四边形法则可得=(+),=(+),
所以-=(+)-(+)=-,
所以=2(-),
所以=4(-2·+)=4×22-2×2×2×+22=16,所以||=4,
当MN过点O时,·可取得最小值,
此时||+||=4,
所以||||≤=4,
当且仅当||=||=2时取等号,
故(||||)max=4,
故与反向共线时,·取得最小值,最小值为-4.
5.答案　;-2
解析　建立如图所示的平面直角坐标系,设正八边形ABCDEFGH的中心O到各顶点的距离均为1,
则A(0,-1),E(0,1),C(1,0),F,
即F,
∴=(0,2),=(1,1),=,
又=λ+μ,
∴(0,2)=λ(1,1)+μ,
∴解得
∴λ+μ=+=.
分别延长GH与BA,交于点I,如图所示,
则根据向量数量积的定义与投影的相关概念可得,·的最小值为-AB·AI,
又AB=AH=2,△HIA为等腰直角三角形,
∴AI=,∴·的最小值为-AB·AI=-2.
6.解析　解法一:(1)因为AB∥CD,AB=2CD,
所以AO=2OC,
则·=(+)·
=·+·=·=·
=(+)·(-)
=(-·)=×(4-2×4×1)=-.
(2)设=λ(0<λ<1),
由(1)可得·=λ·=λ·(-)=-λ=-16λ=-,解得λ=,即=.
易知∠CAB=45°,
所以·=·(-)=-·
=-||×||×cos∠CAB=-×||×||×cos 45°=||2-||.
令||=t,则0则·=t2-t=-,
所以当t=时,·有最小值,为-.
解法二:(1)以A为坐标原点,,的方向为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略),则A(0,0),B(4,0),C(2,2),D(0,2),所以=(-4,2),因为AB∥CD,AB=2CD,所以AO=2OC,所以=2,
易得O.
设M(m,0),0因为OM⊥BD,所以·=×(-4)+×2=-4m+=0,解得m=.所以=,所以·=×(-4)+0×2=-.
(2)易知∠CAB=45°,故可设N(a,a),0则·=(a,a)·=2a2-a=2-,
所以当a=时,·有最小值,为-.
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