专题强化练8　空间中的平行关系--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
专题强化练8　空间中的平行关系
1.(多选题)(2024云南保山腾冲第八中学期中)已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列说法中正确的是(　　)
A.若α∩β=b,a α,则a与β一定相交
B.若α∥β,a α,则a∥β
C.若a∥b,b α,则a平行于α内的无数条直线
D.若α∥β,a α,b β,则a与b是异面直线
2.(多选题)(2024广西南宁第三十六中学月考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知点G,H分别在A1B1,A1C1上,且GH经过△A1B1C1的重心,E,F分别是AB,AC的中点,且平面A1EF∥平面BCHG,下列结论正确的是(　　)
A.EF∥GH
B.GH∥平面A1EF
C.=
D.平面A1EF∥平面BCC1B1
3.(多选题)(2024陕西咸阳实验中学月考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,G,E分别为所在棱的中点,AB=4AF,将三棱柱ABC-A1B1C1挖去两个三棱锥A-EFG,B1-BC1D后所得的几何体记为Ω,则(　　)
A.直线EG与BC1为异面直线　　
B.Ω有13条棱
C.Ω有7个顶点　　
D.平面BDC1∥平面EFG
4.(2023新疆乌鲁木齐模拟)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,====2,则下列说法错误的是(　　)
A.BD1∥GH
B.直线BD与EF异面
C.EH∥平面ABCD
D.平面EFGH∥平面A1BCD1
5.(2025河南部分学校联考)如图,四棱锥E-ABCD中,△ABD为正三角形,BC=CD,∠BCD=120°,M为线段AE的中点,则直线DM与平面EBC的位置关系为　　　　(填“相交”或“平行”);若N为线段EB上一点,且D,M,N,C四点共面,则的值为　　　　.
6.(2025河北邢台第一中学月考)如图所示,在正三棱台ABC-A1B1C1中,已知2AC=3A1C1=6,AA1=2,点O在平面ABC内且为△ABC的重心.
(1)证明:BB1∥平面OA1C1;
(2)设平面OA1C1∩平面ABC=l,试判断直线AC与l的位置关系,并给出证明;
(3)在棱台的底面A1B1C1上(包括边界)是否存在点M,使得直线OM∥平面ACC1A1 若存在,说明点M的轨迹,并进行证明;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
专题强化练8　空间中的平行关系
1.BC 2.ABC 3.ABD 4.A
1.BC　对于A,若α∩β=b,a α,则a∥β或a与β相交,A错误;
对于B,若α∥β,a α,则由面面平行的性质可得a∥β,B正确;
对于C,若a∥b,b α,则a∥α或a α,故a平行于α内的无数条直线,C正确;
对于D,若α∥β,a α,b β,则a∥b或a与b是异面直线,故D错误.
2.ABC　由三棱柱ABC-A1B1C1的性质可知平面ABC∥平面A1B1C1,又平面BCHG∩平面ABC=BC,平面BCHG∩平面A1B1C1=GH,所以BC∥GH,
因为点E,F分别是AB,AC的中点,所以BC∥EF,故EF∥GH,A正确;
由EF∥GH,EF 平面A1EF,GH 平面A1EF,得GH∥平面A1EF,B正确;
因为GH经过△A1B1C1的重心,GH∥BC∥B1C1,所以==,易知=,则=,C正确;
因为A1,E,B,B1四点共面,且直线A1E与BB1相交,所以平面A1EF与平面BCC1B1相交,D错误.
3.ABD　对于A,因为EG 平面ACC1A1,C1∈平面ACC1A1且C1 EG, B 平面ACC1A1,故直线EG与BC1为异面直线,故A正确;
对于B,几何体Ω的棱有A1D,A1C1,DC1,A1E,EG,EF,CC1,C1B,DB,FG,GC,CB,FB,共13条,故B正确;
对于C,几何体Ω的顶点有A1,D,C1,E,G,C,B,F,共8个,故C错误;
对于D,如图,取AB的中点H,连接A1H,DH,CH,
因为AB=4AF,所以F是AH的中点,
又D,G,E分别为所在棱的中点,所以EF∥A1H,FG∥CH,
由A1D∥BH,A1D=BH,得四边形A1DBH为平行四边形,故A1H∥DB,则EF∥DB,
又EF 平面BDC1,DB 平面BDC1,所以EF∥平面BDC1,
易知DH∥BB1∥CC1,且DH=BB1=CC1,故四边形DC1CH为平行四边形,则C1D∥CH,故FG∥C1D,
又FG 平面BDC1,DC1 平面BDC1,所以FG∥平面BDC1,
又EF∩FG=F,EF,FG 平面EFG,
所以平面EFG∥平面BDC1,故D正确.
4.A　如图所示,连接A1B,D1C,BD,BD1,
由==2,可得EF∥A1B,且===,同理可得GH∥CD1,且=.
假设BD1∥GH,则由平行线的传递性,得BD1∥CD1,显然不成立,故A中说法错误;
由异面直线的定义可知,直线BD与EF异面,故B中说法正确;
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B∥CD1,A1B=CD1,
所以EF∥GH,EF=GH,即四边形EFGH为平行四边形,所以EH∥FG,
又BC∥FG,所以EH∥BC,因为EH 平面ABCD,BC 平面ABCD,所以EH∥平面ABCD,故C中说法正确;
由EF∥A1B,EF 平面A1BCD1,A1B 平面A1BCD1,得EF∥平面A1BCD1,
由BC∥FG,FG 平面A1BCD1,BC 平面A1BCD1,得FG∥平面A1BCD1,
又EF∩FG=F,且EF,FG 平面EFGH,
所以平面EFGH∥平面A1BCD1,故D中说法正确.
5.答案　平行;
解析　记F为AB的中点,连接DF,MF,如图1,
因为F,M分别为AB,AE的中点,所以MF∥EB,
因为MF 平面EBC,EB 平面EBC,所以MF∥平面EBC,
又因为△ADB为正三角形,所以∠DBA=60°,DF⊥AB,
又△BCD为等腰三角形,∠BCD=120°,所以∠DBC=30°,
所以∠ABC=90°,即BC⊥AB,所以DF∥BC,
又DF 平面EBC,BC 平面EBC,所以DF∥平面EBC,
又DF∩MF=F,DF,MF 平面DMF,
所以平面DMF∥平面EBC,
又因为DM 平面EBC,所以DM∥平面EBC.
延长DC,AB相交于点P,连接PM交BE于点T,连接CT,过点T作TQ∥AE,交AB于点Q,如图2,
因为DM∥平面EBC,平面PDM∩平面EBC=CT,DM 平面PDM,所以DM∥CT,此时D,M,T,C四点共面,则点T即为点N.
设BC=CD=2,
易得∠PCB=60°,CB⊥BP,
所以∠CPB=30°,PC=4,故===,
又因为NQ∥AE,所以==,故==×=,所以==.
6.解析　(1)证明:设A1C1,AC的中点分别为F,G,连接B1F,BG,OF,易得B1F∥BG,
因为2AC=3A1C1=6,所以AC=3,A1C1=2,
易得B1F=,BG=,
又点O为△ABC的重心,所以点O在BG上,且BO=×=,
所以B1F=BO且B1F∥BO,故四边形FB1BO为平行四边形,所以BB1∥OF,
又BB1 平面OA1C1,OF 平面OA1C1,
所以BB1∥平面OA1C1.
(2)直线AC与l平行.
证法一:因为AC∥A1C1,AC 平面OA1C1,A1C1 平面OA1C1,所以AC∥平面OA1C1,
又AC 平面ABC,平面OA1C1∩平面ABC=l,所以AC∥l.
证法二:因为平面ABC∥平面A1B1C1,平面OA1C1∩平面ABC=l,平面OA1C1∩平面A1B1C1=A1C1,所以l∥A1C1,
又AC∥A1C1,所以AC∥l.
(3)分别取B1C1,A1B1的中点K,L,连接KL,当点M∈KL时,直线OM∥平面ACC1A1,证明如下:
由K,L分别为B1C1,A1B1的中点,得KL∥A1C1,
过点O作AC的平行线,分别交BC,BA于点E,D,
因为DE∥AC,A1C1∥AC,KL∥A1C1,所以KL∥DE,即D,E,K,L四点共面,连接EK,DL,
又因为在正三棱台中,2AC=3A1C1,点O为△ABC的重心,
所以CE=BC=×B1C1=B1C1=C1K=1,
又由正三棱台的性质可得CE∥C1K,
所以四边形CEKC1为平行四边形,故EK∥CC1,
因为EK 平面ACC1A1,CC1 平面ACC1A1,
所以EK∥平面ACC1A1,
同理可得,DE∥平面ACC1A1,
因为DE∩EK=E,DE,EK 平面DEKL,
所以平面DEKL∥平面ACC1A1,
所以当点M∈KL时,OM 平面DEKL,此时OM∥平面ACC1A1,
即在棱台的底面A1B1C1上(包括边界)存在点M,使得直线OM∥平面ACC1A1,且点M的轨迹为线段KL,其中K,L分别是B1C1,A1B1的中点.
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