专题强化练9　空间中的垂直关系--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
专题强化练9　空间中的垂直关系
1.(2025江西景德镇期末)空间中,设l,m,n为三条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,则下列命题错误的是(　　)
A.若α∩β=n,m∥n,m⊥γ,则α⊥γ
B.若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,则l⊥γ
C.若m,n在平面α内,且l⊥m,l⊥n,则l⊥α
D.若α⊥β,α∩β=l,m∥α,m⊥l,则m⊥β
2.(多选题)(2024吉林长春吉大附中实验学校月考)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,P在底面上的射影E在线段BD上,则(　　)
A.PA=PC　　B.PB=PD
C.AC⊥平面PBD　　D.BD⊥平面PAC
3.(2024江西赣州期末)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面A1B1C1,∠ACB=90°,AC=4,BC=,CC1=3,P为BC1上的动点,则CP+PA1的最小值为(　　)
　　B.　　
C.6　　D.7
4.(2025上海长宁段考)如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,E是AC的中点,D是BC上一点(不与C重合),将三角形DCE沿DE逆时针翻折,使点C的对应点是点C1,连接CC1,设θ为二面角C1-DE-C的大小,θ∈(0,π).在翻折的过程中,下列说法不正确的是(　　)
A.存在点D和θ,使得DC1⊥AC
B.存在点D和θ,使得BC1⊥AC
C.存在点D和θ,使得BC1⊥DE
D.存在点D和θ,使得CC1⊥DE
5.(2024湖南岳阳模拟)如图所示,直角三角形ABC所在平面垂直于平面α,直角边AC在平面α内,直角边BC的长为,∠BAC=,若平面α上存在点P,使得△ABP的面积为,则线段CP长度的最小值为　　　　.
6.(2025山东滨州模拟)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=AC=2,BC=2,D为△PAB内(包含边界)一点,且BD⊥CD,则点D的轨迹长度为　　　　.
7.(2023陕西西安月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,PA⊥底面ABCD.
(1)当a为何值时,BD⊥平面PAC 证明你的结论;
(2)若在棱BC上至少存在一点M,使PM⊥DM,求a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
专题强化练9　空间中的垂直关系
1.C 2.AC 3.A 4.B
1.C　对于A,若α∩β=n,m∥n,m⊥γ,则n⊥γ,又n α,所以α⊥γ,A中命题正确;
对于B,令α∩γ=b,β∩γ=c,如图,在γ内取点M作MP⊥b,MQ⊥c,因为α⊥γ,β⊥γ,所以MP⊥α,MQ⊥β,
又α∩β=l,所以l⊥MP,l⊥MQ,因为MP∩MQ=M,MP,MQ γ,所以l⊥γ,B中命题正确;
对于C,当m∥n时,不能由已知条件推出l⊥α,C中命题错误;
对于D,由m∥α,得在平面α内存在直线d使得m∥d,因为m⊥l,所以d⊥l,又α⊥β,α∩β=l,所以d⊥β,所以m⊥β,D中命题正确.
2.AC　对于A,由题意得PE⊥平面ABCD,
连接AC,交BD于点H,若E与H不重合,则AH=CH,EH⊥AC,所以AE=EC,当E与H重合时,显然AE=EC,
又PA=,PC=,所以PA=PC,A正确;
对于B,PD=,PB=,由于ED与EB不一定相等,所以PB,PD不一定相等,B错误;
对于C,因为PE⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,所以PE⊥AC,又因为AC⊥BD,PE∩BD=E,PE,BD 平面PBD,所以AC⊥平面PBD,C正确;
对于D,连接PH,若E,H不重合,则PH与EH不垂直,故BD与PH不垂直,则BD与平面PAC不垂直,D错误.
3.A　连接A1B,根据题意,得△CC1B为直角三角形,
因为∠ACB=90°,所以∠A1C1B1=90°,即A1C1⊥B1C1,
因为AA1⊥底面A1B1C1,CC1∥AA1,
所以CC1⊥底面A1B1C1,所以CC1⊥A1C1,
又B1C1∩CC1=C1,B1C1,CC1 平面BCC1B1,
所以A1C1⊥平面BCC1B1,又BC1 平面BCC1B1,
所以A1C1⊥BC1,即∠A1C1B=90°,即△A1BC1为直角三角形,
将二面角A1-BC1-C沿BC1展开成平面图形,得四边形A1BCC1,如图所示,
若要CP+PA1取得最小值,则当且仅当C,P,A1三点共线时成立.
因为BC=,CC1=3,所以∠CC1B=30°,
又∠A1C1B=90°,所以∠A1C1C=120°,
在△A1C1C中,由余弦定理得A1C2=A1+C-2A1C1·CC1·cos∠A1C1C=42+32-2×4×3cos 120°=37,
所以A1C=,即CP+PA1的最小值为.
4.B　对于A,设D为BC的中点,θ=,则DE∥AB,
又∠BAC=90°,所以AB⊥AC,所以DE⊥AC,故在几何体C1-ABDE中,DE⊥C1E,
又CE⊥DE,所以∠CEC1为二面角C1-DE-C的平面角,故∠CEC1=,即C1E⊥AC,
因为C1E∩DE=E,C1E,DE 平面DEC1,所以AC⊥平面DEC1,
又DC1 平面DEC1,所以AC⊥DC1,故A中说法正确.
对于D,同A中设法,可知DE⊥AC,DE⊥C1E,因为AC∩C1E=E,AC,C1E 平面ACC1,所以DE⊥平面ACC1,又CC1 平面ACC1,所以DE⊥CC1,故D中说法正确.
对于C,过E作DE⊥BC,D为垂足,取θ=,同理可证得DE⊥平面BCC1,
又BC1 平面BCC1,所以DE⊥BC1,故C中说法正确.
对于B,过C1作C1H⊥平面ABC,垂足为H,如图,
因为AC 平面ABC,所以C1H⊥AC,
若BC1⊥AC,因为C1H∩BC1=C1,C1H,BC1 平面BC1H,
所以AC⊥平面BC1H,又BH 平面BC1H,所以AC⊥BH,
又AC⊥BA,所以H在BA上,所以AC⊥平面BC1A,
因为C1A 平面BC1A,所以AC⊥C1A,所以C1E>AE,但C1E=CE=AE,矛盾,故BC1⊥AC不成立,故B中说法不正确.
5.答案　
解析　在Rt△ABC中,BC=,∠BAC=,AC⊥BC,则AB=,
因为平面ABC⊥平面α,平面ABC∩平面α=AC,AC⊥BC,BC 平面ABC,所以BC⊥平面α,
因为CP 平面α,所以BC⊥CP,则CP==(在Rt△BCP中,CP最短,即BP最短),
设∠ABP=θ(0<θ<π),
则S△ABP=AB·BPsin θ,即=×BP·sin θ,得BP=,
当sin θ=1,即θ=,即AB⊥BP时,BP的长度取得最小值1,此时CP的长度取得最小值,为=.
6.答案　
解析　因为PA⊥平面ABC,AC 平面ABC,所以PA⊥AC,
由AB=AC=2,BC=2,可得AB2+AC2=BC2,所以AB⊥AC,
又因为PA∩AB=A,PA,AB 平面PAB,所以AC⊥平面PAB,
因为BD 平面PAB,所以AC⊥BD,
如图所示,连接AD,
因为BD⊥CD,CD∩AC=C,CD,AC 平面ACD,所以BD⊥平面ACD,
又因为AD 平面ACD,所以AD⊥BD,
所以点D在△PAB内(包括边界)以AB为直径的四分之一圆上,
因为AB=2,所以点D的轨迹长度为π×=.
7.解析　(1)当a=2时,BD⊥平面PAC.证明如下:
当a=2时,矩形ABCD为正方形,则BD⊥AC.
∵PA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,∴BD⊥PA.
又AC∩PA=A,AC,PA 平面PAC,∴BD⊥平面PAC.
故当a=2时,BD⊥平面PAC.
(2)连接AM.
∵PA⊥平面ABCD,DM 平面ABCD,∴DM⊥PA,
又PM⊥DM,PA∩PM=P,PA,PM 平面PAM,
∴DM⊥平面PAM,
∵AM 平面PAM,∴DM⊥AM,
∴点M是以AD为直径的圆和棱BC的交点,
∴圆的半径r=≥AB,即a≥4,
∴a的取值范围是[4,+∞).
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