专题强化练10　空间角的有关计算--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第二册
专题强化练10　空间角的有关计算
1.(2023浙江杭州源清中学期末)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=3,AB=2,则异面直线A1B与B1C夹角的余弦值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.(2023甘肃武威联考)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E是B1C1的中点,AB=2,AA1=,则BE与平面BB1D1D夹角的正弦值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
3.(2025北京东城月考)祈年殿(图1)是北京市的标志性建筑之一,距今已有600多年的历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱,分三圈环形均匀排列,内圈有4根约为19米高的龙井柱,代表一年四季;中圈有12根约为13米高的金柱,代表十二个月;外圈有12根约为6米高的檐柱,象征十二个时辰.已知由一根龙井柱AA1和两根金柱BB1,CC1形成的几何体ABC-A1B1C1(图2)中,AB=AC≈8米,∠BAC≈144°,则平面A1B1C1与平面ABC夹角的正切值为(　　)
　
A.　　B.　　C.　　D.
4.(2024河南新乡封丘一中月考)如图,甲站在水库底面上的点D处,乙站在水坝斜面上的点C处,测得从D,C到水库底面与水坝斜面的交线AB的距离分别为DA=5 m,CB=5 m,又测得AB的长为5 m,CD的长为5 m,则水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为　　　　.
5.(2023江苏G4联盟联考)如图,在轴截面为正方形ABCD的圆柱中,M,N分别为弧,的中点,且在平面ABCD的两侧.
(1)求证:四边形ANCM是矩形;
(2)求二面角B-MN-C的平面角的余弦值.
6.(2025山东泰安第一中学期中)如图,已知三棱台ABC-A1B1C1中,平面ABB1A1⊥平面BCC1B1,△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形,且AB=2AA1=2A1B1=2BB1=2.
(1)证明:AB1⊥平面BCC1B1;
(2)求直线AB1与平面ABC所成角的大小;
(3)在线段CC1上是否存在点F,使得二面角F-AB-C的大小为 若存在,求出线段CF的长;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
专题强化练10　空间角的有关计算
1.A 2.A 3.B
1.A　如图所示,连接BC1交B1C于点E,取A1C1的中点D,连接DE,B1D,
易知E为BC1的中点,所以DE∥A1B 且DE=A1B,则∠DEB1(或其补角)为异面直线A1B与B1C的夹角.
易得A1B=B1C===,则DE=B1E=,又B1D===,
故在△DB1E中,cos∠DEB1===.
2.A　如图所示,连接A1C1,交B1D1于点O,
易得DD1⊥平面A1B1C1D1,OC1 平面A1B1C1D1,所以DD1⊥OC1,
又B1D1⊥OC1,B1D1∩DD1=D1,B1D1,DD1 平面BB1D1D,所以OC1⊥平面BB1D1D,
取OB1的中点H,连接EH,易得EH∥OC1,所以EH⊥平面BB1D1D,
连接BH,则∠HBE为BE与平面BB1D1D的夹角.
因为AB=2,AA1=,
所以EH=OC1=,BE==2,
所以sin∠HBE==.
3.B　如图,在棱AA1上取点D,使AD=BB1=CC1,连接B1D,C1D,则平面ABC∥平面DB1C1,则平面A1B1C1与平面ABC的夹角,即为平面A1B1C1与平面DB1C1的夹角,
由题意有△ABC≌△DB1C1,即△DB1C1是等腰三角形,DB1=DC1≈8,∠B1DC1≈144°,则∠DB1C1=∠DC1B1=18°,
取B1C1的中点E,连接DE,A1E,则DE⊥B1C1,
依题意知A1D⊥平面DB1C1,
因为B1C1 平面DB1C1,所以A1D⊥B1C1,又DE∩A1D=D,DE,A1D 平面A1DE,所以B1C1⊥平面A1DE,
又A1E 平面A1DE,所以B1C1⊥A1E,所以∠A1ED就是平面A1B1C1与平面DB1C1的夹角,
因为A1D≈19-13=6,DE=8sin 18°,所以在Rt△A1DE中,tan∠A1ED==.
4.答案　
解析　如图,过点B作BE∥AD且BE=AD,连接DE.
因为AD⊥AB,所以四边形ABED是矩形,
所以BE⊥AB,又BC⊥AB,所以∠CBE是所求二面角的平面角.
因为DE∥AB,BC⊥AB,所以BC⊥DE,
又BE⊥DE,BC∩BE=B,BC,BE 平面BCE,
所以DE⊥平面BCE,
又CE 平面BCE,所以DE⊥CE,即∠DEC=90°,
因为四边形ABED是矩形,
所以AB=DE=5 m,BE=AD=5 m,
故在Rt△DEC中,CE===5(m),
在△CBE中,由余弦定理得cos∠CBE===-,
又0<∠CBE<π,所以∠CBE=,
故水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为.
5.解析　(1)证明:设正方形ABCD的边长为2a,取弧的中点Q,使Q与M同在平面ABCD的一侧,连接MQ,BQ,CQ,NQ,
则BC与NQ互相垂直平分,且BC=NQ=2a,
所以四边形BNCQ为正方形,BQ=NC=a,
因为M为弧的中点,所以MQ AB,
所以四边形ABQM为平行四边形,
所以AM BQ,所以AM CN,
所以四边形ANCM为平行四边形,
又AN==a,MN==2a,
所以AM2+AN2=MN2,所以AM⊥AN,
所以四边形ANCM是矩形.
(2)由(1)知,MB=MC==a,BN=CN=a,MN=2a,
所以MN2=MB2+BN2,MN2=MC2+CN2,
所以∠MBN=∠MCN=,
所以△MNB≌△MNC.
设Rt△MBN的斜边MN上的高为h,
则h==a,
作BP⊥MN于点P,连接CP,
因为∠BNP=∠CNP,BN=CN,PN=PN,
所以△BPN≌△CPN,
则∠CPN=∠BPN=90°,所以CP⊥MN,
则∠BPC即为二面角B-MN-C的平面角,
易得BP=CP=a,BC=2a,
在△BPC中,由余弦定理得cos∠BPC===-,
由图可知,二面角B-MN-C的平面角为钝角,
所以二面角B-MN-C的平面角的余弦值为-.
6.解析　(1)证明:在三棱台ABC-A1B1C1中,易得AB∥A1B1,因为AB=2AA1=2A1B1=2BB1=2,所以在等腰梯形ABB1A1中,cos∠ABB1==,
在△ABB1中,由余弦定理得A=AB2+B-2AB·BB1cos∠ABB1=3,
则AB2=A+B,即AB1⊥BB1,
又平面ABB1A1⊥平面BCC1B1,平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1,AB1 平面ABB1A1,所以AB1⊥平面BCC1B1.
(2)过B1作B1H⊥AB,垂足为H,如图,
由(1)知AB1⊥平面BCC1B1,因为BC 平面BCC1B1,
所以AB1⊥BC,
又AB⊥BC,AB∩AB1=A,AB,AB1 平面ABB1A1,
所以BC⊥平面ABB1A1,
因为B1H 平面ABB1A1,所以BC⊥B1H,
又AB∩BC=B,AB,BC 平面ABC,所以B1H⊥平面ABC,
所以∠B1AB即为直线AB1与平面ABC的夹角,
在Rt△AB1B中,cos∠B1AB==,所以∠B1AB=,
所以直线AB1与平面ABC所成的角为.
(3)假设存在点F,使得二面角F-AB-C的大小为,延长AA1,BB1,CC1,交于一点P,由AB∥A1B1知△PA1B1∽△PAB,
则===,
则PA=PB=AB=2,则△PAB为正三角形,
由BC⊥平面ABB1A1,BC 平面ABC,得平面ABC⊥平面ABB1A1,即平面ABC⊥平面PAB,取AB的中点N,连接PN,则PN⊥AB,
又平面ABC∩平面PAB=AB,PN 平面PAB,所以PN⊥平面ABC,
作FE∥PN交CN于E,则FE⊥平面ABC,又AB 平面ABC,所以AB⊥FE,
作ED⊥AB于D,连接FD,则ED即为FD在平面ABC上的投影,
又DE∩FE=E,DE,FE 平面DEF,所以AB⊥平面DEF,
又FD 平面DEF,所以AB⊥FD,所以∠FDE即为二面角F-AB-C的平面角,即∠FDE=,
设EF=t,则DE=3t,易得=,==,则+=+=1,易得PN=,则+=1,解得t=,因此==,
又CN==,PN⊥CN,所以PC==2,则CC1=,CF=,
因为CF=所以存在满足题意的点F,且CF=.
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