第21-22章（一元二次方程和二次函数 ） 解答题 专题练 2025-2026学年初中数学人教版九年级上册期末复习

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第21-22章（一元二次方程和二次函数 ） 解答题 专题练
2025-2026学年初中数学人教版九年级上册期末复习
1．解下列方程
（1）（配方法）
（2）（公式法）
（3）（分解因式法）
2．已知关于x的方程．求证：不论m为何值，方程总有实数根．
3．关于的方程有两个不等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)化简：．
4．已知函数y=-(m+2)(m为常数),求当m为何值时：
(1)y是x的一次函数
(2)y是x的二次函数 并求出此时纵坐标为-8的点的坐标．
5．已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和．
(1)填空：________，________；
(2)求，；
(3)已知，求的值．
6．某地农产品专卖店收购了一种非常受欢迎的土特产，该店以元/千克收购了这种土特产千克，若立即销往外地，每千克可以获利元．根据市场调查发现，该种土特产的销售单价每天上涨元/千克，为了获得更大利润，该店决定先贮藏一段时间后再出售．根据以往经验，这批土特产的贮藏时间不宜超过天，在贮藏过程中平均每天损耗千克．
（1）若商家将这批土特产贮藏天后一次性出售，请完成下列表格：
每千克土特产售价(单位：元) 可供出售的土特产质量(单位：克)
现在出售
天后出售
（2）将这批土特产贮藏多少天后一次性出售最终可获得总利润元？
7．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
8．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值．
解：设，则原方程变为，整理得，即，∴．
∵，∴．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x，y满足，求的值．
（2）若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数．
9．定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．
(1)写出一元二次方程的“友好方程”_______．
(2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、________．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论．
(3)已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根．
10．如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米；
(2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽；
(3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由．
11．【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
①用配方法分解因式：
解：原式
②利用配方法求最小值：求最小值．
解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是．
【应用】根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：________=（x- ）2；
（2）将变形为的形式，并求出的最小值；
【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由．
12．已知二次函数的图象经过点，．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求这个图象的顶点坐标和对称轴．
13．二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为，与轴、轴分别交于点和点．
(1)求抛物线的函数表达式，并根据图象直接写出当时，的取值范围．
(2)平移该二次函数的图象，使点恰好落在点的位置上，求平移后图象与坐标轴的交点．
14．如图，抛物线经过点，点，且．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点是抛物线的顶点，求的面积．
15．如图，为了美化环境，刘大爷准备利用自家墙外的空地种植3种不同的花卉，墙的最大可用长度是，现有长为的篱笆，计划靠着院墙围成一个中间有两道隔栏的矩形花圃．
(1)若要围成总面积为的花圃，边的长应是多少？
(2)当为多少米时，花圃的面积最大？
16．二次函数（b，c为实数）的图象经过点，点．
(1)求该二次函数的表达式及顶点坐标．
(2)点在该二次函数图象上．
①若，求点的坐标；
②当时，n的最大值是5，最小值是1，求m的取值范围．
17．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B．
(1)求抛物线对应的函数解析式．
(2)若点在该抛物线上，求m的值．
(3)请在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，并求出点P的坐标．
18．投壶 投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离．
(3)在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围．
19．抛物线 交轴于，两点（在的左边），交轴于点．
(1)直接写出，，三点的坐标．
(2)如图（1），点为抛物线的顶点，点为抛物线上的点（在点右侧且是非第四象限点），连接交于点 ．当 的值最小时，求点的坐标．
(3)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于，两点，过的中点作直线 （异于直线）交抛物线 于 ，两点，直线与直线 于点 ．问点 是否在一条定直线上？若是，求出该直线的解析式；若不是，请说明理由．
20．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)P为第三象限内抛物线上一点，连接．求面积的最大值及此时点P的坐标．
21．在平面直角坐标系中，我们称为抛物线的特征点．
(1)已知抛物线L经过点，求出抛物线L的特征点；
(2)抛物线和抛物线如下图所示．
①若抛物线的特征点C在抛物线的对称轴上，求a，b之间的关系式；
②在①的条件下，已知抛物线与x轴有两个不同的交点M，N，当以C，M，N为顶点的三角形是等腰三角形时，求a的值．
参考答案
1．(1)，；(2)，；(3)，；(4)，
【分析】（1）利用配方法得（x﹣1）2=100，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程；
（3）先移项得到4x（2x+1）﹣3（2x+1）=0，然后利用因式分解法解方程；
（4）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
【详解】（1）x2﹣2x+1=100，（x﹣1）2=100，x﹣1=±10，所以x1=11，x2=﹣9；
（2）x2+5x﹣7=0，△=52﹣4×1×（﹣7）=53，x=
所以x1=，x2=；
（3）4x（2x+1）﹣3（2x+1）=0，（2x+1）（4x﹣3）=0，2x+1=0或4x﹣3=0，所以x1=﹣，x2=；
（4）x2+2x﹣8=0，（x+4）（x﹣2）=0，x+4=0或x﹣2=0，所以x1=﹣4，x2=2．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法和配方法解一元二次方程．
2．见解析
【分析】本题考查了根的判别式，讨论：当时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当时，方程为一元二次方程，因为，则方程有两个实数根．
【详解】证明：①当，
即时，方程为，解得，
所以此时方程有实数根；
②当时，，
所以此时方程有两个实数根．
综上，不论m为何值，方程总有实数根．
3．(1)
(2)
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；
（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；
（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可．
【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根．
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴
；
4．(1) m=±；(2) m=2，纵坐标为-8的点的坐标是(，-8)，（-，-8）
【分析】（1）根据一次函数的定义求m的值即可；
（2）根据二次函数的定义求得m的值，从而求得二次函数的解析式，把y=-8代入解析式，求得x的值，即可得纵坐标为-8的点的坐标．
【详解】(1)由y=-(m+2)(m为常数)，y是x的一次函数，
得解得m=±，
∴当m=±时，y是x的一次函数；
(2)由y=-(m+2)(m为常数)，y是x的二次函数，
得
解得m=2，m=-2(不符合题意的要舍去)，
当m=2时，y是x的二次函数，
当y=-8时，-8=-4x2，
解得x=±，
故纵坐标为-8的点的坐标是(，-8)和（-，-8）．
【点睛】本题考查了一次函数的定义、二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义．
5．(1)，；
(2)，；
(3)．
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
（）利用根和系数的关系即可求解；
（）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得；
（）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解．
【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴，
∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由根与系数的关系得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴一元二次方程为或，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；
∴．
6．（1）10，，；（2）这批土特产贮藏天后一次性出售最终可获得总利润元．
【分析】（1）由售价=进价+利润可求出现在出售每千克土特产的售价,根据市场调查，该土特产的售价每天上涨0.4元/千克及在贮藏过程中平均每天损耗约5千克，可得出x天后出售的售价及可供出售的重量;
（2） 根据总利润=销售收入-成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取符合题意的较小值即可得出结论．
【详解】解：
每千克土特产售价(单位：元) 可供出售的土特产质量(单位：克)
现在出售
天后出售
（2）设商家将这批土特产贮藏天后一次性出售，有题意得
．
解得，(不合题意，舍去)
答：这批土特产贮藏天后一次性出售最终可获得总利润元．
【点睛】本题主要考查了利润方面一元二次方程的应用．找到关键描述语与等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
7．(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为
(2)购买的这种健身器材的套数为200套
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为；
（2）解：∵元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为套，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，售价元（不符合题意，故舍去），
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
8．（1）；（2）这四个整数为2，3，4，5
【分析】（1）设2x2+2y2=m，则原方程变为（m+3）（m-3）=27，解方程求得m=±6，根据非负数的性质即可求得x2+y2=3；
（2）设最小的正整数为x，则另三个分别为x+1、x+2、x+3，根据题意可得方程x（x+1）（x+2）（x+3）=120，整理为（x2+3x）（x2+3x+2）=120，设x2+3x=y，则原方程变为y（y+2）=120，解方程求得y=-12或10，由于y是正整数，可得y=10，所以x2+3x=10，再解方程求得x的值即可.
【详解】解：（1）设，则，
∴，即，∴，
∵，∴，
∴．
（2）设最小数为x，则，
即：，
设，则，
∴，，
∵，∴，
∴，（舍去），
∴这四个整数为2，3，4，5．
【点睛】本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．
9．(1)
(2)，互为倒数，证明见解析
(3)
【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和公式法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键．
（1）根据“友好方程”的定义，即得答案；
（2）求出方程的解，，即得猜想，分别求方程和的根，可验证；
（3）利用（2）中的结论，可得方程的“友好方程”的两根为，因此方程的两根或，即，整理方程得，即得答案．
【详解】（1）解：一元二次方程的“友好方程”为：，
故答案为：；
（2）解：，
，
解得，，，
根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数，
证明如下：
∵一元二次方程的两根为，
“友好方程”的两根为．
∴，
，
即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数；
故答案为：，互为倒数；
（3）解：∵方程的两根是，
∴该方程的“友好方程”，
即的两根为，
则，
即中或，
∴该方程的解为．
利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根为，
故答案为．
10．(1)
(2)宽为5米，长为米
(3)不能，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）由题意列出代数式即可．
（2）根据花圃的面积刚好为平方米，结合题意可列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
（3）设花圃的一边长为米，则，根据花圃的面积为平方米，列出一元二次方程，然后由根的判别式，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽长为米，
∴另一边的长为米，
故答案为：；
（2）解：∵花圃的面积刚好为平方米，
∴，
化简得：，
解得：，，
∵墙的最大可用长度为米，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意；
答：此时花圃的长与宽边分别为米和5米；
（3）解：建成花圃的面积不可能为平方米，理由如下：
设花圃的一边长为米，
则，
根据题意可得：，
整理得：，
∵，
∴方程无解，
∴建成花圃的面积不可能为平方米．
11．【应用】（1）36，6；（2），最小值【探究】，见解析
【分析】本题考查配方及其应用，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键．
（1）根据完全平方公式的特征求解．
（2）先配方，再求最小值．
探究：作差后配方比较大小．
【详解】应用：（1）∵
故答案为：36，6．
（2）
∵，
∴当时，原式有最小值．
【探究】因为，，
；
因为，
所以，
所以，
即．
12．(1)
(2)顶点坐标，对称轴
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，二次函数的顶点坐标与对称轴，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）利用待定系数法解题即可；
（2）将其表达式变成顶点式，然后根据，其对称轴为，顶点坐标为解题即可．
【详解】（1）解：已知二次函数的图象经过点，，
，
，
；
（2）解：，
顶点坐标，对称轴．
13．(1)；当时，
(2)新抛物线与坐标轴的交点为，，
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，平移变换等知识．
（1）设抛物线的顶点式为，再由抛物线过，可求出，即可得函数解析式，根据抛物线轴对称性的特点可求出抛物线与x轴的另一交点，借助二次函数的图象求出时，x的取值范围即可；
（2）由题意点C平移到A，抛物线向左平移2个单位，向上平移4个单位，由此可得抛物线的顶点坐标，进而可得解析式，然后求出平移后图象与坐标轴的交点．
【详解】（1）解：设抛物线的顶点式为，
抛物线过，
，
解得．
，即．
关于直线的对称点为，
当时，；
（2）解：平移后点落在处，可知抛物线向左平移2个单位，向上平移4个单位，
则新图象顶点为，
由顶点式，可得，
当时，；
当时，，
新抛物线与坐标轴的交点为，，．
14．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知得出点，进而待定系数法求解析式即可求解．
（2）根据解析式化为顶点式求得，待定系数法求得直线的解析式，过点作轴于点，交于点，则，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点，且．
∴，
即，
设抛物线解析式为，将代入得，
解得：，
∴抛物线解析式为
（2）解：∵，
∴,
如图所示，过点作轴于点，交于点，

设直线的解析式为，将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．(1)边的长应是20米
(2)当长为，花圃有最大面积．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，得到长方形花圃的长的代数式以及面积的代数式是解题的关键．
（1）设的长为x米，则长为米且，根据其面积列出方程求解即可；
（2）把（1）中用代数式表示的面积并运用配方法整理为，然后再根据二次函数的性质以及x的取值范围即可解答．
【详解】（1）解：设的长为x米，则长为米且，即，
根据题意得：，
解得：或5（不合题意舍弃）.
答：边的长应是20米．
（2）解：花圃的面积为，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵，
∴当时，花圃有最大面积，即当长为，花圃有最大面积．
16．(1)该二次函数的解析式，顶点坐标为；
(2)①；②．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数的解析式，利用配方法求得顶点坐标；
（2）①将代入抛物线解析式，计算y的值即可；
②结合二次函数的最大值，令，求出对应的x 的值，根据题意即可得出结论．
【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，点，
，
解得：，
该二次函数的解析式，
，
顶点坐标为．
（2）①当时，
，
点在该二次函数图象上，
．
②的顶点坐标为，
函数的最大值为5，
n的最大值为5，点在该二次函数图象上，
m的最大值为1，
令，则，
解得：，，
m的取值范围为：．
【点睛】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的极值，利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键．
17．(1)
(2)1或
(3)点P的坐标为
【分析】本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键时将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质和二次函数的知识求解.
利用轴上的点坐标为，轴上的点坐标为代入直线的表达式求出点的坐标，再利用顶点坐标式待定系数法求出抛物线的表达式；
把时，代入抛物线的表达式求出；
把点关于对称轴的对称点为，连接，与对称轴的交点即为点，利用直线与对称轴的交点求法即可得到点的坐标.
【详解】（1）解：对于，当时，；当时，
．
抛物线的顶点为，
．又抛物线经过点，
，解得，
抛物线对应的函数解析式为，
（2）点在抛物线上，
，解得，
的值为1或．
（3）如图，设点B关于对称轴的对称点为，连接，与对称轴的交点即为点P．
点的坐标为，对称轴是直线，
，则直线的函数解析式为．
联立解得
故点P的坐标为．
18．(1)
(2)米
(3)
【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据实际情况设出相应的函数解析式是解题的关键．
（1）由题可知抛物线的顶点为，则，将点代入，即可求函数的解析式即可；
（2）令，求出，则（米）；
（3）设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为，将代入，求得，则函数解析式为，由此可得．
【详解】（1）解：∵箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为，
∴抛物线的顶点为，
∴，
∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：令，
解得或（舍），
∵四边形是矩形，
∴，
∴（米），
∴人离壶的距离为米；
（3）解：设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为，
当箭刚好由点处擦边投入壶中时，将代入，
得，
解得，
∴，
∴．
19．(1)，，
(2)
(3)点是在一条定直线上，该直线的解析式为
【分析】（1）分别令、为，解方程即可求得点、、的坐标；
（2）如图，过点作轴，交于点，根据，设，，分别根据点的坐标特征以及与所在直线的关系表示出和，进而得出，要使的值最小，即取最大值，根据函数的增减性判断即可，进而求出点的坐标．
（3）由题意知抛物线：， 联立方程求解即可得点坐标，根据中点坐标公式可得点坐标．设，，可得直线的解析式， 将点的坐标代入可得． 同理，求得直线的解析式，联立直线和直线的解析式可得点坐标，代入，整理比较系数之间的关系，判定点是否在一条定直线上．
【详解】（1）解：抛物线 交轴于，两点（在的左边），交轴于点，
当时，，
，
当时，得：， 解得或，
，．
（2）解：如图，过点作轴，交于点，
，
，
设直线的解析式为，则有，
所以直线的解析式为，
设，
，
为抛物线上的点，
设，
设直线的解析式为，则有，
，
，
，
，
要使的值最小，即取最大值时，
，且随着的增大而增大，
当时，取最大值，最大值为，此时点与点重合，
设直线的解析式为，则有：
，解得，
直线 的解析式为 ，
联立，解得，
点的坐标为，
即当的值最小时，点的坐标为．
（3）解：点在一条定直线上．理由如下：
由题意知抛物线：，
联立，解得，，
．
是的中点，
．
设，，直线的解析式为，
则 ， 解得，
直线的解析式为，
直线经过点，
，即．
设直线的解析式为，则有：
，解得，
直线 的解析式为 ，
设直线的解析式为，则有：
，解得，
直线的解析式为，
联立 ，
直线与相交于点，
，
解得 ，即，
设点在直线上，则，
整理得，，
比较系数，得 ，解得，
当，时，无论、为何值时，等式恒成立，
点在定直线上．
即点是在一条定直线上，该直线的解析式为．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与坐标轴的交点，一次函数图象上点的坐标特征等．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，运用分类讨论思想思考是解答本题的关键．
20．(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为
(2)面积的最大值为，点P的坐标为
【详解】解：（1）将代入，得，解得
抛物线的解析式为，顶点坐标为．
（2）如图所示，过点P作轴于点D，交于点E．
由（1）知，，令，解得，
点C的坐标为．
设直线的解析式为．
将代入，得，解得，
直线的解析式为．
设点P的坐标为，
则点E的坐标为，
，
∴当时，取得最大值为4．
，
当取得最大值时，面积取得最大值，
面积的最大值为，此时，
∴点P的坐标为．
21．(1)抛物线L的特征点为
(2)①②或
【分析】利用待定系数法，将两点坐标代入抛物线的解析式，求解、，进而得到特征点；
①先求出抛物线的对称轴，再根据特征点在该对称轴上，建立与的关系式；②先求出抛物线、与轴的交点、的坐标，结合①的关系表示出点坐标，再分情况讨论以、、为顶点的等腰三角形，求解的值.
【详解】（1）解：将分别代入中，得解得
抛物线L的特征点为．
故答案为：抛物线L的特征点为．
（2）解：①抛物线的对称轴为直线．
抛物线的特征点在抛物线的对称轴上，
，即，与b之间的关系式为．
②对于抛物线，令，得，
解得．
对于抛物线，令，得，
解得．
抛物线与x轴有两个不同的交点M，N，
．
由①知，
，．
当以C，M，N为顶点的三角形是等腰三角形时，分以下三种情况讨论：
（ⅰ）当时，，即，解得．
抛物线开口向下，；
（ⅱ）当时，，即，解得．
；
（ⅲ）当时，，即．
，
∴此种情况不成立
综上所述，当以C，M，N为顶点的三角形是等腰三角形时，a的值为或．
故答案为：①②或.
【点睛】本题考查了二次函数的待定系数法、抛物线对称轴、与轴交点及等腰三角形存在性，解题关键是熟练运用待定系数法，结合对称轴公式和两点间距离公式，分情况讨论等腰三角形.
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