第21-22章（一元二次方程和二次函数 ） 重点知识点填空题 专题练 2025-2026学年初中数学人教版九年级上册期末复习

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第21-22章（一元二次方程和二次函数 ） 重点知识点填空题
专题练 2025-2026学年初中数学人教版九年级上册期末复习
1．结论开放题写出一个以2和3为根的一元二次方程： ．
2．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是 ．
3．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ．
4．若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是 ．
5．如图，抛物线的对称轴为直线，且过点，有下列结论①；②；③；④；其中所有正确的结论是 ．
6．若二次函数有最大值为4，则的最小值是 ．
7．已知二次函数的部分图象如图所示．若，则的取值范围是 ．
8．将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是 ．
9．请任意写出一个图象开口向上，且顶点坐标为的二次函数解析式： ．
10．已知点A（，）（）是二次函数（）图象上一点，当时，二次函数的最大值和最小值分别为6和，则的值为 ．
11．已知二次函数的图象经过点，则当时，y的取值范围是 ．
12．若二次函数的图象上有三个不同的点、、，则n的值为 ．
13．已知抛物线与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点在第 象限．
14．如图所示，有一块三角形余料，它的边长，高．要用它加工一个矩形零件（其中点Q，M在边上，点P，N分别在，边上）．若矩形的面积为，则其长和宽分别为 ．
15．设，是方程的两个实数根，则的值是 ．
16．若（为实数），则的最小值为 ．
17．在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，，则方程的解为 ．
18．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是．
19．已知，且满足，，那么的值为 .
20．若关于的方程是一元二次方程，则 ．
21．如图，抛物线与轴交于点，，把抛物线在轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与轴交于点，，若直线与，共有个不同的交点，则的取值范围是 ．
22．如图，，是抛物线上两点，点为的中点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，．设，两点的横坐标分别为，．则的值为 ．
参考答案
1．（答案不唯一）
【分析】本题根据一元二次方程解的定义即可得到方程。
【详解】解：根据一元二次方程的解的定义，
则二次项系数为1的方程为，
即;
故答案为：（答案不唯一）.
【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，解题的关键是熟记定义解题。
2．2025
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，根据一元二次方程解的定义得到，然后再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：把代入方程，得，
所以，
所以．
故答案为：．
3．
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行解答即可．
【详解】解：依题意可得，
解得，
故答案为：．
4．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式．，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程没有实数根．熟练掌握是解决问题的关键．
根据方程无实数根，得，即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，
解得．
故答案为：．
5．①②③
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
根据二次函数图像及其性质对序号依次判断即可．
【详解】由图像可知，，，
∴，故①正确．
当x=时，y=0，
即
∴
∴
∴，故②正确．
由对称轴为，与x轴一个交点为可知与x轴另一个交点为
即
化简得，故③正确．
∵对称轴为
∴
∴，
将代入有
即
∴，故④错误．
综上所述①②③正确．
故答案为①②③．
6．
【分析】本题考查了二次函数图像的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换是解题的关键．
根据题意设二次函数的顶点坐标为，且开口向下，根据平移可知的顶点坐标为，根据关于轴对称可知的顶点坐标为，且开口向上，有最小值．
【详解】解：∵二次函数有最大值为4，
∴设二次函数的顶点坐标为，
∵向左平移1个单位得到，
∴的顶点坐标为，
∵与关于轴对称，
∴的顶点坐标为，且开口向上，
此时顶点坐标为，则最小值为；
故答案为：．
7．/
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，对称轴与交点坐标的关系，利用数形结合的思想，正确求得抛物线与轴的另一个交点的坐标是解题的关键．
根据抛物线的对称轴为，一个交点为，可推出另一交点为，结合图象求出时，的范围．
【详解】解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为，一个交点为，
根据对称性，则另一交点为，
所以，的取值范围是，
故答案为：．
8．
【分析】本题考查了二次函数的平移，以及二次函数一般式化顶点式，解题的关键在于正确掌握函数平移的规律．先把配成顶点式，再把函数先向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到平移后的顶点式，即可得到平移后的抛物线的顶点坐标．
【详解】解：将抛物线化为顶点式有，
再向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，
得，
故平移后的抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
9．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了根据顶点式求二次函数的解析式，设抛物线的解析式为，由条件可以得出，从而即可得到答案．
【详解】解：设抛物线的解析式为，且抛物线的图象开口向上，
∴，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了二次函数的增减性、区间最值，结合对称轴对区间进行分类讨论是解题的关键．
把代入中可得函数解析式，进而可得二次函数开口向上以及对称轴，结合知区间的中点在对称轴的右侧，由于区间中点在对称轴右侧，故函数在区间右端点的值大于左端点的值，再对区间左端点分类讨论即可．
【详解】解：∵把代入中，得：,
∴，
∴函数解析式为：，
∵，
∴二次函数开口向上，对称轴为轴，
∵，
∴，，
①当，即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值，
∴，
解得：，
且，
则有，
解得：；
②当，即时，函数在处取得最大值，
∴，
解得：，这与矛盾，故不成立；
综上可得：．
故答案为： ．
11．
【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值．
先将点代入函数解析式求出 b 的值，得到二次函数表达式，再根据开口方向和对称轴确定当的最值即可．
【详解】解：将点代入，得，即，
解得，
因此函数为．
该二次函数开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
比较端点值：当时，；
当时，．
因此，最大值为5，
故y的取值范围是．
故答案为：．
12．5
【分析】本题考查了二次函数性质，根据二次函数性质得到关于二次函数的对称轴对称，进而推出，将其代入二次函数求解，即可解题．
【详解】解：，，
关于二次函数的对称轴对称，
，
，
故答案为：．
13．一
【分析】根据抛物线与x轴没有交点求出，可得抛物线开口向上，再求出抛物线对称轴在y轴右侧，然后可得答案．
【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点，
∴，
∴，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线对称轴为，即在y轴右侧，
∴该抛物线的顶点在第一象限，
故答案为：一．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c是常数，）：决定抛物线与x轴的交点个数；时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
14．和
【分析】本题考查了等面积法，解一元二次方程．
设，则，根据等面积法计算即可．
【详解】解：设，
∵矩形的面积为，
∴，
∴，，
∵
∴
整理得：，
解得：，，
故答案为：和．
15．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
由一元二次方程根与系数的关系可分别求出与的值，再化简要求的式子，代入即可得解．
【详解】解：由方程可知
，
故答案为：．
16．
【分析】运用配方法将变形为，然后根据非负数的性质求出的最小值即可．
【详解】解：
=
=
=
∵为实数，
∴
∴的最小值为,
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程 中不要改变式子的值．
17．，
【分析】本题考查新定义，解一元二次方程，根据新定义得：，，由可得到一元二次方程，求解即可．根据题意得到一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，，
∴方程的解为，．
故答案为：，．
18．2或3
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设运动时间为t 秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设运动时间为t 秒，则，，
∵，
∴，
整理得：，
解得：，，
∴2或3秒时，的面积是．
故答案为：2或3．
19．
【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于、两根之积等于”是解题的关键．由a、b满足的条件可得出a、b为方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得出、，将其代入中可求出结论．
【详解】解：，且满足，，
、b为方程的两个实数根，
，，
故答案为：．
20．-1
【分析】根据一元二次方程的定义得出k 1≠0且|k|＋1＝2，再求出k即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴k 1≠0且|k|＋1＝2，
解得：k＝ 1，
故答案为： 1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
21．
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝x＋m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝x＋m过点B时m的值，结合图形即可得到答案.
【详解】令y＝－2x2＋8x－6＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，则点A（1,0），B(3,0)由于C1向右平移两个长度单位得C2,则C2解析式为y＝－2（x－4）2＋2（3≤x≤5），当y＝x＋m1与C2相切时，令y＝x＋m1＝y＝－2（x－4）2＋2，即2x2－15x＋30＋m1＝0，△＝－8m1－15＝0，解得m1＝－，当y＝x＋m2过点B时，即0＝3＋m2，m2＝－3，当－3＜m＜－时直线y＝x＋m与C1、C2共有3个不同交点，故答案是－3＜m＜－.
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度.
22．
【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握中点坐标公式和完全平方公式是解题的关键．先根据中点坐标公式求出点的横坐标，进而得到点和的纵坐标，再根据列出方程，最后利用完全平方公式求出的值．
【详解】解：∵，，点是的中点，
∴点的横坐标为，纵坐标为．
∵过作轴的垂线交抛物线于，
∴的横坐标为，纵坐标为．
∵，
∴．
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
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