【备考2026】四川省资阳市中考仿真数学试卷3（含解新）
文档属性
| 名称 | 【备考2026】四川省资阳市中考仿真数学试卷3（含解新） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-22 15:11:32 | ||
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文档简介
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【备考2026】四川省资阳市中考仿真数学试卷3
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
题号 一 二 三 总分
得分
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）若|a﹣b|＝b﹣a，那么a与b的关系是（ ）
A．a＞b B．a＜b C．a≤b D．a≥b
2．（4分）如图是一个正方体的表面展开图，在正方形A、B、C内分别填入适当的数a，b，c，使其折叠成正方体后，相对面上的两个数互为倒数，则a﹣2b+3c═（ ）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
3．（4分）下列计算中正确的是（ ）
A．（x2）2＝x5 B．x3﹣x2＝x
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．﹣x2 x＝﹣x3
4．（4分）在2023年江门市体育中考中，某校九年级毕业生的成绩统计如下：
成绩（分） 60 59 58 57 56 55
得分人数（人） 9 4 2 1 1 1
那么该校九年级毕业生体育中考成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．58，59 B．58.5，60 C．59，60 D．59.5，60
5．（4分）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示的位置放置，若∠AEG＝26°，则∠HFD为（ ）
A．26° B．36° C．41° D．52°
6．（4分）在如图所示的数轴上，表示数的点应在（ ）
A．A，O之间 B．O，B之间 C．B，C之间 D．C，D之间
7．（4分）甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，请你选出正确的作图是（ ）
问题：某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，现要在道路AB边上建一个休息点M，使它到AC和BC两边的距离相等，在图中确定休息点M的位置
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（4分）如图，已知正方形ABCD的周长为20，AE＝1，CF＝4，若M为对角线AC上一动点，则EM+FM的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．（4分）如图，在扇形MON中，∠MON＝105°，半径OM＝6，将扇形MON沿直线PN折叠，点O恰好落在MN上的点Q处，折痕交OM于点P，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞n时，x的取值范围是m﹣3＜x＜1﹣m．下列结论：
①对称轴是直线x＝﹣1；
②a＞0；
③二次函数的图象经过点P（3，y1），Q（x2，y2），若y2＜y1，则x2＞3；
④y有最大值c﹣a．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）据报道，2023年我国新能源汽车发展优势不断巩固和扩大，一季度全国新能源汽车销量为159万辆，同比增长27%，将1590000用科学记数法表示为 ．
12．（4分）若某公司的地板由三种边长相等的正多边形铺设，一个顶点处每种正多边形只用一个，设这三种正多边形的边数分别是x、y、z，则的值为 ．
13．（4分）在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率为 ．
14．（4分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣12＝0有一个根是x＝3，则m的值为 ．
15．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝70°，过点A的切线与CO的延长线交于点D，则∠D＝ ．
16．（4分）已知甲、乙两地相距90km，A，B两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A骑摩托车，B骑电动车，图中DE，OC分别表示A，B两人离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的关系图象．则两人相遇时，是在B出发后 小时．
三．解答题（共8小题，满分86分）
17．（9分）当a＝﹣2，b＝﹣1时，求代数式的值．
18．（10分）为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，绘制了如图所示的两幅尚不完整的统计图．（其中A表示“90＜x≤100”；B表示“80＜x≤90”；C表示“70＜x≤80”；D表示“x≤70”）．
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，扇形统计图中m＝ ．
（2）请补全条形统计图．
（3）在一次交流活动中，老师决定从成绩为B的4名学生中随机选取2名学生来进行采访，已知这4名学生中只有1名男同学，请用画树状图或列表的方法求选取到2名同学中刚好有这位男同学的概率．
19．（10分）自3月以来，受多重因素影响，上海疫情形势严峻．疫情无情人有情，某单位工会号召广大职工积极开展“献爱心捐款”活动，并拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品送往上海．如果购买A种物品600件，B种物品450件，共需3600元；如果购买A种物品450件，B种物品300件，共需2550元．
（1）求A、B两种防疫物品每件各多少元；
（2）现要购买A、B两种防疫物品共2000件，总费用不超过7000元，那么A种防疫物品最少购买多少件？
20．（10分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）测量OB与OD、∠BOA与∠DOA，你有何猜想？证明你的猜想．
21．（11分）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，如图所示建立平面直角坐标系，直线y＝kx+b经过格点A、B，与函数y（x＞0）的图象交于格点C（2，a）．
（1）求直线AB对应的函数关系式和m的值．
（2）在图中画出函数 的图象．
（3）当一次函数的值大于函数 0）的值时，根据图象，直接写出x的取值范围．
22．（11分）如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点．D在A的正北方向，C在D的北偏东75°方向，B在A的正东方向，且在C的南偏西15°方向，在D的南偏东30°方向，B、D相距10千米（参考数据：，，）．
（1）求BC的长度（结果保留小数点后一位）；
（2）甲、乙两人从景点A出发去景点C，甲选择的线路为：A﹣D﹣C，乙选择的线路为：A﹣B﹣C，请通过计算说明谁选择的线路较近？
23．（12分）在等腰三角形AOB中，OA＝OB，点C是底边AB的中点，过点C作CD⊥OB，交直线OB于点D，过点D作DE⊥OA，交直线OA于点E，直线DE，OC交于点F，过点C作CG⊥DE，交直线DE于点G．
（1）观察猜想
如图，用等式表示线段CG，OE，OD的数量关系，并证明你的结论．
（2）类比探究
等腰三角形的一个内角为30°，OD＝4，直接写出线段CG的长度．
（3）拓展应用
∠AOB≠90°时，若，请直接写出的值．
24．（13分）已知：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+3（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x＝﹣2．
（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若点P（0，t）是y轴上的一个动点，请进行如下探究．
探究一：如图1，设△PAD的面积为S，令W＝t S，当0＜t＜4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；
探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的直角三角形，如果存在，请直接写出点P的坐标，如果不存在请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．【考点】绝对值
【分析】根据绝对值的性质解答即可．
解：∵|a﹣b|＝b﹣a，
∴a﹣b≤0，
∴a≤b，
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值，熟知：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．
2．【考点】专题：正方体相对两个面上的文字
【分析】根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”判断相对的面，再根据互为倒数的定义进行计算即可．
解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
1与a相对，2与b相对，﹣3与c相对，
又∵相对面上的两个数互为倒数，
∴a＝1，b，c，
∴a﹣2b+3c＝1﹣23×（）＝1﹣1﹣1＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键．
3．【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方
【分析】根据幂的乘方计算，完全平方公式，同底数幂乘法计算和合并同类项，逐项分析判断即可．
解：A、（x2）2＝x4，原式计算错误，不符合题意；
B、x3与x2不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，原式计算错误，不符合题意；
D、﹣x2 x＝﹣x3，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了幂的乘方计算，完全平方公式，同底数幂乘法计算和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
4．【考点】众数；中位数
【分析】根据众数、中位数的定义进行计算即可．
解：共有9+4+2+1+1+1＝18（人），60分出现的次数最多，众数为60，
第9和10两个数的平均数为59.5，故中位数为59.5，
故选：D．
【点评】本题考查了众数、中位数，掌握它们的计算方法是解题的关键．
5．【考点】平行线的性质；三角形内角和定理
【分析】结合已知条件易求得∠AEF的度数，再利用平行线性质求得∠EFD的度数，然后利用三角形内角和定理求得∠EFH的度数，最后利用角的和差即可求得答案．
解：∵∠AEG＝26°，∠GEF＝45°，
∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝26°+45°＝71°，
∵AB∥CD，
∴∠EFD＝∠AEF＝71°，
∵∠FEH＝90°，∠H＝60°，
∴∠EFH＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴∠HFD＝∠EFD﹣∠EFH＝71°﹣30°＝41°，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理及平行线的性质，结合图形及已知条件得出角的和差关系是解题的关键．
6．【考点】估算无理数的大小；实数与数轴
【分析】先估算出在哪两个连续整数之间，然后可得3在哪两个连续整数之间，最后结合数轴即可求得答案．
解：∵4＜7＜9，
∴23，
∴0＜31，
则表示数3的点应在O，B之间，
故选：B．
【点评】本题考查实数与数轴及无理数的估算，结合已知条件估算出在哪两个连续整数之间是解题的关键．
7．【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【分析】根据角平分线的性质可判断点M为∠ACB的平分线与AB的交点，然后根据基本作图进行判断．
解：∵M点到AC和BC两边的距离相等，
∴点M为∠ACB的平分线与AB的交点，
∴丙同学的作图正确．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
8．【考点】轴对称﹣最短路线问题；正方形的性质
【分析】作点E关于AC的对称点E′，连接E′F，交AC于M，此时EM+FM最小，最小值是E′F的长，进一步得出jguo．
解：如图，
作点E关于AC的对称点E′，连接E′F，交AC于M，此时EM+FM最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠BAD＝∠D＝90°，AB∥CD，点E′在AB上，AE′＝AE＝1，
∴DF＝CD﹣CF＝1，
∴AE′＝DF，
∴四边形AE′FD是 平行四边形，
∴E′F＝AD＝5，
∴EM+FM＝E′M+FM＝E′F＝5，
故选A．
【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．
9．【考点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定与性质；垂径定理
【分析】连接OQ，根据折叠可知PN⊥OQ，QE＝OE＝3，∠QNE＝∠ONE，ON＝NQ＝6，进而可得△QON是等边三角形，则∠POQ＝45°，进而求得△POQ的面积，根据阴影部分面积＝S扇形MOQ﹣S△POQ求解即可．
解：连接OQ，交PN于E，
由条件可知PN⊥OQ，QE＝OE＝3，∠QNE＝∠ONE，ON＝NQ＝6，
∴∠NEO＝90°，△QON是等边三角形，
∴∠QON＝∠QNO＝60°，
∵∠MON＝105°，
∴∠POQ＝∠MON﹣∠QON＝45°，
∵∠OEP＝90°，
∴PE＝OE＝3，
∴阴影部分的面积
＝S扇形MOQ﹣S△POQ
．
故选：D．
【点评】此题主要考查三角形的折叠问题、等边三角形的判定与性质、扇形面积以及特殊角三角函数值的运用，掌握以上知识是解题的关键．
10．【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值
【分析】由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，即可判断①②；根据二次函数的性质即可判断③；由抛物线的顶点坐标以及a与b的关系即可判断④．
解：∵当y＞n时，x的取值范围是m﹣3＜x＜1﹣m．
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x1，
∴a＜0，故①正确，②错误；
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴点P（3，y1）的对称点为（﹣5，y1），
∵二次函数的图象经过点P（3，y1），Q（x2，y2），且y2＜y1，
∴x2＞3或x2＜﹣5；故③错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴函数的最大值为y＝a﹣b+c，
∵1，
∴b＝2a，
∴y有最大值c﹣a，故④正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质及图象上点的坐标的特征，有一定难度，对于程度一般的学生可能没有思路，无从下手．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．【考点】科学记数法—表示较大的数
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
解：1590000＝1.59×106．
故答案为：1.59×106．
【点评】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
12．【考点】平面镶嵌（密铺）
【分析】这三种正多边形一个顶点处三个内角的度数之和正好等于360°．
解：由题意可知：360°，
∴1112，
∴．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了平面镶嵌，解决本题的关键是理解多个多边形镶嵌的条件是：一个顶点处的内角和等于一个周角．
13．【考点】概率公式
【分析】由一个不透明的布袋里装有7个球，其中2个红球，5个白球，它们除颜色外其余都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案，熟练掌握其概率公式是解决此题的关键．
解：从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率，
14．【考点】一元二次方程的解
【分析】根据一元二次方程的根的定义把方程根代入，得到关于m的方程，解方程即可得到m的值．
解：∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣12＝0的一个根是x＝3，
∴32+3m﹣12＝0，
∴m＝1，
故答案为：1．
【点评】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题的关键．
15．【考点】切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【分析】连接OA，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠B＝140°，根据切线的性质得到∠OAD＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
解：连接OA，
∵∠ABC＝70°，
∴∠AOC＝2∠B＝140°，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠OAD＝90°，
∴∠D＝∠AOC﹣∠OAD＝140°﹣90°＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
16．【考点】一次函数的应用
【分析】根据函数图象中的数据，可以得到A和B的速度，然后设两人相遇时，是在B出发后m小时，即可得到方程20m＝45（m﹣1），再求解即可．
解：由图象可得，
A的速度为：90÷（3﹣1）＝45（km/h），
B的速度为：60÷3＝20（km/h），
设两人相遇时，是在B出发后m小时，
由题意可得：20m＝45（m﹣1），
解得m＝1.8，
即两人相遇时，是在B出发后1.8小时，
故答案为：1.8．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
三．解答题（共8小题，满分86分）
17．【考点】分式的化简求值
【分析】把a，b的值代入计算即可．
解：当a＝﹣2，b＝﹣1时，
＝（﹣2）2+（﹣2）
＝4﹣2
．
【点评】本题考查求代数式的值，解题的关键是能准确的计算．
18．【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图
【分析】（1）由C的人数除以所占百分比得出本次调查一共随机抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）求出D的人数，补全条形统计图即可；
（3）画树状图，共有12种等可能结果，其中选取到2名同学中刚好有这位男同学的结果有6种，再由概率公式求解即可．
解：（1）本次调查一共随机抽取的学生人数为：30÷50%＝60（名），
∴m%＝15÷60×100%＝25%，
∴m＝25，
故答案为：60，25；
（2）D的人数为：60﹣15﹣4﹣30＝11（名），
补全条形统计图如下：
（3）画树状图如下：
共有12种等可能结果，其中选取到2名同学中刚好有这位男同学的结果有6种，
∴选取到2名同学中刚好有这位男同学的概率为．
【点评】此题考查了用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用
【分析】（1）设A种每件x元，B种每件y元，依据题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可；
（2）根据总价＝单价×数量，列出一元一次不等式，解之取最小值即可．
解：设A种每件x元，B种每件y元，
依题意得：，
解得：，
答：A种每件3元，B种每件4元．
（2）设A种买了m件，则B种买了（2000﹣m）件，
由题意得：3m+4（2000﹣m）≤7000，
解得：m≥1000，
∴最少购买A种1000件．
答：A种防疫物品最少购买1000件．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，找准各数量之间的关系是解题关键．
20．【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】（1）根据SSS即可得出结论；
（2）由△ABC≌△ADC，得出∠BAC＝∠DAC，进而根据SAS判断出△ABO≌△ADO，即可得出结论．
（1）证明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
（2）解：OB＝OD，∠BOA＝∠DOA，
证明：由（1）知，△ABC≌△ADC，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABO和△ADO中，
，
∴△ABO≌△ADO（SAS），
∴OB＝OD，∠BOA＝∠DOA．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，“筝形”的面积求法，判断出△ABC≌△ADC是解本题的关键．
21．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）用待定系数法求出直线AB对应的函数关系式，再求出a的值得到C点坐标，将C点坐标代入函数y即可求出m的值；
（2）根据解析式画出函数图象即可；
（3）根据图象找出一次函数位于反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可．
解：（1）由图知点A坐标为（0，3），点B的坐标为（6，0），
∵一次函数y＝kx+b经过A、B两点，
∴，解得：，
∴一次函数解析式为：yx+3，
∵yx+3经过点C （2，a），
∴a＝﹣1+3＝2，
∴点C坐标为（2，2），
∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点C（2，2），
∴m＝2×2＝4；
（2）反比例函数y（x＞0）的图象如图：
（3）根据图象可知，当2＜x＜4时，一次函数位于反比例函数图象上方，
即一次函数的值大于函数 0）的值时，x的取值范围是2＜x＜4．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，反比例函数的图象，以及数形结合思想，综合性较强．求出函数解析式是解题的关键．
22．【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】（1）过点C作CE⊥BD于点E，则∠BEC＝∠CED＝90°，先求出ABBD＝5千米，∠ABD＝60°，∠EBC＝45°，得出△BEC是等腰直角三角形，则BE＝CE，BCBE，设BE＝CE＝x千米，则DE＝（10﹣x）千米，再求出∠DCE＝15°，构造含15°角的直角三角形，求出tan15°＝0.27，然后由tan∠DCE0.27，求出BE＝CE≈7.87千米，即可得出结果；
（2）先由锐角三角函数的定义求出AD＝8.65千米，再由勾股定理求出CD≈8.15千米，然后求出甲选择的线路长、乙选择的线路长，即可得出结果．
解：（1）如图1，过点C作CE⊥BD于点E，
则∠BEC＝∠CED＝90°，
由题意得：∠ABC＝90°+15°＝105°，∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，BD＝10千米，
∴ABBD10＝5（千米），∠ABD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABD＝105°﹣60°＝45°，
∴△BEC是等腰直角三角形，
∴BE＝CE，BCBE，
设BE＝CE＝x千米，则DE＝（10﹣x）千米，
∵∠CDE＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴∠DCE＝90°﹣75°＝15°，
如图2，△QFH是直角三角形，∠F＝90°，∠FQH＝30°，延长FQ至点G，使GQ＝QH，连接GH，
则∠FGH＝∠QHG＝15°，
设HF＝a，则GQ＝QH＝2a，FQa，
∴FG＝GQ+FQ＝（2）a，
∴tanG＝tan15°22﹣1.73＝0.27，
∴tan∠DCE0.27，
解得：x≈7.87，
∴BE＝CE≈7.87千米，
∴BC7.87≈1.41×7.87≈11.1（千米），
答：BC的长度约为11.1千米；
（2）在Rt△ABD中，tan∠ABD，
∴AD＝AB tan60°＝55×1.73＝8.65（千米），
DE＝10﹣7.87＝2.13（千米），
在Rt△CED中，由勾股定理得：CD8.15（千米），
甲选择的线路长为：AD+DC＝8.65+8.15＝16.8（千米），
乙选择的线路长为：AB+BC＝5+11.1＝16.1（千米），
∵16.1＜16.8，
∴乙选择的线路较近．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题等知识，构建直角三角形，熟练掌握锐角三角形函数的定义是解题的关键．
23．【考点】相似形综合题
【分析】（1）过点C作CP⊥OA于点P，利用角平分线的性质金额全等三角形的判定与性质得到OP＝OD，利用矩形的判定与性质得到PE＝CG，利用等式的性质解答即可得出结论；
（2）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当等腰三角形的顶角为30°时，过点C作CP⊥OA于点P，利用（1）的结论得到CG＝OD﹣OE，利用含30°角的直角三角形的性质解答即可得出结论；②当等腰三角形的底角为30°时，过点C作CP⊥OA于点P，类比（1）的解法得到CG＝OD+OE，利用含30°角的直角三角形的性质求得OE，则结论可求；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当∠AOB为锐角时，过点C作CP⊥OA于点P，由（1）知：OP＝OD，OD＝CG+OE，CG＝PE，利用相似三角形的判定与性质得到4，则CG＝4OE，OD＝CG+OE＝5OE，则DE2OE，再利用相似三角形的判定与性质解答即可；②当∠AOB为钝角时，过点C作CP⊥OA于点P，类比①的方法解答即可得出结论．
解：（1）线段CG，OE，OD的数量关系为：OD＝CG+OE．
过点C作CP⊥OA于点P，如图，
∵OA＝OB，C为AB中点，
∴OC平分∠AOB，
∵CD⊥OB，CP⊥OA，
∴CP＝CD，
在Rt△POC和Rt△DOC中，
，
∴Rt△POC≌Rt△DOC（HL），
∴OP＝OD，
∵DE⊥OA，CG⊥DE，CP⊥OA，
∴∠CPE＝∠PEG＝∠CGE＝90°，
∴四边形CPEG是矩形，
∴PE＝CG，
∵OP＝PE+OE＝CG+OE，
∴OD＝CG+OE；
（2）①当等腰三角形的顶角为30°时，过点C作CP⊥OA于点P，如图，
由（1）知：OP＝OD，OD＝CG+OE，
∴CG＝OD﹣OE．
∵∠AOB＝30°，DE⊥OA，
∴DEOD＝2，
∴OE2，
∴CG＝4﹣2；
②当等腰三角形的底角为30°时，过点C作CP⊥OA于点P，如图，
则∠A＝∠C＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠DOE＝60°，
∵DE⊥OA，
∴∠ODE＝30°，
∴OEOD＝2．
∵OA＝OB，C为AB中点，
∴OC平分∠AOB，
∵CD⊥OB，CP⊥OA，
∴CP＝CD，
在Rt△POC和Rt△DOC中，
，
∴Rt△POC≌Rt△DOC（HL），
∴OP＝OD，
∵DE⊥OA，CG⊥DE，CP⊥OA，
∴∠CPE＝∠PEG＝∠CGE＝90°，
∴四边形CPEG是矩形，
∴PE＝CG，
∵OP＝PE﹣OE＝CG﹣OE，
∴CG＝OD+OE＝4+2＝6．
综上，或6；
（3）①当∠AOB为锐角时，过点C作CP⊥OA于点P，如图，
由（1）知：OP＝OD，OD＝CG+OE，CG＝PE，
∵CG⊥DE，DE⊥OA，
∴CG∥OA，
∴△CGF∽△OEF，
∴4，
∴CG＝4OE，
∴CG＝PE＝4OE，
∴OD＝CG+OE＝5OE，
∴DE2OE，
∵CD⊥OB，
∴∠CDG+ODE＝90°，
∵DE⊥OA，
∴∠ODE+∠DOE＝90°，
∴∠CDG＝∠DOE，
∵∠CGD＝∠OED＝90°，
∴△CDG∽△DOE，
∴，
∴．
②当∠AOB为钝角时，过点C作CP⊥OA于点P，如图，
由（2）②可知：OP＝OD，CG＝OD+OE，
∵CG⊥DE，DE⊥OA，
∴CG∥OE，
∴△FOE∽△FCG，
∴，
∴CG＝4OE，
∴OD＝CG﹣OE＝3OE，
∴DE2OE，
∵CD⊥OB，
∴∠CDG+ODE＝90°，
∵DE⊥OA，
∴∠ODE+∠DOE＝90°，
∴∠CDG＝∠DOE，
∵∠CGD＝∠OED＝90°，
∴△CDG∽△DOE，
∴，
∴．
综上，的值为或．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，矩形的判定与性质，分类讨论的思想方法，利用类比的方法解答是解题的关键．
24．【考点】二次函数综合题
【分析】（1）由抛物线的对称轴求出a，就得到抛物线的表达式了；
（2）探究一，由抛物线表达式找出A，B，C三点的坐标，作DM⊥y轴于M，再由面积关系：SPAD＝S梯形OADM﹣SAOP﹣SDMP得到t的表达式，从而W用t表示出来，转化为求最值问题．
探究二，运用分类讨论思想，可以分三种情况：①当∠P1DA＝90°时，②当∠P2AD＝90°时，③当AP3D＝90°时，分别求出点P的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣x+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，
∴，
∴，
∴，
∴D（﹣2，4）；
（2）探究一：当0＜t＜4时，W有最大值．
∵抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，
∴A（﹣6，0），B（2，0），C（0，3），
∴OA＝6，OC＝3，
当0＜t＜4时，作DM⊥y轴于点M，
则DM＝2，OM＝4．
∵P（0，t），
∴OP＝t，MP＝OM﹣OP＝4﹣t．
∵S△PAD＝S梯形OADM﹣S三角形AOP﹣S三角形DMP
＝12﹣2t，
∴W＝t（12﹣2t）＝﹣2（t﹣3）2+18
∴当t＝3时，W有最大值，W最大值＝18；
探究二：
存在．分三种情况：
①当∠P1DA＝90°时，作DE⊥x轴于E，
则OE＝2，DE＝4，∠DEA＝90°，
∴AE＝OA﹣OE＝6﹣2＝4＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE＝45°，，
∴∠P1DE＝∠P1DA﹣∠ADE＝90°﹣45°＝45°，
∵DM⊥y轴，OA⊥y轴，
∴DM∥OA，
∴∠MDE＝∠DEA＝90°，
∴∠MDP1＝∠MDE﹣∠P1DE＝90°﹣45°＝45°，
∴P1M＝DM＝2，，
此时，
因为∠AOC＝∠P1DA＝90°，
∴Rt△ADP1∽Rt△AOC，
∴OP1＝OM﹣P1M＝4﹣2＝2，
∴P1（0，2）．
∴当∠P1DA＝90°时，P1点的坐标为（0，2）；
②当∠P2AD＝90°时，
则∠P2AO＝45°，
∴△P2AO为等腰直角三角形，
∵OA＝6，
∴OP＝6，
∴点P的坐标为（0，﹣6）；
③当∠AP3D＝90°时，以AD为直径作⊙O1，
则⊙O1的半径，
圆心O1到y轴的距离d＝4．
∵d＞r，
∴⊙O1与y轴相离．
不存在点P3，使∠AP3D＝90°．
∴综上所述，当点P（0，2）或（0，﹣6）时，存在以P、A、D为顶点的直角三角形．
【点评】本题考查函数基本性质，三角形相似的性质，掌握辅助线的作法，分类讨论思想是解题的关键
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【备考2026】四川省资阳市中考仿真数学试卷3
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
题号 一 二 三 总分
得分
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）若|a﹣b|＝b﹣a，那么a与b的关系是（ ）
A．a＞b B．a＜b C．a≤b D．a≥b
2．（4分）如图是一个正方体的表面展开图，在正方形A、B、C内分别填入适当的数a，b，c，使其折叠成正方体后，相对面上的两个数互为倒数，则a﹣2b+3c═（ ）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
3．（4分）下列计算中正确的是（ ）
A．（x2）2＝x5 B．x3﹣x2＝x
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．﹣x2 x＝﹣x3
4．（4分）在2023年江门市体育中考中，某校九年级毕业生的成绩统计如下：
成绩（分） 60 59 58 57 56 55
得分人数（人） 9 4 2 1 1 1
那么该校九年级毕业生体育中考成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．58，59 B．58.5，60 C．59，60 D．59.5，60
5．（4分）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示的位置放置，若∠AEG＝26°，则∠HFD为（ ）
A．26° B．36° C．41° D．52°
6．（4分）在如图所示的数轴上，表示数的点应在（ ）
A．A，O之间 B．O，B之间 C．B，C之间 D．C，D之间
7．（4分）甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，请你选出正确的作图是（ ）
问题：某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，现要在道路AB边上建一个休息点M，使它到AC和BC两边的距离相等，在图中确定休息点M的位置
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（4分）如图，已知正方形ABCD的周长为20，AE＝1，CF＝4，若M为对角线AC上一动点，则EM+FM的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．（4分）如图，在扇形MON中，∠MON＝105°，半径OM＝6，将扇形MON沿直线PN折叠，点O恰好落在MN上的点Q处，折痕交OM于点P，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞n时，x的取值范围是m﹣3＜x＜1﹣m．下列结论：
①对称轴是直线x＝﹣1；
②a＞0；
③二次函数的图象经过点P（3，y1），Q（x2，y2），若y2＜y1，则x2＞3；
④y有最大值c﹣a．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）据报道，2023年我国新能源汽车发展优势不断巩固和扩大，一季度全国新能源汽车销量为159万辆，同比增长27%，将1590000用科学记数法表示为 ．
12．（4分）若某公司的地板由三种边长相等的正多边形铺设，一个顶点处每种正多边形只用一个，设这三种正多边形的边数分别是x、y、z，则的值为 ．
13．（4分）在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率为 ．
14．（4分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣12＝0有一个根是x＝3，则m的值为 ．
15．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝70°，过点A的切线与CO的延长线交于点D，则∠D＝ ．
16．（4分）已知甲、乙两地相距90km，A，B两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A骑摩托车，B骑电动车，图中DE，OC分别表示A，B两人离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的关系图象．则两人相遇时，是在B出发后 小时．
三．解答题（共8小题，满分86分）
17．（9分）当a＝﹣2，b＝﹣1时，求代数式的值．
18．（10分）为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，绘制了如图所示的两幅尚不完整的统计图．（其中A表示“90＜x≤100”；B表示“80＜x≤90”；C表示“70＜x≤80”；D表示“x≤70”）．
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，扇形统计图中m＝ ．
（2）请补全条形统计图．
（3）在一次交流活动中，老师决定从成绩为B的4名学生中随机选取2名学生来进行采访，已知这4名学生中只有1名男同学，请用画树状图或列表的方法求选取到2名同学中刚好有这位男同学的概率．
19．（10分）自3月以来，受多重因素影响，上海疫情形势严峻．疫情无情人有情，某单位工会号召广大职工积极开展“献爱心捐款”活动，并拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品送往上海．如果购买A种物品600件，B种物品450件，共需3600元；如果购买A种物品450件，B种物品300件，共需2550元．
（1）求A、B两种防疫物品每件各多少元；
（2）现要购买A、B两种防疫物品共2000件，总费用不超过7000元，那么A种防疫物品最少购买多少件？
20．（10分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）测量OB与OD、∠BOA与∠DOA，你有何猜想？证明你的猜想．
21．（11分）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，如图所示建立平面直角坐标系，直线y＝kx+b经过格点A、B，与函数y（x＞0）的图象交于格点C（2，a）．
（1）求直线AB对应的函数关系式和m的值．
（2）在图中画出函数 的图象．
（3）当一次函数的值大于函数 0）的值时，根据图象，直接写出x的取值范围．
22．（11分）如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点．D在A的正北方向，C在D的北偏东75°方向，B在A的正东方向，且在C的南偏西15°方向，在D的南偏东30°方向，B、D相距10千米（参考数据：，，）．
（1）求BC的长度（结果保留小数点后一位）；
（2）甲、乙两人从景点A出发去景点C，甲选择的线路为：A﹣D﹣C，乙选择的线路为：A﹣B﹣C，请通过计算说明谁选择的线路较近？
23．（12分）在等腰三角形AOB中，OA＝OB，点C是底边AB的中点，过点C作CD⊥OB，交直线OB于点D，过点D作DE⊥OA，交直线OA于点E，直线DE，OC交于点F，过点C作CG⊥DE，交直线DE于点G．
（1）观察猜想
如图，用等式表示线段CG，OE，OD的数量关系，并证明你的结论．
（2）类比探究
等腰三角形的一个内角为30°，OD＝4，直接写出线段CG的长度．
（3）拓展应用
∠AOB≠90°时，若，请直接写出的值．
24．（13分）已知：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+3（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x＝﹣2．
（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若点P（0，t）是y轴上的一个动点，请进行如下探究．
探究一：如图1，设△PAD的面积为S，令W＝t S，当0＜t＜4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；
探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的直角三角形，如果存在，请直接写出点P的坐标，如果不存在请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．【考点】绝对值
【分析】根据绝对值的性质解答即可．
解：∵|a﹣b|＝b﹣a，
∴a﹣b≤0，
∴a≤b，
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值，熟知：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．
2．【考点】专题：正方体相对两个面上的文字
【分析】根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”判断相对的面，再根据互为倒数的定义进行计算即可．
解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
1与a相对，2与b相对，﹣3与c相对，
又∵相对面上的两个数互为倒数，
∴a＝1，b，c，
∴a﹣2b+3c＝1﹣23×（）＝1﹣1﹣1＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键．
3．【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方
【分析】根据幂的乘方计算，完全平方公式，同底数幂乘法计算和合并同类项，逐项分析判断即可．
解：A、（x2）2＝x4，原式计算错误，不符合题意；
B、x3与x2不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，原式计算错误，不符合题意；
D、﹣x2 x＝﹣x3，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了幂的乘方计算，完全平方公式，同底数幂乘法计算和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
4．【考点】众数；中位数
【分析】根据众数、中位数的定义进行计算即可．
解：共有9+4+2+1+1+1＝18（人），60分出现的次数最多，众数为60，
第9和10两个数的平均数为59.5，故中位数为59.5，
故选：D．
【点评】本题考查了众数、中位数，掌握它们的计算方法是解题的关键．
5．【考点】平行线的性质；三角形内角和定理
【分析】结合已知条件易求得∠AEF的度数，再利用平行线性质求得∠EFD的度数，然后利用三角形内角和定理求得∠EFH的度数，最后利用角的和差即可求得答案．
解：∵∠AEG＝26°，∠GEF＝45°，
∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝26°+45°＝71°，
∵AB∥CD，
∴∠EFD＝∠AEF＝71°，
∵∠FEH＝90°，∠H＝60°，
∴∠EFH＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴∠HFD＝∠EFD﹣∠EFH＝71°﹣30°＝41°，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理及平行线的性质，结合图形及已知条件得出角的和差关系是解题的关键．
6．【考点】估算无理数的大小；实数与数轴
【分析】先估算出在哪两个连续整数之间，然后可得3在哪两个连续整数之间，最后结合数轴即可求得答案．
解：∵4＜7＜9，
∴23，
∴0＜31，
则表示数3的点应在O，B之间，
故选：B．
【点评】本题考查实数与数轴及无理数的估算，结合已知条件估算出在哪两个连续整数之间是解题的关键．
7．【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【分析】根据角平分线的性质可判断点M为∠ACB的平分线与AB的交点，然后根据基本作图进行判断．
解：∵M点到AC和BC两边的距离相等，
∴点M为∠ACB的平分线与AB的交点，
∴丙同学的作图正确．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
8．【考点】轴对称﹣最短路线问题；正方形的性质
【分析】作点E关于AC的对称点E′，连接E′F，交AC于M，此时EM+FM最小，最小值是E′F的长，进一步得出jguo．
解：如图，
作点E关于AC的对称点E′，连接E′F，交AC于M，此时EM+FM最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠BAD＝∠D＝90°，AB∥CD，点E′在AB上，AE′＝AE＝1，
∴DF＝CD﹣CF＝1，
∴AE′＝DF，
∴四边形AE′FD是 平行四边形，
∴E′F＝AD＝5，
∴EM+FM＝E′M+FM＝E′F＝5，
故选A．
【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．
9．【考点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定与性质；垂径定理
【分析】连接OQ，根据折叠可知PN⊥OQ，QE＝OE＝3，∠QNE＝∠ONE，ON＝NQ＝6，进而可得△QON是等边三角形，则∠POQ＝45°，进而求得△POQ的面积，根据阴影部分面积＝S扇形MOQ﹣S△POQ求解即可．
解：连接OQ，交PN于E，
由条件可知PN⊥OQ，QE＝OE＝3，∠QNE＝∠ONE，ON＝NQ＝6，
∴∠NEO＝90°，△QON是等边三角形，
∴∠QON＝∠QNO＝60°，
∵∠MON＝105°，
∴∠POQ＝∠MON﹣∠QON＝45°，
∵∠OEP＝90°，
∴PE＝OE＝3，
∴阴影部分的面积
＝S扇形MOQ﹣S△POQ
．
故选：D．
【点评】此题主要考查三角形的折叠问题、等边三角形的判定与性质、扇形面积以及特殊角三角函数值的运用，掌握以上知识是解题的关键．
10．【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值
【分析】由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，即可判断①②；根据二次函数的性质即可判断③；由抛物线的顶点坐标以及a与b的关系即可判断④．
解：∵当y＞n时，x的取值范围是m﹣3＜x＜1﹣m．
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x1，
∴a＜0，故①正确，②错误；
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴点P（3，y1）的对称点为（﹣5，y1），
∵二次函数的图象经过点P（3，y1），Q（x2，y2），且y2＜y1，
∴x2＞3或x2＜﹣5；故③错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴函数的最大值为y＝a﹣b+c，
∵1，
∴b＝2a，
∴y有最大值c﹣a，故④正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质及图象上点的坐标的特征，有一定难度，对于程度一般的学生可能没有思路，无从下手．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．【考点】科学记数法—表示较大的数
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
解：1590000＝1.59×106．
故答案为：1.59×106．
【点评】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
12．【考点】平面镶嵌（密铺）
【分析】这三种正多边形一个顶点处三个内角的度数之和正好等于360°．
解：由题意可知：360°，
∴1112，
∴．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了平面镶嵌，解决本题的关键是理解多个多边形镶嵌的条件是：一个顶点处的内角和等于一个周角．
13．【考点】概率公式
【分析】由一个不透明的布袋里装有7个球，其中2个红球，5个白球，它们除颜色外其余都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案，熟练掌握其概率公式是解决此题的关键．
解：从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率，
14．【考点】一元二次方程的解
【分析】根据一元二次方程的根的定义把方程根代入，得到关于m的方程，解方程即可得到m的值．
解：∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣12＝0的一个根是x＝3，
∴32+3m﹣12＝0，
∴m＝1，
故答案为：1．
【点评】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题的关键．
15．【考点】切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【分析】连接OA，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠B＝140°，根据切线的性质得到∠OAD＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
解：连接OA，
∵∠ABC＝70°，
∴∠AOC＝2∠B＝140°，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠OAD＝90°，
∴∠D＝∠AOC﹣∠OAD＝140°﹣90°＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
16．【考点】一次函数的应用
【分析】根据函数图象中的数据，可以得到A和B的速度，然后设两人相遇时，是在B出发后m小时，即可得到方程20m＝45（m﹣1），再求解即可．
解：由图象可得，
A的速度为：90÷（3﹣1）＝45（km/h），
B的速度为：60÷3＝20（km/h），
设两人相遇时，是在B出发后m小时，
由题意可得：20m＝45（m﹣1），
解得m＝1.8，
即两人相遇时，是在B出发后1.8小时，
故答案为：1.8．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
三．解答题（共8小题，满分86分）
17．【考点】分式的化简求值
【分析】把a，b的值代入计算即可．
解：当a＝﹣2，b＝﹣1时，
＝（﹣2）2+（﹣2）
＝4﹣2
．
【点评】本题考查求代数式的值，解题的关键是能准确的计算．
18．【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图
【分析】（1）由C的人数除以所占百分比得出本次调查一共随机抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）求出D的人数，补全条形统计图即可；
（3）画树状图，共有12种等可能结果，其中选取到2名同学中刚好有这位男同学的结果有6种，再由概率公式求解即可．
解：（1）本次调查一共随机抽取的学生人数为：30÷50%＝60（名），
∴m%＝15÷60×100%＝25%，
∴m＝25，
故答案为：60，25；
（2）D的人数为：60﹣15﹣4﹣30＝11（名），
补全条形统计图如下：
（3）画树状图如下：
共有12种等可能结果，其中选取到2名同学中刚好有这位男同学的结果有6种，
∴选取到2名同学中刚好有这位男同学的概率为．
【点评】此题考查了用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用
【分析】（1）设A种每件x元，B种每件y元，依据题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可；
（2）根据总价＝单价×数量，列出一元一次不等式，解之取最小值即可．
解：设A种每件x元，B种每件y元，
依题意得：，
解得：，
答：A种每件3元，B种每件4元．
（2）设A种买了m件，则B种买了（2000﹣m）件，
由题意得：3m+4（2000﹣m）≤7000，
解得：m≥1000，
∴最少购买A种1000件．
答：A种防疫物品最少购买1000件．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，找准各数量之间的关系是解题关键．
20．【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】（1）根据SSS即可得出结论；
（2）由△ABC≌△ADC，得出∠BAC＝∠DAC，进而根据SAS判断出△ABO≌△ADO，即可得出结论．
（1）证明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
（2）解：OB＝OD，∠BOA＝∠DOA，
证明：由（1）知，△ABC≌△ADC，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABO和△ADO中，
，
∴△ABO≌△ADO（SAS），
∴OB＝OD，∠BOA＝∠DOA．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，“筝形”的面积求法，判断出△ABC≌△ADC是解本题的关键．
21．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）用待定系数法求出直线AB对应的函数关系式，再求出a的值得到C点坐标，将C点坐标代入函数y即可求出m的值；
（2）根据解析式画出函数图象即可；
（3）根据图象找出一次函数位于反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可．
解：（1）由图知点A坐标为（0，3），点B的坐标为（6，0），
∵一次函数y＝kx+b经过A、B两点，
∴，解得：，
∴一次函数解析式为：yx+3，
∵yx+3经过点C （2，a），
∴a＝﹣1+3＝2，
∴点C坐标为（2，2），
∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点C（2，2），
∴m＝2×2＝4；
（2）反比例函数y（x＞0）的图象如图：
（3）根据图象可知，当2＜x＜4时，一次函数位于反比例函数图象上方，
即一次函数的值大于函数 0）的值时，x的取值范围是2＜x＜4．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，反比例函数的图象，以及数形结合思想，综合性较强．求出函数解析式是解题的关键．
22．【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】（1）过点C作CE⊥BD于点E，则∠BEC＝∠CED＝90°，先求出ABBD＝5千米，∠ABD＝60°，∠EBC＝45°，得出△BEC是等腰直角三角形，则BE＝CE，BCBE，设BE＝CE＝x千米，则DE＝（10﹣x）千米，再求出∠DCE＝15°，构造含15°角的直角三角形，求出tan15°＝0.27，然后由tan∠DCE0.27，求出BE＝CE≈7.87千米，即可得出结果；
（2）先由锐角三角函数的定义求出AD＝8.65千米，再由勾股定理求出CD≈8.15千米，然后求出甲选择的线路长、乙选择的线路长，即可得出结果．
解：（1）如图1，过点C作CE⊥BD于点E，
则∠BEC＝∠CED＝90°，
由题意得：∠ABC＝90°+15°＝105°，∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，BD＝10千米，
∴ABBD10＝5（千米），∠ABD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABD＝105°﹣60°＝45°，
∴△BEC是等腰直角三角形，
∴BE＝CE，BCBE，
设BE＝CE＝x千米，则DE＝（10﹣x）千米，
∵∠CDE＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴∠DCE＝90°﹣75°＝15°，
如图2，△QFH是直角三角形，∠F＝90°，∠FQH＝30°，延长FQ至点G，使GQ＝QH，连接GH，
则∠FGH＝∠QHG＝15°，
设HF＝a，则GQ＝QH＝2a，FQa，
∴FG＝GQ+FQ＝（2）a，
∴tanG＝tan15°22﹣1.73＝0.27，
∴tan∠DCE0.27，
解得：x≈7.87，
∴BE＝CE≈7.87千米，
∴BC7.87≈1.41×7.87≈11.1（千米），
答：BC的长度约为11.1千米；
（2）在Rt△ABD中，tan∠ABD，
∴AD＝AB tan60°＝55×1.73＝8.65（千米），
DE＝10﹣7.87＝2.13（千米），
在Rt△CED中，由勾股定理得：CD8.15（千米），
甲选择的线路长为：AD+DC＝8.65+8.15＝16.8（千米），
乙选择的线路长为：AB+BC＝5+11.1＝16.1（千米），
∵16.1＜16.8，
∴乙选择的线路较近．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题等知识，构建直角三角形，熟练掌握锐角三角形函数的定义是解题的关键．
23．【考点】相似形综合题
【分析】（1）过点C作CP⊥OA于点P，利用角平分线的性质金额全等三角形的判定与性质得到OP＝OD，利用矩形的判定与性质得到PE＝CG，利用等式的性质解答即可得出结论；
（2）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当等腰三角形的顶角为30°时，过点C作CP⊥OA于点P，利用（1）的结论得到CG＝OD﹣OE，利用含30°角的直角三角形的性质解答即可得出结论；②当等腰三角形的底角为30°时，过点C作CP⊥OA于点P，类比（1）的解法得到CG＝OD+OE，利用含30°角的直角三角形的性质求得OE，则结论可求；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当∠AOB为锐角时，过点C作CP⊥OA于点P，由（1）知：OP＝OD，OD＝CG+OE，CG＝PE，利用相似三角形的判定与性质得到4，则CG＝4OE，OD＝CG+OE＝5OE，则DE2OE，再利用相似三角形的判定与性质解答即可；②当∠AOB为钝角时，过点C作CP⊥OA于点P，类比①的方法解答即可得出结论．
解：（1）线段CG，OE，OD的数量关系为：OD＝CG+OE．
过点C作CP⊥OA于点P，如图，
∵OA＝OB，C为AB中点，
∴OC平分∠AOB，
∵CD⊥OB，CP⊥OA，
∴CP＝CD，
在Rt△POC和Rt△DOC中，
，
∴Rt△POC≌Rt△DOC（HL），
∴OP＝OD，
∵DE⊥OA，CG⊥DE，CP⊥OA，
∴∠CPE＝∠PEG＝∠CGE＝90°，
∴四边形CPEG是矩形，
∴PE＝CG，
∵OP＝PE+OE＝CG+OE，
∴OD＝CG+OE；
（2）①当等腰三角形的顶角为30°时，过点C作CP⊥OA于点P，如图，
由（1）知：OP＝OD，OD＝CG+OE，
∴CG＝OD﹣OE．
∵∠AOB＝30°，DE⊥OA，
∴DEOD＝2，
∴OE2，
∴CG＝4﹣2；
②当等腰三角形的底角为30°时，过点C作CP⊥OA于点P，如图，
则∠A＝∠C＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠DOE＝60°，
∵DE⊥OA，
∴∠ODE＝30°，
∴OEOD＝2．
∵OA＝OB，C为AB中点，
∴OC平分∠AOB，
∵CD⊥OB，CP⊥OA，
∴CP＝CD，
在Rt△POC和Rt△DOC中，
，
∴Rt△POC≌Rt△DOC（HL），
∴OP＝OD，
∵DE⊥OA，CG⊥DE，CP⊥OA，
∴∠CPE＝∠PEG＝∠CGE＝90°，
∴四边形CPEG是矩形，
∴PE＝CG，
∵OP＝PE﹣OE＝CG﹣OE，
∴CG＝OD+OE＝4+2＝6．
综上，或6；
（3）①当∠AOB为锐角时，过点C作CP⊥OA于点P，如图，
由（1）知：OP＝OD，OD＝CG+OE，CG＝PE，
∵CG⊥DE，DE⊥OA，
∴CG∥OA，
∴△CGF∽△OEF，
∴4，
∴CG＝4OE，
∴CG＝PE＝4OE，
∴OD＝CG+OE＝5OE，
∴DE2OE，
∵CD⊥OB，
∴∠CDG+ODE＝90°，
∵DE⊥OA，
∴∠ODE+∠DOE＝90°，
∴∠CDG＝∠DOE，
∵∠CGD＝∠OED＝90°，
∴△CDG∽△DOE，
∴，
∴．
②当∠AOB为钝角时，过点C作CP⊥OA于点P，如图，
由（2）②可知：OP＝OD，CG＝OD+OE，
∵CG⊥DE，DE⊥OA，
∴CG∥OE，
∴△FOE∽△FCG，
∴，
∴CG＝4OE，
∴OD＝CG﹣OE＝3OE，
∴DE2OE，
∵CD⊥OB，
∴∠CDG+ODE＝90°，
∵DE⊥OA，
∴∠ODE+∠DOE＝90°，
∴∠CDG＝∠DOE，
∵∠CGD＝∠OED＝90°，
∴△CDG∽△DOE，
∴，
∴．
综上，的值为或．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，矩形的判定与性质，分类讨论的思想方法，利用类比的方法解答是解题的关键．
24．【考点】二次函数综合题
【分析】（1）由抛物线的对称轴求出a，就得到抛物线的表达式了；
（2）探究一，由抛物线表达式找出A，B，C三点的坐标，作DM⊥y轴于M，再由面积关系：SPAD＝S梯形OADM﹣SAOP﹣SDMP得到t的表达式，从而W用t表示出来，转化为求最值问题．
探究二，运用分类讨论思想，可以分三种情况：①当∠P1DA＝90°时，②当∠P2AD＝90°时，③当AP3D＝90°时，分别求出点P的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣x+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，
∴，
∴，
∴，
∴D（﹣2，4）；
（2）探究一：当0＜t＜4时，W有最大值．
∵抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，
∴A（﹣6，0），B（2，0），C（0，3），
∴OA＝6，OC＝3，
当0＜t＜4时，作DM⊥y轴于点M，
则DM＝2，OM＝4．
∵P（0，t），
∴OP＝t，MP＝OM﹣OP＝4﹣t．
∵S△PAD＝S梯形OADM﹣S三角形AOP﹣S三角形DMP
＝12﹣2t，
∴W＝t（12﹣2t）＝﹣2（t﹣3）2+18
∴当t＝3时，W有最大值，W最大值＝18；
探究二：
存在．分三种情况：
①当∠P1DA＝90°时，作DE⊥x轴于E，
则OE＝2，DE＝4，∠DEA＝90°，
∴AE＝OA﹣OE＝6﹣2＝4＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE＝45°，，
∴∠P1DE＝∠P1DA﹣∠ADE＝90°﹣45°＝45°，
∵DM⊥y轴，OA⊥y轴，
∴DM∥OA，
∴∠MDE＝∠DEA＝90°，
∴∠MDP1＝∠MDE﹣∠P1DE＝90°﹣45°＝45°，
∴P1M＝DM＝2，，
此时，
因为∠AOC＝∠P1DA＝90°，
∴Rt△ADP1∽Rt△AOC，
∴OP1＝OM﹣P1M＝4﹣2＝2，
∴P1（0，2）．
∴当∠P1DA＝90°时，P1点的坐标为（0，2）；
②当∠P2AD＝90°时，
则∠P2AO＝45°，
∴△P2AO为等腰直角三角形，
∵OA＝6，
∴OP＝6，
∴点P的坐标为（0，﹣6）；
③当∠AP3D＝90°时，以AD为直径作⊙O1，
则⊙O1的半径，
圆心O1到y轴的距离d＝4．
∵d＞r，
∴⊙O1与y轴相离．
不存在点P3，使∠AP3D＝90°．
∴综上所述，当点P（0，2）或（0，﹣6）时，存在以P、A、D为顶点的直角三角形．
【点评】本题考查函数基本性质，三角形相似的性质，掌握辅助线的作法，分类讨论思想是解题的关键
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