【备考2026】天津市中考仿真数学试卷1（含解新）
文档属性
| 名称 | 【备考2026】天津市中考仿真数学试卷1（含解新） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-22 15:13:13 | ||
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文档简介
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【备考2026】天津市中考仿真数学试卷1
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
题号 一 二 三 总分
得分
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）计算的结果是（ ）
A．12 B．﹣12 C． D．
2．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）已知，a、b是两个连续的整数，a+b＝（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
4．（3分）以下图标是“慈溪文旅”的部分宣传图，其中图标是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）2024年一汽红旗长春马拉松于9月1日举行，本届赛事吸引了全球31个国家和地区的约101900名选手报名参赛，报名人数创历届新高，其中101900用科学记数法表示为（ ）
A．10.19×104 B．1.019×105
C．1.019×106 D．0.1019×106
6．（3分）计算：（ ）
A．1 B． C． D．
7．（3分）点（﹣1，2）和点（2，a）在反比例函数的图象上，则a的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
8．（3分）中国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：用一根绳子去量一根木头，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？若设木头长为x尺，则所列方程正确的是（ ）
A．（x+4.5）﹣2x＝1 B．2x﹣（x+4.5）＝1
C． D．
9．（3分）化简的结果为（ ）
A．﹣1 B．0 C．±1 D．1
10．（3分）阅读下列作图步骤：①在OA和OB边上分别截取OC，OD，使OC＝OD；②分别以点C和点D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P；③作射线OP，连接CP，DP．根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A．∠1＝∠2且CP＝DP B．∠1＝∠3且CP＝DP
C．∠1＝∠2且OD＝DP D．∠2＝∠3且OD＝DP
11．（3分）如图，将△AOB绕点O逆时针旋转60°后得到△COD，若∠AOB＝20°，则∠AOD的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
12．（3分）四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm，BC＝16cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts．当t＝2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：
①当t＝6s时，CN＝DM；
②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为28cm2；
③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）超市举办某饮料促销活动，在一箱该饮料（24瓶）中有4瓶的瓶盖内印有“奖”字，小明买了一箱这种饮料，他打开一瓶饮料中奖的概率是 ．
14．（3分）计算：3a﹣7a＝ ．
15．（3分） ．
16．（3分）已知一次函数，将其图象绕y轴上的点P（0，a）旋转180°，所得的图象经过（0，﹣3），则a的值为 ．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E为对角线BD上一点，连接AE过点E作EF⊥AE交BC于点F．连接AF交BE于点O，若AB＝AE，则线段AF与BD的位置关系为 ；BF的长为 ．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C均为格点，⊙O为△ABC的外接圆．
（I）⊙O的直径长为 ；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P和点Q，使得点P为的中点；使得点Q在线段AB上，且∠CQB＝45°．
简要说明点P，点Q的位置是如何找到的（不要求证明） ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）解不等式组可按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为： ．
20．（8分）九年级研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次抽取参与问卷的学生人数为 ，图①中m的值为 ；
（Ⅱ）求统计的这组一个月阅读课外书数量数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）全校共有学生1400名，根据样本数据，估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少？
21．（10分）如图，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AM，C是半圆AB上一点（不与点A、B重合），连结AC，过点C作CD⊥AB于点E，连接BD并延长交AM于点F．
（1）求证：∠CAB＝∠AFB；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求DF的长．
22．（10分）如图，某校为检测师生体温，在校门口安装一台测量体温的红外线测温仪．已知测温仪A距地面2.74m，为了了解测温仪的有效测温区间，陈师傅做了如下实验：当他走到F处时，测温仪开始显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为24°；当他走到E处时，测温仪停止显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为45°．若CF＝1.75m，求有效测温区间EF的长度．（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
23．（10分）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格16元/元．设一次购买量为x千克，付款金额为y元．
（1）分别求出购买玉米种子数量不超过5千克和超过5千克时，y关于x的函数解析式；
（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？
24．（10分）综合与实践
【问题呈现】
小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△ABC中，AB＝3，点M、N分别在边AC、BC上，且AM＝CN，试探究线段MN长度的最小值．
【问题分析】
小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】
如图②，过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：AM＝MP；
（2）求∠CAP的大小，并求出线段MN长度的最小值．
【方法应用】
某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB＝AC＝CD＝2米，∠ACB＝30°．MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM＝DN．钢丝绳MN长度的最小值为多少米．
25．（10分）如图1，抛物线：y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．且点A的坐标为（﹣1，0），点E为抛物线上一点，且横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式及点D坐标；
（2）连接CD，当∠CDE＝90°时，求点E坐标；
（3）如图2，过点E作EH⊥x轴交于点H，以EH，HA为边作矩形EFAH，若边EF交y轴于点G，
①当AH＝2CG时，求点m的值；
②当四边形EFAH为正方形时，连接OE，将线段OE绕着点O顺时针旋转90°得到OE′，直接写出点E′的坐标．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．【考点】有理数的除法
【分析】根据有理数除法的运算法则进行计算即可得出答案．
解：原式＝3×（﹣4）＝﹣12．
故选：B．
【点评】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是熟练掌握有理数除法的运算法则．
2．【考点】简单组合体的三视图
【分析】根据三视图中主视图的定义得出结论即可，主视图的定义：在正面内得到的由前向后观察几何体的视图，叫做主视图．
解：从正面看，可得选项B的图形，
故选：B．
【点评】本题主要考查了主视图，解决问题的关键是熟练掌握主视图的定义．
3．【考点】估算无理数的大小
【分析】先估算的取值范围，再计算即可．
解：∵，
∴，
∵知，a、b是两个连续的整数，
∴a＝5，b＝6，
∴a+b＝5+6＝11，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，正确计算是解题的关键．
4．【考点】轴对称图形
【分析】直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C、能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
D、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，解题关键是掌握轴对称图形的概念．
5．【考点】科学记数法—表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：101900＝1.019×105．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【分析】根据45°角的正切值即可求解．
解：，
即，
故选：C．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角三角函数值是关键．
7．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】根据反比例函数的系数k＝xy，得出k＝﹣1×2＝2a，解得即可．
解：∵点（﹣1，2）和点（2，a）在反比例函数的图象上，
∴k＝﹣1×2＝2a，
解得a＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
8．【考点】由实际问题抽象出一元一次方程；数学常识
【分析】设木头长x尺，表示出绳长，根据将绳子对折再量木头，则木头还剩余一尺，可知木头比绳子的一半长一尺，即可列出方程．
解：设木头长x尺，则绳长（x+4.5）尺，
根据题意可得：．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找出等量关系列方程．
9．【考点】分式的加减法
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
解：原式
＝﹣1．
故选：A．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．【考点】作图—基本作图；角平分线的定义
【分析】由作图过程可得，CP＝DP，OP为∠AOB的平分线，可得∠1＝∠2，进而可得答案．
解：由作图过程可得，CP＝DP，OP为∠AOB的平分线，
∴∠1＝∠2，
∴一定可以推得的结论是∠1＝∠2且CP＝DP．
故选：A．
【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11．【考点】旋转的性质
【分析】由旋转的性质得出∠BOD＝60°，再结合∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB计算即可得解．
解：∵将△AOB绕点O逆时针旋转60°后得到△COD，∠AOB＝20°，
∴∠BOD＝60°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝60°﹣20°＝40°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键．
12．【考点】二次函数的最值；平行线之间的距离；一元二次方程的应用
【分析】当t＝6s时，点M在AD上，求出DM、CN，可判断①；当1≤t≤2时，点M在AB上，利用三角形面积公式求出△BMN的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在AB上时，点M在AD上，结合△BMN的面积为39cm2，列出方程，可判断③．
解：根据题意得：点M在AB上的运动时间为4s，点M在AD上的运动时间为5s，点N在CB上的运动时间为16s，
①当t＝6s时，点M在AD上，
此时AM＝2×6﹣8＝4cm，CN＝6cm，
∴DM＝AD﹣AM＝6cm，
∴CN＝DM，故①正确；
②当1≤t≤2时，点M在AB上，
此时BM＝2tcm，CN＝tcm，
∴BN＝（16﹣t）cm，
∴S△BMNt2+16t＝﹣（t﹣8）2+64，
∵﹣1＜0，
∴当t＜8时，S△BMN随t的增大而增大，
∴当t＝2时，S△BMN取得最大值，最大值为﹣（2﹣8）2+64＝28，
即当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为28cm2，故②正确；
③当点M在AB上时，
∵△BMN的面积为39cm2，
∴S△BMNt2+16t＝39，
解得：t1＝3，t2＝13（舍去），
∴当t＝3时，△BMN的面积为39cm2；
当点M在AD上时，
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，即AB⊥AD，
此时S△BMN，
解得t，
∴当t时，△BMN的面积为39cm2；
∴t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2，故③正确．
故选：D．
【点评】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．掌握二次函数的性质是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．【考点】概率公式
【分析】直接由概率公式求解即可．
解：∵在一箱该饮料（24瓶）中有4瓶的瓶盖内印有“奖”字，
∴小明买了一箱这种饮料，他打开一瓶饮料中奖的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键．
14．【考点】合并同类项
【分析】合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
解：3a﹣7a＝（3﹣7）a＝﹣4a．
故答案为：﹣4a．
【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
15．【考点】二次根式的混合运算；平方差公式
【分析】根据平方差公式计算即可．
解：
＝7﹣2
＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式的应用．
16．【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数的性质
【分析】根据题意得出旋转后的函数与y轴的交点，然后根据一次函数yx+5求得与y轴的交点坐标，结合点的坐标即可得出结论．
解：在一次函数yx+5中，令x＝0，则y＝5，
即一次函数yx+5与y轴交点为（0，5）．
∵旋转后所得的图象经过点 （0，﹣3），
∴旋转后的函数与y轴交点为（0，﹣3），
∵一次函数yx+5的图象，绕y轴上一点P（0，a）旋转180°，
∴（0，5）和（0，﹣3）关于点（0，a）对称，
∴a＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是求出旋转前后的函数与y轴的交点坐标．
17．【考点】矩形的性质
【分析】由“HL”可证Rt△ABF≌Rt△AEF，可得BF＝EF，由线段垂直平分线的判定可得AF⊥BD，由面积法可求AO的长，由锐角三角函数可求解．
解：∵AB＝3，AD＝4，
∴BD5，
在Rt△ABF和Rt△AEF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△AEF（HL），
∴BF＝EF，
又∵AB＝AE，
∴AF⊥BD，
∵S△ABDAB ADBD AO，
∴3×4＝5AO，
∴AO，
∴BO，
∵tan∠BAO，
∴，
∴BF，
故答案为：AF⊥BD，．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
18．【考点】作图—复杂作图；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【分析】（1）根据勾股定理分别求出AC，BC，AB的长，根据勾股定理的逆定理可得∠ACB＝90°，从而得到⊙O的直径为AB；
（2）分别取AC，AB与格线的交点E、O，连接OE并延长交圆于点P，则点P即为所求；取格点G、H，连接GH交AB于Q，连接CQ，则点Q即为所求．
解：（1）根据题意得：，，，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴⊙O的直径为AB，即⊙O的直径长为，
故答案为：；
（2）如图所示，分别取AC，AB与格线的交点E、O，连接OE并延长交圆于点P，则点P即为所求；根据网格的特点可得O、E分别是AB、AC的中点，则点O是圆心，由垂径定理可得点P为的中点；如图所示，取格点G、H，连接GH交AB于Q，连接CQ，则点Q即为所求；
可证明△AQG∽△BQH，则，则，，
过点C作CT⊥AB于T，由（1）可得，，
则，，则，
则CT＝QT，则有∠CQB＝45°．
故答案为：分别取AC，AB与格线的交点E、O，连接OE并延长交圆于点P，则点P即为所求；取格点G、H，连接GH交AB于Q，连接CQ，则点Q即为所求．
【点评】本题主要考查了垂径定理，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，90度的圆周角所对的弦是直径等等，熟知圆的相关知识是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，表示在数轴上，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集即可．
解：（Ⅰ）解不等式①，得x＜1；
故答案为：x＜1；
（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣1；
故答案为：x≥﹣1；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为：﹣1≤x＜1．
故答案为：﹣1≤x＜1．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
20．【考点】条形统计图；加权平均数；中位数；众数；用样本估计总体
【分析】（Ⅰ）共有学生数：15÷15%＝100（名），阅读课外书2本所占的百分比：100%＝41%；
（Ⅱ）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则x ＝1n（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；
（Ⅲ）估计这1500名学生一个月阅读2本课外书的人数约为：1400即可．
解：（Ⅰ）共有学生数：15÷15%＝100（名），
阅读课外书2本所占的百分比：100%＝41%，
故答案为：100，41；
（Ⅱ）∵2.54，
∴这组数据的平均数是2.54；
∵在这组数据中，2出现了41次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为2；
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，
有2，
∴这组数据的中位数为2；
（Ⅲ）估计这1400名学生一个月阅读2本课外书的人数约为：
1400574（人），
答：估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为574人．
【点评】本题考查了条形统计图，熟练掌握条形统计图是解题的关键．
21．【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【分析】（1）根据切线的性质，平行线的判定和性质以及圆周角定理即可得出结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质以及垂径定理进行计算即可．
（1）证明：∵AM是⊙O的切线，点A是切点，
∴AB⊥AM，
∵CD⊥AB，
∴CD∥AM，
∴∠BDC＝∠AFB，
∵∠CAB＝∠BDC，
∴∠CAB＝∠AFB；
（2）解：连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝2×5＝10，AC＝8，
∴BC6，
∵∠BAC＝∠AFB，∠ACB＝90°＝∠FAB，
∴△ABC∽△FBA，
∴，
即，
∴BF，
∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴，
∴BC＝BD＝6，
∴DF＝BF﹣BD．
【点评】本题考查切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，掌握切线的性质和判断方法，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理是正确解答的关键．
22．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】延长CB交AD于点G，则GD＝CF，根据锐角三角函数即可求解．
解：如图，延长CB交AD于点G，则GD＝CF．
∴AG＝AD﹣CF＝2.74﹣1.75＝0.99（m）．
在Rt△AGC中，（m），
在Rt△AGB中，（m），
∴BC＝CG﹣BG＝2.2﹣0.99＝1.21（m），
∴EF＝BC＝1.21（m）．
答：有效测温区间EF的长度约为1.21m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义．
23．【考点】一次函数的应用
【分析】（1）根据若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格16元/元，分别列出y关于x的函数解析式即可；
（2）将x＝30代入y＝16x+20计算即可．
解：（1）设一次购买量为x千克，付款金额为y元，
当一次购买不超过5千克时，y关于x的函数解析式为y＝20x（x≤5），
当一次购买超过5千克时，y关于x的函数解析式为y＝20×5+16×（x﹣5）＝16x+20（x＞5），
即y＝16x+20（x＞5）；
（2）当x＞5时，y＝16×30+20＝500，
即某农户一次购买玉米种子30千克，需付款500元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，正确列出一次函数关系式是解题的关键．
24．【考点】四边形综合题
【分析】（1）先证四边形CPMN是平行四边形得到MP＝NC＝AM；
（2）利用等腰三角形可得∠CAP＝∠MPA＝30°，再将MN转化成PC，PC⊥AP时有最小值，即可求解；
【方法应用】参考上述思路构造平行四边形，将MN转化成DP，再求得∠PAD＝45°，，即可求解．
（1）证明：∵CP∥MN，MP∥NC，
∴四边形CPMN是平行四边形，
∴MP＝NC，
又∵AM＝CN，
∴AM＝MP；
（2）解：∵在等边△ABC中，AB＝3，
∴AC＝AB＝3，
∵AM＝MP，
∴∠CAP＝∠MPA，
∵∠PMC＝∠ACB＝60°，
∴∠CAP＝∠MPA＝30°，
∵四边形CPMN是平行四边形，
∴MN＝PC，
当PC⊥AP最小时，线段MN也有最小值，
此时，
∴线段MN的最小值是；
【方法应用】解：如图，连接AD，过M、D作ED、MN的平行线，则四边形MNDP是平行四边形，
过点A作AG⊥DC交延长线于点G，
∴MN＝DP，MPND，MP＝DN，
∵AM＝DN，
∴MP＝AM＝DN，
∴∠PAM＝∠APM，
∵四边形BCDE是矩形，
∴BC∥DE，∠BCD＝90°，
∴MP∥BC，
∴∠PMC＝∠ACB，
∵∠ACB＝30°，
∴∠PMC＝∠ACB＝30°，
∵∠PMC＝∠PAM+∠APM，
∴∠PAM＝∠APM＝15°，
∴当DP⊥AP时，DP最小，此时MN＝DP最小，
∵∠ACD＝120°，AB＝AC＝CD＝2，
∴，∠ACM＝∠ACD﹣∠BCD＝30°，
∴∠PAD＝∠CAD+∠PAM＝45°，∠ACM＝∠DAC＝30°，
∴∠PAD＝∠PDA＝45°，AM＝CM，
∴AP＝DP，
∴△APD为等腰直角三角形，
∵∠ACB＝30°，∠BCD＝90°，
∴∠ACG＝60°，
在Rt△ACG中，AC＝2，
∴CG＝1，AG，
在Rt△ADG中，AD＝2，
在Rt△ADP中，DP＝AP．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、矩形的性质等内容，熟练掌握相关知识和理解题干给的方法是解题关键．
25．【考点】二次函数综合题
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再将解析式配方成顶点式得到点D坐标即可；
（2）先求出直线CD的解析式，利用∠CDE＝90°再求出直线DE解析式，最后联立方程组求出点E坐标即可；
（3）①根据题意建立方程|m+1|＝2|m2﹣2m|，解出m值即可；②根据题意建立方程|﹣m2+2m+3|＝|m+1|，求出m值得到点E坐标，再根据顺时针旋转90°特征得到E′坐标即可．
解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0）在抛物线y＝ax2﹣2ax+3图象上，
∴0＝a+2a+3，
∴a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）；
（2）如图，
由抛物线解析式y＝﹣x2+2x+3可知，点C（0，3），
设直线CD的解析式为y＝kx+3，将点D（1，4）坐标代入可得：
4＝k+3，解得k＝1，
∴直线CD的解析式为y＝x+3，
设直线DE的解析式为y＝mx+n，
∵∠CDE＝90°，
∴m＝﹣1，
∴DE的解析式为y＝﹣x+n，
将点D（1，4）坐标代入可得：4＝﹣1+n，
解得n＝5，
∴直线DE的解析式为y＝﹣x+5，
联立方程组得，
解得（舍去），，
∴E（2，3）；
（3）①∵E（m，﹣m2+2m+3），A（﹣1，0），C（0，3），
∴AH＝|m+1|，CG＝|3+m2﹣2m﹣3|，
∵AH＝2CG，
∴|m+1|＝2|m2﹣2m|，
∴2m2﹣4m＝m+1或2m2﹣4m＝﹣m﹣1，
∴2m2﹣5m﹣1＝0或2m2﹣3m+1＝0，
解得m或或m或1；
②∵E（m，m2+2m+3），H（m，0），A（﹣1，0），F（﹣1，﹣m2+2m+3），
∴EH＝|﹣m2+2m+3﹣0|＝|﹣m2+2m+3|，AH＝|m+1|，
∵四边形EFAH是正方形，
∴|﹣m2+2m+3|＝|m+1|，
当﹣m2+2m+3＝m+1时，
整理得m2﹣m﹣2＝0，
m＝2，m＝﹣1（舍去），
此时点E坐标为（2，3），
将线段OE绕着点O顺时针旋转90°得到OE′，
根据旋转特征可知E′（3，﹣2）；
当﹣m2+2m+3＝﹣m﹣1时，
整理得m2﹣3m﹣4＝0，
解得m＝4，m＝﹣1（舍去），
此时点E坐标为（4，﹣5），
将线段OE绕着点O顺时针旋转90°得到OE′，
根据旋转特征可知E′（﹣5，﹣4）；
综上分析，满足条件的点E′坐标为（3，﹣2）或（﹣5，﹣4）．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握解绝对值方程是关键
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【备考2026】天津市中考仿真数学试卷1
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
题号 一 二 三 总分
得分
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）计算的结果是（ ）
A．12 B．﹣12 C． D．
2．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）已知，a、b是两个连续的整数，a+b＝（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
4．（3分）以下图标是“慈溪文旅”的部分宣传图，其中图标是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）2024年一汽红旗长春马拉松于9月1日举行，本届赛事吸引了全球31个国家和地区的约101900名选手报名参赛，报名人数创历届新高，其中101900用科学记数法表示为（ ）
A．10.19×104 B．1.019×105
C．1.019×106 D．0.1019×106
6．（3分）计算：（ ）
A．1 B． C． D．
7．（3分）点（﹣1，2）和点（2，a）在反比例函数的图象上，则a的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
8．（3分）中国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：用一根绳子去量一根木头，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？若设木头长为x尺，则所列方程正确的是（ ）
A．（x+4.5）﹣2x＝1 B．2x﹣（x+4.5）＝1
C． D．
9．（3分）化简的结果为（ ）
A．﹣1 B．0 C．±1 D．1
10．（3分）阅读下列作图步骤：①在OA和OB边上分别截取OC，OD，使OC＝OD；②分别以点C和点D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P；③作射线OP，连接CP，DP．根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A．∠1＝∠2且CP＝DP B．∠1＝∠3且CP＝DP
C．∠1＝∠2且OD＝DP D．∠2＝∠3且OD＝DP
11．（3分）如图，将△AOB绕点O逆时针旋转60°后得到△COD，若∠AOB＝20°，则∠AOD的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
12．（3分）四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm，BC＝16cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts．当t＝2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：
①当t＝6s时，CN＝DM；
②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为28cm2；
③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）超市举办某饮料促销活动，在一箱该饮料（24瓶）中有4瓶的瓶盖内印有“奖”字，小明买了一箱这种饮料，他打开一瓶饮料中奖的概率是 ．
14．（3分）计算：3a﹣7a＝ ．
15．（3分） ．
16．（3分）已知一次函数，将其图象绕y轴上的点P（0，a）旋转180°，所得的图象经过（0，﹣3），则a的值为 ．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E为对角线BD上一点，连接AE过点E作EF⊥AE交BC于点F．连接AF交BE于点O，若AB＝AE，则线段AF与BD的位置关系为 ；BF的长为 ．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C均为格点，⊙O为△ABC的外接圆．
（I）⊙O的直径长为 ；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P和点Q，使得点P为的中点；使得点Q在线段AB上，且∠CQB＝45°．
简要说明点P，点Q的位置是如何找到的（不要求证明） ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）解不等式组可按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为： ．
20．（8分）九年级研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次抽取参与问卷的学生人数为 ，图①中m的值为 ；
（Ⅱ）求统计的这组一个月阅读课外书数量数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）全校共有学生1400名，根据样本数据，估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少？
21．（10分）如图，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AM，C是半圆AB上一点（不与点A、B重合），连结AC，过点C作CD⊥AB于点E，连接BD并延长交AM于点F．
（1）求证：∠CAB＝∠AFB；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求DF的长．
22．（10分）如图，某校为检测师生体温，在校门口安装一台测量体温的红外线测温仪．已知测温仪A距地面2.74m，为了了解测温仪的有效测温区间，陈师傅做了如下实验：当他走到F处时，测温仪开始显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为24°；当他走到E处时，测温仪停止显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为45°．若CF＝1.75m，求有效测温区间EF的长度．（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
23．（10分）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格16元/元．设一次购买量为x千克，付款金额为y元．
（1）分别求出购买玉米种子数量不超过5千克和超过5千克时，y关于x的函数解析式；
（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？
24．（10分）综合与实践
【问题呈现】
小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△ABC中，AB＝3，点M、N分别在边AC、BC上，且AM＝CN，试探究线段MN长度的最小值．
【问题分析】
小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】
如图②，过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：AM＝MP；
（2）求∠CAP的大小，并求出线段MN长度的最小值．
【方法应用】
某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB＝AC＝CD＝2米，∠ACB＝30°．MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM＝DN．钢丝绳MN长度的最小值为多少米．
25．（10分）如图1，抛物线：y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．且点A的坐标为（﹣1，0），点E为抛物线上一点，且横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式及点D坐标；
（2）连接CD，当∠CDE＝90°时，求点E坐标；
（3）如图2，过点E作EH⊥x轴交于点H，以EH，HA为边作矩形EFAH，若边EF交y轴于点G，
①当AH＝2CG时，求点m的值；
②当四边形EFAH为正方形时，连接OE，将线段OE绕着点O顺时针旋转90°得到OE′，直接写出点E′的坐标．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．【考点】有理数的除法
【分析】根据有理数除法的运算法则进行计算即可得出答案．
解：原式＝3×（﹣4）＝﹣12．
故选：B．
【点评】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是熟练掌握有理数除法的运算法则．
2．【考点】简单组合体的三视图
【分析】根据三视图中主视图的定义得出结论即可，主视图的定义：在正面内得到的由前向后观察几何体的视图，叫做主视图．
解：从正面看，可得选项B的图形，
故选：B．
【点评】本题主要考查了主视图，解决问题的关键是熟练掌握主视图的定义．
3．【考点】估算无理数的大小
【分析】先估算的取值范围，再计算即可．
解：∵，
∴，
∵知，a、b是两个连续的整数，
∴a＝5，b＝6，
∴a+b＝5+6＝11，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，正确计算是解题的关键．
4．【考点】轴对称图形
【分析】直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C、能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
D、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，解题关键是掌握轴对称图形的概念．
5．【考点】科学记数法—表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：101900＝1.019×105．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【分析】根据45°角的正切值即可求解．
解：，
即，
故选：C．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角三角函数值是关键．
7．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】根据反比例函数的系数k＝xy，得出k＝﹣1×2＝2a，解得即可．
解：∵点（﹣1，2）和点（2，a）在反比例函数的图象上，
∴k＝﹣1×2＝2a，
解得a＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
8．【考点】由实际问题抽象出一元一次方程；数学常识
【分析】设木头长x尺，表示出绳长，根据将绳子对折再量木头，则木头还剩余一尺，可知木头比绳子的一半长一尺，即可列出方程．
解：设木头长x尺，则绳长（x+4.5）尺，
根据题意可得：．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找出等量关系列方程．
9．【考点】分式的加减法
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
解：原式
＝﹣1．
故选：A．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．【考点】作图—基本作图；角平分线的定义
【分析】由作图过程可得，CP＝DP，OP为∠AOB的平分线，可得∠1＝∠2，进而可得答案．
解：由作图过程可得，CP＝DP，OP为∠AOB的平分线，
∴∠1＝∠2，
∴一定可以推得的结论是∠1＝∠2且CP＝DP．
故选：A．
【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11．【考点】旋转的性质
【分析】由旋转的性质得出∠BOD＝60°，再结合∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB计算即可得解．
解：∵将△AOB绕点O逆时针旋转60°后得到△COD，∠AOB＝20°，
∴∠BOD＝60°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝60°﹣20°＝40°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键．
12．【考点】二次函数的最值；平行线之间的距离；一元二次方程的应用
【分析】当t＝6s时，点M在AD上，求出DM、CN，可判断①；当1≤t≤2时，点M在AB上，利用三角形面积公式求出△BMN的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在AB上时，点M在AD上，结合△BMN的面积为39cm2，列出方程，可判断③．
解：根据题意得：点M在AB上的运动时间为4s，点M在AD上的运动时间为5s，点N在CB上的运动时间为16s，
①当t＝6s时，点M在AD上，
此时AM＝2×6﹣8＝4cm，CN＝6cm，
∴DM＝AD﹣AM＝6cm，
∴CN＝DM，故①正确；
②当1≤t≤2时，点M在AB上，
此时BM＝2tcm，CN＝tcm，
∴BN＝（16﹣t）cm，
∴S△BMNt2+16t＝﹣（t﹣8）2+64，
∵﹣1＜0，
∴当t＜8时，S△BMN随t的增大而增大，
∴当t＝2时，S△BMN取得最大值，最大值为﹣（2﹣8）2+64＝28，
即当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为28cm2，故②正确；
③当点M在AB上时，
∵△BMN的面积为39cm2，
∴S△BMNt2+16t＝39，
解得：t1＝3，t2＝13（舍去），
∴当t＝3时，△BMN的面积为39cm2；
当点M在AD上时，
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，即AB⊥AD，
此时S△BMN，
解得t，
∴当t时，△BMN的面积为39cm2；
∴t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2，故③正确．
故选：D．
【点评】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．掌握二次函数的性质是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．【考点】概率公式
【分析】直接由概率公式求解即可．
解：∵在一箱该饮料（24瓶）中有4瓶的瓶盖内印有“奖”字，
∴小明买了一箱这种饮料，他打开一瓶饮料中奖的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键．
14．【考点】合并同类项
【分析】合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
解：3a﹣7a＝（3﹣7）a＝﹣4a．
故答案为：﹣4a．
【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
15．【考点】二次根式的混合运算；平方差公式
【分析】根据平方差公式计算即可．
解：
＝7﹣2
＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式的应用．
16．【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数的性质
【分析】根据题意得出旋转后的函数与y轴的交点，然后根据一次函数yx+5求得与y轴的交点坐标，结合点的坐标即可得出结论．
解：在一次函数yx+5中，令x＝0，则y＝5，
即一次函数yx+5与y轴交点为（0，5）．
∵旋转后所得的图象经过点 （0，﹣3），
∴旋转后的函数与y轴交点为（0，﹣3），
∵一次函数yx+5的图象，绕y轴上一点P（0，a）旋转180°，
∴（0，5）和（0，﹣3）关于点（0，a）对称，
∴a＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是求出旋转前后的函数与y轴的交点坐标．
17．【考点】矩形的性质
【分析】由“HL”可证Rt△ABF≌Rt△AEF，可得BF＝EF，由线段垂直平分线的判定可得AF⊥BD，由面积法可求AO的长，由锐角三角函数可求解．
解：∵AB＝3，AD＝4，
∴BD5，
在Rt△ABF和Rt△AEF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△AEF（HL），
∴BF＝EF，
又∵AB＝AE，
∴AF⊥BD，
∵S△ABDAB ADBD AO，
∴3×4＝5AO，
∴AO，
∴BO，
∵tan∠BAO，
∴，
∴BF，
故答案为：AF⊥BD，．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
18．【考点】作图—复杂作图；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【分析】（1）根据勾股定理分别求出AC，BC，AB的长，根据勾股定理的逆定理可得∠ACB＝90°，从而得到⊙O的直径为AB；
（2）分别取AC，AB与格线的交点E、O，连接OE并延长交圆于点P，则点P即为所求；取格点G、H，连接GH交AB于Q，连接CQ，则点Q即为所求．
解：（1）根据题意得：，，，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴⊙O的直径为AB，即⊙O的直径长为，
故答案为：；
（2）如图所示，分别取AC，AB与格线的交点E、O，连接OE并延长交圆于点P，则点P即为所求；根据网格的特点可得O、E分别是AB、AC的中点，则点O是圆心，由垂径定理可得点P为的中点；如图所示，取格点G、H，连接GH交AB于Q，连接CQ，则点Q即为所求；
可证明△AQG∽△BQH，则，则，，
过点C作CT⊥AB于T，由（1）可得，，
则，，则，
则CT＝QT，则有∠CQB＝45°．
故答案为：分别取AC，AB与格线的交点E、O，连接OE并延长交圆于点P，则点P即为所求；取格点G、H，连接GH交AB于Q，连接CQ，则点Q即为所求．
【点评】本题主要考查了垂径定理，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，90度的圆周角所对的弦是直径等等，熟知圆的相关知识是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，表示在数轴上，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集即可．
解：（Ⅰ）解不等式①，得x＜1；
故答案为：x＜1；
（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣1；
故答案为：x≥﹣1；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为：﹣1≤x＜1．
故答案为：﹣1≤x＜1．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
20．【考点】条形统计图；加权平均数；中位数；众数；用样本估计总体
【分析】（Ⅰ）共有学生数：15÷15%＝100（名），阅读课外书2本所占的百分比：100%＝41%；
（Ⅱ）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则x ＝1n（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；
（Ⅲ）估计这1500名学生一个月阅读2本课外书的人数约为：1400即可．
解：（Ⅰ）共有学生数：15÷15%＝100（名），
阅读课外书2本所占的百分比：100%＝41%，
故答案为：100，41；
（Ⅱ）∵2.54，
∴这组数据的平均数是2.54；
∵在这组数据中，2出现了41次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为2；
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，
有2，
∴这组数据的中位数为2；
（Ⅲ）估计这1400名学生一个月阅读2本课外书的人数约为：
1400574（人），
答：估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为574人．
【点评】本题考查了条形统计图，熟练掌握条形统计图是解题的关键．
21．【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【分析】（1）根据切线的性质，平行线的判定和性质以及圆周角定理即可得出结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质以及垂径定理进行计算即可．
（1）证明：∵AM是⊙O的切线，点A是切点，
∴AB⊥AM，
∵CD⊥AB，
∴CD∥AM，
∴∠BDC＝∠AFB，
∵∠CAB＝∠BDC，
∴∠CAB＝∠AFB；
（2）解：连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝2×5＝10，AC＝8，
∴BC6，
∵∠BAC＝∠AFB，∠ACB＝90°＝∠FAB，
∴△ABC∽△FBA，
∴，
即，
∴BF，
∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴，
∴BC＝BD＝6，
∴DF＝BF﹣BD．
【点评】本题考查切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，掌握切线的性质和判断方法，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理是正确解答的关键．
22．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】延长CB交AD于点G，则GD＝CF，根据锐角三角函数即可求解．
解：如图，延长CB交AD于点G，则GD＝CF．
∴AG＝AD﹣CF＝2.74﹣1.75＝0.99（m）．
在Rt△AGC中，（m），
在Rt△AGB中，（m），
∴BC＝CG﹣BG＝2.2﹣0.99＝1.21（m），
∴EF＝BC＝1.21（m）．
答：有效测温区间EF的长度约为1.21m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义．
23．【考点】一次函数的应用
【分析】（1）根据若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格16元/元，分别列出y关于x的函数解析式即可；
（2）将x＝30代入y＝16x+20计算即可．
解：（1）设一次购买量为x千克，付款金额为y元，
当一次购买不超过5千克时，y关于x的函数解析式为y＝20x（x≤5），
当一次购买超过5千克时，y关于x的函数解析式为y＝20×5+16×（x﹣5）＝16x+20（x＞5），
即y＝16x+20（x＞5）；
（2）当x＞5时，y＝16×30+20＝500，
即某农户一次购买玉米种子30千克，需付款500元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，正确列出一次函数关系式是解题的关键．
24．【考点】四边形综合题
【分析】（1）先证四边形CPMN是平行四边形得到MP＝NC＝AM；
（2）利用等腰三角形可得∠CAP＝∠MPA＝30°，再将MN转化成PC，PC⊥AP时有最小值，即可求解；
【方法应用】参考上述思路构造平行四边形，将MN转化成DP，再求得∠PAD＝45°，，即可求解．
（1）证明：∵CP∥MN，MP∥NC，
∴四边形CPMN是平行四边形，
∴MP＝NC，
又∵AM＝CN，
∴AM＝MP；
（2）解：∵在等边△ABC中，AB＝3，
∴AC＝AB＝3，
∵AM＝MP，
∴∠CAP＝∠MPA，
∵∠PMC＝∠ACB＝60°，
∴∠CAP＝∠MPA＝30°，
∵四边形CPMN是平行四边形，
∴MN＝PC，
当PC⊥AP最小时，线段MN也有最小值，
此时，
∴线段MN的最小值是；
【方法应用】解：如图，连接AD，过M、D作ED、MN的平行线，则四边形MNDP是平行四边形，
过点A作AG⊥DC交延长线于点G，
∴MN＝DP，MPND，MP＝DN，
∵AM＝DN，
∴MP＝AM＝DN，
∴∠PAM＝∠APM，
∵四边形BCDE是矩形，
∴BC∥DE，∠BCD＝90°，
∴MP∥BC，
∴∠PMC＝∠ACB，
∵∠ACB＝30°，
∴∠PMC＝∠ACB＝30°，
∵∠PMC＝∠PAM+∠APM，
∴∠PAM＝∠APM＝15°，
∴当DP⊥AP时，DP最小，此时MN＝DP最小，
∵∠ACD＝120°，AB＝AC＝CD＝2，
∴，∠ACM＝∠ACD﹣∠BCD＝30°，
∴∠PAD＝∠CAD+∠PAM＝45°，∠ACM＝∠DAC＝30°，
∴∠PAD＝∠PDA＝45°，AM＝CM，
∴AP＝DP，
∴△APD为等腰直角三角形，
∵∠ACB＝30°，∠BCD＝90°，
∴∠ACG＝60°，
在Rt△ACG中，AC＝2，
∴CG＝1，AG，
在Rt△ADG中，AD＝2，
在Rt△ADP中，DP＝AP．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、矩形的性质等内容，熟练掌握相关知识和理解题干给的方法是解题关键．
25．【考点】二次函数综合题
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再将解析式配方成顶点式得到点D坐标即可；
（2）先求出直线CD的解析式，利用∠CDE＝90°再求出直线DE解析式，最后联立方程组求出点E坐标即可；
（3）①根据题意建立方程|m+1|＝2|m2﹣2m|，解出m值即可；②根据题意建立方程|﹣m2+2m+3|＝|m+1|，求出m值得到点E坐标，再根据顺时针旋转90°特征得到E′坐标即可．
解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0）在抛物线y＝ax2﹣2ax+3图象上，
∴0＝a+2a+3，
∴a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）；
（2）如图，
由抛物线解析式y＝﹣x2+2x+3可知，点C（0，3），
设直线CD的解析式为y＝kx+3，将点D（1，4）坐标代入可得：
4＝k+3，解得k＝1，
∴直线CD的解析式为y＝x+3，
设直线DE的解析式为y＝mx+n，
∵∠CDE＝90°，
∴m＝﹣1，
∴DE的解析式为y＝﹣x+n，
将点D（1，4）坐标代入可得：4＝﹣1+n，
解得n＝5，
∴直线DE的解析式为y＝﹣x+5，
联立方程组得，
解得（舍去），，
∴E（2，3）；
（3）①∵E（m，﹣m2+2m+3），A（﹣1，0），C（0，3），
∴AH＝|m+1|，CG＝|3+m2﹣2m﹣3|，
∵AH＝2CG，
∴|m+1|＝2|m2﹣2m|，
∴2m2﹣4m＝m+1或2m2﹣4m＝﹣m﹣1，
∴2m2﹣5m﹣1＝0或2m2﹣3m+1＝0，
解得m或或m或1；
②∵E（m，m2+2m+3），H（m，0），A（﹣1，0），F（﹣1，﹣m2+2m+3），
∴EH＝|﹣m2+2m+3﹣0|＝|﹣m2+2m+3|，AH＝|m+1|，
∵四边形EFAH是正方形，
∴|﹣m2+2m+3|＝|m+1|，
当﹣m2+2m+3＝m+1时，
整理得m2﹣m﹣2＝0，
m＝2，m＝﹣1（舍去），
此时点E坐标为（2，3），
将线段OE绕着点O顺时针旋转90°得到OE′，
根据旋转特征可知E′（3，﹣2）；
当﹣m2+2m+3＝﹣m﹣1时，
整理得m2﹣3m﹣4＝0，
解得m＝4，m＝﹣1（舍去），
此时点E坐标为（4，﹣5），
将线段OE绕着点O顺时针旋转90°得到OE′，
根据旋转特征可知E′（﹣5，﹣4）；
综上分析，满足条件的点E′坐标为（3，﹣2）或（﹣5，﹣4）．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握解绝对值方程是关键
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