北京师范大学第二附属中学西城实验学校2025-2026学年九年级上学期数学12月月考试题（扫描版，无答案）

北师大二附中西城实验学校
2025-2026 学年度第一学期初三年级 12 月月考数学试题
满分 100分 时间 100分钟 2025.12
班级 姓名
一、选择题（共 16分，每题 2 分）第 1 - 8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．中国瓷器，积淀了深厚的文化底蕴，是中国传统艺术文化的重要组成部分．瓷器上的图案
设计精美，极富变化．下面瓷器图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线 y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（2，1）
3．把二次函数 y＝3x2的图象向左平移 2个单位，再向上平移 1个单位，所得到的图象对应的
二次函数表达式是（ ）
A．y＝3（x﹣2）2+1 B．y＝3（x+2）2﹣1
C．y＝3（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1
4．如图，点 A，B，C在⊙O上，△OAB是等腰直角三角形，则∠ACB
的大小为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
5．下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．明年农历“大雪”节气那天下雪
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆
D．掷一枚正方体骰子，向上一面的点数是 7
6．根据下表得知估算一元二次方程 x2+2x﹣10＝0的一个根的范围是（ ）
x … ﹣4.1 ﹣4.2 ﹣4.3 ﹣4.4 ﹣4.5 ﹣4.6 …
x2+2x﹣10 … ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 1.25 1.96 …
A．﹣4.2＜x＜﹣4.1 B．﹣4.3＜x＜﹣4.2
C．﹣4.5＜x＜﹣4.4 D．﹣4.4＜x＜﹣4.3
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7．流行性感冒是一种由流感病毒引起的传染病，人群普遍易感．若有一人患了流感，经过两
轮传染后，假设共有 100人患了流感，每轮传染中平均每人传染了 x个人，则下列结论错
误的是（ ）
A．1轮后有（x+1）人患了流感 B．2轮后有（x+1）x个人患了流感
C．依题意可得方程（x+1）2＝100 D．经过三轮一共会有 1000人感染
8．抛物线 y＝ax2+bx+c的顶点为 A（2，m），且经过点 B（5，0），其部分图象如图所示．对
于此抛物线有如下四个结论：①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过
点 C（t，n），则 t+4一定是方程 ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．③④
D．①③④
二、填空题（共 16分，每题 2 分）
9．在平面直角坐标系中，点（5，﹣1）关于原点对称的点的坐标是 ．
10．已知二次函数的图象开口向上，且经过点（0，1），写出一个符合题意的二次函数的表达
式 ．
11．若一个扇形的半径是 3cm，所对圆心角为 60°，则这个扇形的面积是 cm2．
（结果保留π）．
12．已知，点 P（2，y1），Q（5，y2）为二次函数 y＝（x﹣1）2﹣2的图象上的两个点，则 y1
y2（填“＞”或“＜”）．
13．如图，在平面直角坐标系中，点 P的坐标为（4，2），点 A的坐标为（1，0），以点 P为
圆心，AP长为半径作弧，与 x轴交于点 B，则点 B的坐标为 ．
第 13题图 第 14题图
14．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，切点分别为 A，C．若 AB＝2，∠ABC
＝60°，则 PA的长是 ．
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15．我国数学家赵爽用 4个全等的直角三角形拼成如图所示的大正方形，并用它证明了勾股
定理，这个图被称为“赵爽弦图”．这一证法是中国古代数学家以形证数、形数结合的典
范，对后世数学发展产生了深远影响．已知点 O是大正方形 ABCD对角线的交点，以点 O
为旋转中心，将△DAE顺时针旋转α得到△CDH，则α＝ °．
第 15题图 第 16题图
16．如图所示，AB是⊙O的直径，AB＝4，∠A＝30°，⊙O的切线 BE与直线 AD交于点 E，
点 M 是⊙O 上一个动点．过 M 作 MN⊥ AD，垂足为 N，则 NM+EN 的最大值
为 ．
三、解答题（本题共 68分，第 18 题 4 分，第 17、19、21、22、23题每题 5分，第 24、25、
26 题每题 6分，第 20、27、28 题每题 7分）
1
17.（5分）计算：( 2 1)0 + ( 1)2025 + ( ) 1 2 30°
3
18.（4分）解方程：x2﹣4x＝2x﹣9．
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19.（5分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．
求作：△ABC的外接圆．
下面是小张的作法：
①如图，作 BC的垂直平分线 l1；
②作 AC的垂直平分线 l2，与 l1交于点 O；
③以 O为圆心，OA长度为半径作圆．
则⊙O是△ABC的外接圆．
（1）请你用无刻度直尺和圆规在图中补全图形．
（2）小李看到他的作法后灵机一动，找到了△ABC的内心．下面是小李的作法：
直线 l2与 交于点 D，连接 DB，交 AO于点 I，则点 I是△ABC的内心．
请你补全下面证明．
∵l2⊥AC，l2经过点 O，
∴ （① ）（填推理的依据），
∴∠ABD＝② （③ ）（填推理的依据），
∵l2⊥BC，AB＝AC，
∴∠BAO＝∠CAO，
∵DB与 AO交于点 I，
∴点 I是△ABC的内心．
20.（7分）已知：二次函数 y1＝ax2+bx+c（a≠0）中的 x和 y满足表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y1 … 3 0 ﹣1 0 m …
（1）观察表可求得 m的值为 ；
（2）请求出这个二次函数的表达式，并画出图象；
（3）当 0≤x＜3时，结合函数图象，直接写出 y的取值范
围 ；
（4）正比例函数 y2＝kx（k≠0），当 x＞3时，总有 y1＞y2，
直接写出 k的取值范围 ；．
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21.（5分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，A（﹣2，
4），B（﹣2，0），将△OAB绕原点 O顺时针旋转 90°
得到△OA'B'（A'，B'分别是 A，B的对应点）．
（1）在图中画出△OA′B′，点 A'的坐标为 ；
（2）若点 M（m，2）位于△OAB内（不含边界），
点 M'为点 M绕原点 O顺时针旋转 90°的对应点，直
接写出 M'的纵坐标 n的取值范围．
22.（5 分）已知关于 x的一元二次方程 x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求 m的取值范围；
（2）若 m为正整数，求此时方程的根．
23.（5 分）如图，在Rt△ABC中， ACB 90 ，O是 BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的
圆与 AB相交于点D，点 E在 AC上，连接DE，且DE AE．
（1）求证：DE是 O的切线；
（2）若∠ = 30°，AE=2，AB=6，求 B D的长．
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24.（6分）如图 1，弹球从原点 O以一定的方向抛出，弹球抛出的路线是抛物线 L的一部分，
若弹球到达最高点的坐标为（4，4）．弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是抛
物线的一部分，且开口大小和方向均与 L相同．
（1）求抛物线 L的解析式；
（2）如图 1，弹球在 x轴的落点为 A，在 A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度
是 ；
①求点 A的横坐标；
②反弹后的小球是否经过点（13，2）？请说明理由．
（3）如图 2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数 刻画，弹球落
到挡板上的点 D处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是 ，若第一次反弹后的弹球仍
然落在挡板上，直接写出挡板端点 E横坐标 xE的取值范围 ．
25.（6分）如图，AB为⊙O的直径， = ，过点 A作⊙O的切线，交 DO的延长线于点
E．
（1）求证：AC∥DE；
（2）若 AC＝2，tanE= 12，求 OE的长．
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26.（6 分）在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点 A（3，3a+c）．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）点 M（1﹣2a，y1），N（a+2，y2）在抛物线上．若 c＜y1＜y2，求 a的取值范围．
27.（7分）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点 D在 AB上（AD＜BD），过
点 D作 ED⊥AB，交 BC的延长线于点 E，连接 AE，CD，以 CD为底作等腰 Rt△CDF（点 E，
F在直线 CD的异侧），连接 BF．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：ED＝BD；
（3）用等式表示线段 AE与 BF的数量关系，并证明．
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28.（7分）对于⊙C与⊙C上一点 A，若平面内的点 P满足：射线 AP与⊙C交于点 Q，且
PA＝2QA，则称点 P为点 A关于⊙C的“倍距点”，已知平面直角坐标系 xOy中，点 A的坐
标是（2，0）．
（1）如图 1，点 O是坐标原点，⊙O的半径是 2，点 P是点 A关于⊙O的“倍距点”．
①若点 P在 x轴的负半轴上，直接写出点 P的坐标 ；
②若点 P在第二象限，且∠PAO＝45°，直接写出点 P的坐标 ；
（2）设点 T（t，0），以 T为圆心，TA长为半径作⊙T，直线 y＝﹣x+4分别与 x轴、y轴交于
点 D、E，若直线 y＝﹣x+4上存在点 P，使得 P是点 A关于⊙T的“倍距点”，求 t的取值范
围．
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