2025-2026学年人教A版数学必修第一册 2.2.1基本不等式 课后达标（含答案）

2.2.1基本不等式
一．选择题
1．若x>0，y>0，且x＋y＝1，则xy的最大值是(　　)
A． B．
C． D．1
2．已知正数a，b满足ab＝1，则 (a＋1)2＋(b＋1)2的最小值为(　　)
A．4 B．6
C．8 D．16
3．(多选)若对于任意x>0，≤a恒成立，则实数a的值可以是(　　)
A． B．
C． D．
4．(多选)已知a＞1，则2a＋的值可以是(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
5．如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小关系是(　　)
A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P
6．(多选)若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式不一定恒成立的是(　　)
A．＞ B．＋≤1
C．≥2 D．≤
7．(数学文化)《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)是后世数学家处理问题的重要依据．通过这一方法，很多的代数的公理或定理都能够利用图形进行证明．如图，AB为半圆O的直径；在AB上取一点C，使得AC＝a，BC＝b，过点C作CD⊥AB交半圆于点D，连接OD，作CE⊥OD交OD于点E.由CD≥DE可以直接证明的不等式为(　　)
A．≥(a>0，b>0)
B．≥(a>0，b>0)
C．≥(a>0，b>0)
D．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
8．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　)
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
B　解析：令a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，得a＝1，即a＝1时，等号成立．
二．填空题
9．若03x，即x＝2时，等号成立．所以y＝x(12－3x)的最大值为12.
10．设x，y∈N*，且满足x＋y＝20，则xy的最大值为　　　　.
11．若 x>a，关于x的不等式2x＋≥5恒成立，则实数a的取值范围是　　　　.
三，解答题
12．已知x>0，y>0，xy＝4，求＋的最小值．
13．(1)已知0(2)求(x>1) 的最小值；
(3)已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求＋的最小值．
2.2.1基本不等式
一．选择题
1．若x>0，y>0，且x＋y＝1，则xy的最大值是(　　)
A． B．
C． D．1
B　解析：由x＋y＝1≥2，解得xy≤，当且仅当x＝y＝时，等号成立．故选B．
2．已知正数a，b满足ab＝1，则 (a＋1)2＋(b＋1)2的最小值为(　　)
A．4 B．6
C．8 D．16
C　解析：因为a2＋b2＋2(a＋b)＋2≥2ab＋4＋2＝8，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以(a＋1)2＋(b＋1)2的最小值为8.故选C．
3．(多选)若对于任意x>0，≤a恒成立，则实数a的值可以是(　　)
A． B．
C． D．
ACD　解析：因为x>0，所以＝≤＝，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．
由任意x>0，≤a恒成立，得a≥，
符合条件有，，，故 A，C，D正确；<，故B错误．故选 ACD．
4．(多选)已知a＞1，则2a＋的值可以是(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
BCD　解析：因为a＞1，所以a－1＞0.
2a＋＝2＋2(a－1)＋≥2＋2＝6，
当且仅当2(a－1)＝，即a＝2时，等号成立，
故2a＋的最小值为6.
所以2a＋的取值可以是6，也可以是7或8.
5．如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小关系是(　　)
A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P
B　解析：显然＞.由题易知P>0，M>0，M2－P2＝a＋b－＝(a＋b)＝(a＋b)·.
因为00，所以a＋b＞，即＜.
所以＞＞，
即M＞P＞Q.
6．(多选)若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式不一定恒成立的是(　　)
A．＞ B．＋≤1
C．≥2 D．≤
ABC　解析：由a＋b＝4，可得≤2，得ab≤4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，所以≥，故A，C不一定恒成立；
B中，＋＝＝≥1，故B不一定恒成立；
由≥2，得a2＋b2≥2×2＝8，所以≤，D一定恒成立．
7．(数学文化)《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)是后世数学家处理问题的重要依据．通过这一方法，很多的代数的公理或定理都能够利用图形进行证明．如图，AB为半圆O的直径；在AB上取一点C，使得AC＝a，BC＝b，过点C作CD⊥AB交半圆于点D，连接OD，作CE⊥OD交OD于点E.由CD≥DE可以直接证明的不等式为(　　)
A．≥(a>0，b>0)
B．≥(a>0，b>0)
C．≥(a>0，b>0)
D．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
A　解析：由三角形相似，知CD2＝DE·OD＝AC·BC＝ab，且OD＝＝，所以DE＝＝＝.由CD≥DE，得≥
8．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　)
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
B　解析：令a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，得a＝1，即a＝1时，等号成立．
二．填空题
9．若012　解析：因为00，
所以y＝x(12－3x)＝×3x(12－3x)≤×2＝12，当且仅当3x＝12－3x，即x＝2时，等号成立．所以y＝x(12－3x)的最大值为12.
10．设x，y∈N*，且满足x＋y＝20，则xy的最大值为　　　　.
100　解析：因为x，y∈N*，所以20＝x＋y≥2，
所以xy≤100，当且仅当x＝y＝10时，等号成立．
11．若 x>a，关于x的不等式2x＋≥5恒成立，则实数a的取值范围是　　　　.
　解析：若关于x的不等式2x＋≥5恒成立，则min≥5.
因为x>a，故2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2＋2a＝4＋2a，
当且仅当x＝a＋1时取等号，故得4＋2a≥5，解得a≥.
三，解答题
12．已知x>0，y>0，xy＝4，求＋的最小值．
解：因为xy＝4，且x>0，y>0，所以＋≥2＝2＝，当且仅当＝，即x＝2，y＝时，等号成立，即＋的最小值为.
13．(1)已知0(2)求(x>1) 的最小值；
(3)已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求＋的最小值．
解：(1)x(4－3x)＝×3x×(4－3x)≤×2＝，
当且仅当3x＝4－3x，即x＝时取等号．
故x(4－3x)取得最大值时，x的值为.
(2)因为x>1，所以x－1>0，所以＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2，
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时取等号．
故(x>1)的最小值为2＋2.
(3)因为x＋y＝4，所以(x＋y)＝1.
又x>0，y>0，
所以＋＝(x＋y)＝1＋≥1＋×2＝1＋.
当且仅当＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取等号．
所以＋的最小值为1＋.
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