2025-2026学年人教A版数学必修第一册 2.2.1基本不等式 课后达标(含答案)

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名称 2025-2026学年人教A版数学必修第一册 2.2.1基本不等式 课后达标(含答案)
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-12-22 10:10:01

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2.2.1基本不等式
一.选择题
1.若x>0,y>0,且x+y=1,则xy的最大值是(  )
A. B.
C. D.1
2.已知正数a,b满足ab=1,则 (a+1)2+(b+1)2的最小值为(  )
A.4 B.6
C.8 D.16
3.(多选)若对于任意x>0,≤a恒成立,则实数a的值可以是(  )
A. B.
C. D.
4.(多选)已知a>1,则2a+的值可以是(  )
A.5 B.6
C.7 D.8
5.如果0<a<b<1,P=,Q=,M=,那么P,Q,M的大小关系是(  )
A.P>Q>M B.M>P>Q
C.Q>M>P D.M>Q>P
6.(多选)若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式不一定恒成立的是(  )
A.> B.+≤1
C.≥2 D.≤
7.(数学文化)《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)是后世数学家处理问题的重要依据.通过这一方法,很多的代数的公理或定理都能够利用图形进行证明.如图,AB为半圆O的直径;在AB上取一点C,使得AC=a,BC=b,过点C作CD⊥AB交半圆于点D,连接OD,作CE⊥OD交OD于点E.由CD≥DE可以直接证明的不等式为(  )
A.≥(a>0,b>0)
B.≥(a>0,b>0)
C.≥(a>0,b>0)
D.a2+b2≥2ab(a>0,b>0)
8.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是(  )
A.a=±1 B.a=1
C.a=-1 D.a=0
B 解析:令a2+1=2a,即(a-1)2=0,得a=1,即a=1时,等号成立.
二.填空题
9.若03x,即x=2时,等号成立.所以y=x(12-3x)的最大值为12.
10.设x,y∈N*,且满足x+y=20,则xy的最大值为    .
11.若 x>a,关于x的不等式2x+≥5恒成立,则实数a的取值范围是    .
三,解答题
12.已知x>0,y>0,xy=4,求+的最小值.
13.(1)已知0(2)求(x>1) 的最小值;
(3)已知x,y是正实数,且x+y=4,求+的最小值.
2.2.1基本不等式
一.选择题
1.若x>0,y>0,且x+y=1,则xy的最大值是(  )
A. B.
C. D.1
B 解析:由x+y=1≥2,解得xy≤,当且仅当x=y=时,等号成立.故选B.
2.已知正数a,b满足ab=1,则 (a+1)2+(b+1)2的最小值为(  )
A.4 B.6
C.8 D.16
C 解析:因为a2+b2+2(a+b)+2≥2ab+4+2=8,当且仅当a=b=1时取等号,所以(a+1)2+(b+1)2的最小值为8.故选C.
3.(多选)若对于任意x>0,≤a恒成立,则实数a的值可以是(  )
A. B.
C. D.
ACD 解析:因为x>0,所以=≤=,当且仅当x=,即x=1时等号成立.
由任意x>0,≤a恒成立,得a≥,
符合条件有,,,故 A,C,D正确;<,故B错误.故选 ACD.
4.(多选)已知a>1,则2a+的值可以是(  )
A.5 B.6
C.7 D.8
BCD 解析:因为a>1,所以a-1>0.
2a+=2+2(a-1)+≥2+2=6,
当且仅当2(a-1)=,即a=2时,等号成立,
故2a+的最小值为6.
所以2a+的取值可以是6,也可以是7或8.
5.如果0<a<b<1,P=,Q=,M=,那么P,Q,M的大小关系是(  )
A.P>Q>M B.M>P>Q
C.Q>M>P D.M>Q>P
B 解析:显然>.由题易知P>0,M>0,M2-P2=a+b-=(a+b)=(a+b)·.
因为00,所以a+b>,即<.
所以>>,
即M>P>Q.
6.(多选)若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式不一定恒成立的是(  )
A.> B.+≤1
C.≥2 D.≤
ABC 解析:由a+b=4,可得≤2,得ab≤4,当且仅当a=b=2时,等号成立,所以≥,故A,C不一定恒成立;
B中,+==≥1,故B不一定恒成立;
由≥2,得a2+b2≥2×2=8,所以≤,D一定恒成立.
7.(数学文化)《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)是后世数学家处理问题的重要依据.通过这一方法,很多的代数的公理或定理都能够利用图形进行证明.如图,AB为半圆O的直径;在AB上取一点C,使得AC=a,BC=b,过点C作CD⊥AB交半圆于点D,连接OD,作CE⊥OD交OD于点E.由CD≥DE可以直接证明的不等式为(  )
A.≥(a>0,b>0)
B.≥(a>0,b>0)
C.≥(a>0,b>0)
D.a2+b2≥2ab(a>0,b>0)
A 解析:由三角形相似,知CD2=DE·OD=AC·BC=ab,且OD==,所以DE===.由CD≥DE,得≥
8.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是(  )
A.a=±1 B.a=1
C.a=-1 D.a=0
B 解析:令a2+1=2a,即(a-1)2=0,得a=1,即a=1时,等号成立.
二.填空题
9.若012 解析:因为00,
所以y=x(12-3x)=×3x(12-3x)≤×2=12,当且仅当3x=12-3x,即x=2时,等号成立.所以y=x(12-3x)的最大值为12.
10.设x,y∈N*,且满足x+y=20,则xy的最大值为    .
100 解析:因为x,y∈N*,所以20=x+y≥2,
所以xy≤100,当且仅当x=y=10时,等号成立.
11.若 x>a,关于x的不等式2x+≥5恒成立,则实数a的取值范围是    .
 解析:若关于x的不等式2x+≥5恒成立,则min≥5.
因为x>a,故2x+=2(x-a)++2a≥2+2a=4+2a,
当且仅当x=a+1时取等号,故得4+2a≥5,解得a≥.
三,解答题
12.已知x>0,y>0,xy=4,求+的最小值.
解:因为xy=4,且x>0,y>0,所以+≥2=2=,当且仅当=,即x=2,y=时,等号成立,即+的最小值为.
13.(1)已知0(2)求(x>1) 的最小值;
(3)已知x,y是正实数,且x+y=4,求+的最小值.
解:(1)x(4-3x)=×3x×(4-3x)≤×2=,
当且仅当3x=4-3x,即x=时取等号.
故x(4-3x)取得最大值时,x的值为.
(2)因为x>1,所以x-1>0,所以===(x-1)++2≥2+2,
当且仅当x-1=,即x=+1时取等号.
故(x>1)的最小值为2+2.
(3)因为x+y=4,所以(x+y)=1.
又x>0,y>0,
所以+=(x+y)=1+≥1+×2=1+.
当且仅当=,即x=2(-1),y=2(3-)时取等号.
所以+的最小值为1+.
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