北师大版（2019）必修 第一册第六章 统计 本章复习与测试（含答案）

北师大版 必修一第六章统计章末检测卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数据，，，，，，，，，的第百分位数为( )
A. B. C. D.
2.国庆天小长假过后，某同学统计了该年级个班级的同学在假期旅游去过的城市个数分别为，，，则这三个数据的方差为( )
A. B. C. D.
3.某区县共有在校中小学生人，为了解学生对人工智能技术认知情况，用分层抽样的方法从小中初三个学段中抽取容量为的样本，其中小学段抽取人，高中段抽取人，则初中段的学生人数为( )
A. B. C. D.
4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中点表示十月的平均最高气温约为，点表示四月的平均最低气温约为，下面叙述不正确的是( )
A. 各月的平均最低气温都在以上 B. 七月的平均温差比一月的平均温差大
C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同 D. 平均最高气温高于的月份有个
5.某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在分至分之间，进行适当分组后每组为左闭右开的区间，画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是( )
A. 直方图中的值为
B. 在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为
C. 估计全校学生的平均成绩不低于分
D. 估计全校学生成绩的样本数据的分位数约为分
6.在对某校高三学生体质健康状况的调查中，按照性别比例进行分层随机抽样。已知抽取了男生人，女生人，其方差分别为，，由此估计样本的方差的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知样本数据，，，的平均数和方差分别为，，样本数据，，，的平均数和方差分别是，，若，则( )
A. B. C. D.
8.气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续天，每天的日均气温都不低于”已知甲，乙，丙，丁四个地区某连续天日均气温的数据特征如下：
甲地 中位数为，平均数为．
乙地 第百分位数为，众数为．
丙地 最高气温为，平均数为，标准差为．
丁地 下四分位数为，上四分位数为，极差为．
则可以肯定进入夏季的地区是( )
A. 甲地 B. 乙地 C. 丙地 D. 丁地
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 用简单随机抽样从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，个体被抽到的概率是
B. 已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的方差是
C. 数据，，，，，，，的分位数是
D. 若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为
10.某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，位评委对他们的演讲分别进行打分，得到如图所示的统计图，则( )
A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数
B. 甲得分的极差大于乙得分的极差
C. 甲得分的第百分位数小于乙得分的第百分位数
D. 甲得分的方差大于乙得分的方差
11.某市文化和旅游局制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长现为进一步发展该市文旅，提升经济，年月份对该市旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度得分采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列结论正确的是( )
A. 频率分布直方图中
B. 年月份对该市旅游的游客满意度得分的中位数近似值为
C. 年月份对该市旅游的游客满意度得分的平均数近似值为
D. 若落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，则落在的平均成绩为，落在的成绩的方差为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数据，，，，的平均数为，则该组数据的方差为 ．
13.某高一班级有名学生，在一次物理考试中统计出平均分数为，方差为，后来发现有名同学的成绩有误，甲实得分却记为分，乙实得分却记为分，则更正后的方差是 ．
14.已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数、样本方差分别为，，；，，记总的样本平均数为，样本方差为，则，该公式可以用来解决样本数据的最值问题已知个样本数据的均值为，方差为，则这个样本数据的中位数的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
一汽车厂生产、、三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表所示单位：辆：
轿车 轿车 轿车
舒适型
标准型
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取辆，其中有类轿车辆．
求的值；
用分层抽样的方法在类轿车中抽取一个容量为的样本，应如何抽取？
16.本小题分
某地区有小学生人，初中生人，高中生人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图．
根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数
成绩位列前的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分
已知落在内的平均成绩为，方差是，落在内的平均成绩是，方差是，求落在内的平均成绩和方差．
附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差
17.本小题分
我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了了解全市居民生活用水量分布情况，通过抽样，获得户居民月均用水量单位：，将数据按照，，，分成组，制成如图所示的频率分布直方图．为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过的部分按元收费，第二阶梯为超过但不超过的部分按元收费，第三阶梯为超过的部分按元收费．
求直方图中的值；
已知该市有万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过元的用户数，并说明理由；
该市政府希望使至少有的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准，请根据样本数据判断，现行收费标准是否符合要求？若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少？
18.本小题分
为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为的样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在，，，，，，的频率分别为，，，已知，．
求，的值
请根据样本数据估计，全校学生一周内的校志愿者活动平均时长为多少
学校现在准备对志愿者活动时长排在前的学生授予“志愿活动模范之星”的荣誉称号，根据样本数据估计，志愿者活动时长最少为多少分钟才可能被评为“志愿活动模范之星”
19.本小题分
已知总体划分为层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，记总的样本平均数为，样本方差为．
证明：
证明：
现已知某高中共有学生人，其中男生人，体重平均数，方差为，女生人，体重平均数为，方差为，求出该校所有学生体重的平均数和方差．
答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
12. 13. 14.
15.解：设该厂本月生产轿车辆，
由题意，得，所以，
则；
设所抽样本中有辆舒适型轿车，
所以，解得，
故在类轿车中抽取辆舒适型轿车，辆标准型轿车．
16.解：平均数为
，
众数为；
，
，
在内，即，
即获得“防溺水达人”的成绩至少为分；
设落在内的平均成绩和方差，
由已知可得，则，
由分层抽样的方差公式得，解得．
17.解：由频率分布直方图可得
，解得．
由“阶梯水价”知“用户月均用水费用不招过元“即“用户月均用水不超过，则
户居民中有，
由此可以估计全市万户居民中月均用水费用不超过元的用户数为
抽取的户居民月均用水量不超过的频率为：
，
，所以现行收费标准不符合要求．
抽取的户居民月均用水量不超过的频率为：
，
现行收费标准不符合要求，需将第二阶梯用水量的上限至少上调到．
18.解：由图知： ，
，
，
，
因为 ，所以 ，
所以，；
由知，，，
，，
设校志愿者活动平均时长为，
分钟；
设志愿者活动时长最少为分钟才可能被评为“志愿活动模范之星”
时长排在前时间就是数据的第百分位数，
据题意知，，
所以时长在内，
从而，
解得，
所以志愿者活动时长最少分钟才可能被评为“志愿活动模范之星”．
19.证明：由题意得，分层随机抽样中，第一层抽取了个样本，其数据记为，
则第一层样本数据总和为；
第二层抽取了个样本，其数据记为，则第二层样本数据总和为．
总的样本数据总和为，总的样本量为．
根据样本平均数的定义，总的样本平均数．
故成立．
证明：由题意得，样本方差．
对于第一层数据，展开平方项： ，
由于，
因此上式化简为：，
同理，第二层数据满足：，
将两层结果代入总方差公式：，
故的表达式成立．
解：已知男生人数，平均数，方差；
女生人数，平均数，方差，总人数．
平均数计算：
方差计算：首先计算，．
代入方差公式：．