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一元一次方程 单元综合强化训练卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
2．若 是关于x的方程 的解，则a的值是
A．1
B．
C．2
D．
3．解方程 时，去分母、去括号后，正确结果是（ ）
A．4x+1-10x+1=1 B．4x+2-10x-1=1
C．4x+2-10x-1=6 D．4x+2-10x+1=6
4．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房．若设该店有客房x间，则列出关于x的一元一次方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．设a，b，c为互不相等的实数，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A．a>b>c B．c>b>a C．a-b=4(b-c) D．a-c=5(a-b)
6．下列是嘉淇同学解一元一次方程的过程．
解：去分母，得，第一步
去括号，得，第二步
移项，得，第三步
合并同类项，得，第四步
系数化为，得．
上述解法中，开始出现错误的是（ ）
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
7．我校初一学生参加2020年元旦联欢晚会，设学校报告厅有座位 排，若每排坐 人，则有 人无座位：每排坐 人，则空 个座位，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．甲、乙两人在环形跑道上匀速跑步，他们同时从同一地点出发，当两人往相反方向跑步时，每隔48秒相遇一次；当两人往相同方向跑步时，每隔8分钟相遇一次。已知甲比乙每分钟快60米。则甲的速度为（ ）米/秒。
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
9．七年级(1)班有30人会下象棋或围棋，已知会下象棋的人数比会下围棋的人数多5，两种棋都会下的有17人，问只会下围棋的有多少人 设只会下围棋的有x人，可得方程为( )
A．x+(x-5)+17=30 B．x+(x+5)+17=30
C．x+(x-5)-17=30 D．x+(x+5)-17=30
10．有9人10天完成了一件工作的一半，而剩下的工作要在6天内完成，则需增加的人数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若是关于的方程的解，则 ．
12．如图，小红将一个正方形纸片剪去一个宽为 的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为 的长条，且剪下的两个长条的面积相等．则这个正方形的边长为 ．
13．用大小两台拖拉机耕地．每小时共耕地30亩，已知大拖拉机的效宰是小拖拉机的1.5倍，问小拖拉机每小时耕地多少亩？设小拖拉机每小时耕地x亩．根据题意可列方程：
14．已知x=3是方程ax-6=a+10的解,则a= .
15． 个工人生产螺栓和螺母，已知一个工人每天生产 个螺栓或 个螺母，且一个螺栓配 个螺母，如何分配工人使生产的螺栓与螺母恰好配成套．如果设生产螺栓的工人数为x个，根据题意可列方程为： ．
16．图1是卷筒纸置物架和卷筒纸.如图2，测得置物台到卷纸外圈的距离 ，到筒芯外圈的距离 ，筒芯的直径为10cm，一张卷纸厚度为 ，下垂的卷纸长为15cm，没下垂的卷纸可近似看成圆环，忽略接缝处，则这卷卷纸的总长度约为 m.（结果精确到1m，圆周率 取3.14）
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
（1）；
（2）．
18．毕达哥拉斯是古希腊着名的数学家，有一天一个数学家问他：尊敬的毕达哥拉斯先生，请你告诉我，有多少名学生在你的学校里听你讲课？毕达哥拉斯回答说：“一共有这么多学生在听课：在学习数学，在学习音乐，沉默无言，此外还有3名妇女．”请你用方程描述这个问题中数量之间的相等关系．
19．在一条直的长河中有甲、乙两船，现同时从A地顺流而下，两船到 B 地时乙船接到通知，需立即返回到 C地执行任务，甲船继续顺流航行。已知甲、乙两船在静水中的速度都是7. 5k m/h，水流的速度是 2.5k m/h，A，C两地的距离为 10 km。如果乙船由 A地经B地再到达C地共用了4 h，问：乙船到达C地时，甲船离B地多远
20．小红在解方程时，第一步出现了错误：
解：，……
（1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
（2）写出你的解答过程．
21．毕达哥拉斯是古希腊着名的数学家，有一天一个数学家问他：尊敬的毕达哥拉斯先生，请你告诉我，有多少名学生在你的学校里听你讲课？毕达哥拉斯回答说：“一共有这么多学生在听课：在学习数学，在学习音乐，沉默无言，此外还有3名妇女．”请你用方程描述这个问题中数量之间的相等关系．
22．已知一个棱长为 8cm 的正方体铁块.
（1）如图，把铁块放入装满水的圆柱形容器中(容器的底面直径和高度均为 20cm)，则溢出水的体积为 cm3.
（2）若把铁块放入装有4 cm高的水的正方体容器中(容器的棱长20cm)，则水面升高多少
23．甲，乙两种服装的成本和是 元，商店老板决定将甲服装按 利润定价，乙服装按 利润定价，在实际销售中，应顾客要求，两件服装均按九折销售，共获利157元，甲，乙两件服装的成本各是多少？
24．同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A，B两种香料．已知A种材料的单价比B种材料的单价多3元，且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等．
（1）求A种材料和B种材料的单价；
（2）若需购买A种材料和B种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买A种材料多少件？
25．某游乐园每天在开门前有 400 人排队等候，开门后每分钟来的人数是固定的，一个入口每分钟可以进入 10 个游客，如果开放 4 个入口，20 分钟后就没有人排队。现在开放 6 个入口，那么开门多少分钟后就没有人排队？
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一元一次方程 单元综合强化训练卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
【答案】C
【解析】【解答】如果设第一个天平中左右砝码质量为a，b，则由题意得：a=b，
第二个天平中增加的小砝码质量为c，则a+c=b+c，
∴与如图的事实具有相同性质的是，如果 ，那么 ，
故答案为：C.
【分析】等式的基本性质：（1）等式两边同加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；（2）在不等式两边同乘一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等.
2．若 是关于x的方程 的解，则a的值是
A．1
B．
C．2
D．
【答案】D
【解析】【解答】解：把 代入方程 得：
，
解得： ，
故答案为：D.
【分析】把 代入方程 得到关于a的一元一次方程，解之即可.
3．解方程 时，去分母、去括号后，正确结果是（ ）
A．4x+1-10x+1=1 B．4x+2-10x-1=1
C．4x+2-10x-1=6 D．4x+2-10x+1=6
【答案】C
【解析】【解答】解：去分母得：2(2x+1)-（10x+1）=6
去括号得：4x+2-10x-1=6
故答案为：C
【分析】先去分母（右边的1不能漏乘），再去括号，就可得出正确的结果。
4．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房．若设该店有客房x间，则列出关于x的一元一次方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： 如果一间客房住7人，那么有7人无房可住 ，可以得出此时客人的数量有：（）人；
如果一间客房住9人，那么就空出一间客房 ，则住满了（x-1）间房，可以得出此时客人的数量有：人；
则有：；
故答案为：A．
【分析】本题考查的是一元一次方程的实际应用，解题的基本步骤是是①审题，②设出未知数，③找出等量关系，④列方程，⑤解方程；题目已经 设该店有客房x间 ，再根据题目给出的：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，以及客人的人数是不变的即可列出方程，再解方程即可．
5．设a，b，c为互不相等的实数，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A．a>b>c B．c>b>a C．a-b=4(b-c) D．a-c=5(a-b)
【答案】D
【解析】【解答】解：∵
∴5b＝4a＋c，
在等式的两边同时减去5a，得到5（b a）＝c a，
在等式的两边同时乘 1，则5（a b）＝a c．
故答案为：D.
【分析】根据等式的性质，先在等式的两边都乘以5，再在等式的两边都减去5a，最后在等式的两边同时乘以-1，即可得出答案.
6．下列是嘉淇同学解一元一次方程的过程．
解：去分母，得，第一步
去括号，得，第二步
移项，得，第三步
合并同类项，得，第四步
系数化为，得．
上述解法中，开始出现错误的是（ ）
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得第二步出现错误，应为“去括号，得”，
故答案为：B
【分析】根据题意解一元一次方程，进而检查每个步骤即可求解。
7．我校初一学生参加2020年元旦联欢晚会，设学校报告厅有座位 排，若每排坐 人，则有 人无座位：每排坐 人，则空 个座位，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设座位有x排，
由题意得，30x+8=31x-26.
故答案为：C.
【分析】设座位有x排，根据题意可得等量关系为：总人数是一定的，据此列方程.
8．甲、乙两人在环形跑道上匀速跑步，他们同时从同一地点出发，当两人往相反方向跑步时，每隔48秒相遇一次；当两人往相同方向跑步时，每隔8分钟相遇一次。已知甲比乙每分钟快60米。则甲的速度为（ ）米/秒。
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】D
【解析】【解答】解：设甲的速度为x米/秒，则乙的速度为（x-1）米/秒，
48x+48（x-1）=8×60x-8×60（x-1）
解得x=5.5，
∴甲的速度为5.5米/秒.
故答案为：D.
【分析】设甲的速度为x米/秒，则乙的速度为（x-1）米/秒，根据反向跑时甲乙相遇的路程和=同向跑时甲乙相遇时的路程差相等，列出方程并解出方程即得.
9．七年级(1)班有30人会下象棋或围棋，已知会下象棋的人数比会下围棋的人数多5，两种棋都会下的有17人，问只会下围棋的有多少人 设只会下围棋的有x人，可得方程为( )
A．x+(x-5)+17=30 B．x+(x+5)+17=30
C．x+(x-5)-17=30 D．x+(x+5)-17=30
【答案】B
【解析】【解答】解：设只会下围棋的有x人，则只会下象棋的有(x+5)人，
根据题意，得：x+(x+5)+ 17 =30；
故答案为：B.
【分析】设只会下围棋的有x人，则只会下象棋的有(x+5)人，根据该班有30人会下象棋或围棋且两种棋都会下的有17人，即可得出关于x的一元一次方程，即可得出答案.
10．有9人10天完成了一件工作的一半，而剩下的工作要在6天内完成，则需增加的人数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【解析】【解答】解：设需增加x人，根据题意得
解得 x=6
故答案为：C.
【分析】设需增加x人，把工作总量看作单位“1”，根据“9人10天完成一半”表示出每人每天的工作效率，然后根据”工作效率×工作时间×工作人数=工作总量“作为相等关系列方程求解即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若是关于的方程的解，则 ．
【答案】5
【解析】【解答】将代入可得：3×2-2k+4=0，
解得：k=5，
故答案为：5.
【分析】将代入可得：3×2-2k+4=0，再求出k的值即可.
12．如图，小红将一个正方形纸片剪去一个宽为 的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为 的长条，且剪下的两个长条的面积相等．则这个正方形的边长为 ．
【答案】 cm
【解析】【解答】解：设正方形的边长为xcm，由题意得：
4x=5（x-4），解得x=20．
故答案为：20cm．
【分析】设正方形的边长为xcm，根据题意可得其中一个小长方形的两边长分别为5cm和（x-4）cm；另一个小长方形的两边长分别为4cm和xcm，根据“剪下的两个长条的面积相等”可直接列出方程，求解即可．
13．用大小两台拖拉机耕地．每小时共耕地30亩，已知大拖拉机的效宰是小拖拉机的1.5倍，问小拖拉机每小时耕地多少亩？设小拖拉机每小时耕地x亩．根据题意可列方程：
【答案】1.5x+x=30
【解析】【解答】解： 设小拖拉机每小时耕地x亩， 大拖拉机每小时耕地1.5x亩，
根据题意得： 1.5x+x=30.
【分析】 设小拖拉机每小时耕地x亩， 得出大拖拉机每小时耕地1.5x亩，根据等量关系：大拖拉机每小时耕地亩数+小拖拉机每小时耕地亩数=30，列出方程即可.
14．已知x=3是方程ax-6=a+10的解,则a= .
【答案】8
【解析】【解答】把x=3代入方程ax-6=a+10中得：3a-6=a+10
解得a＝8.
故答案是：8.
【分析】由方程的解的意义把x=3代入方程可得关于a的方程，解方程即可求解。
15． 个工人生产螺栓和螺母，已知一个工人每天生产 个螺栓或 个螺母，且一个螺栓配 个螺母，如何分配工人使生产的螺栓与螺母恰好配成套．如果设生产螺栓的工人数为x个，根据题意可列方程为： ．
【答案】2×3x=4(20-x)
【解析】【解答】解：设生产螺栓的工人数为x个，则生产螺母得工人数为(20-x)个，
根据题意得：2×3x=4(20-x)，
故答案是：2×3x=4(20-x)．
【分析】设生产螺栓的工人数为x个，则生产螺母得工人数为(20-x)个，根据“一个螺栓配 个螺母”，即可列出关于x的一元一次方程．
16．图1是卷筒纸置物架和卷筒纸.如图2，测得置物台到卷纸外圈的距离 ，到筒芯外圈的距离 ，筒芯的直径为10cm，一张卷纸厚度为 ，下垂的卷纸长为15cm，没下垂的卷纸可近似看成圆环，忽略接缝处，则这卷卷纸的总长度约为 m.（结果精确到1m，圆周率 取3.14）
【答案】118
【解析】【解答】解：设直径为 的筒芯长为 ，这卷卷纸的总长度约为 ，依题意得，
解得：
故答案为： 118.
【分析】利用置物台的体积=所有卷纸的体积列方程.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：去括号，得：，移项、合并同类项，得：，
系数化为1，得：
（2）解：去分母，得：，
去括号，得：，移项、合并同类项，得：，系数化为1，得：．
【解析】【分析】本题考查解一元一次方程。（1）先去括号，移项，合并同类项，系数化1，可得方程的解；（2）系数为分数时，先去分母，两边同时乘以分母的最小公分母，再按照接下的步骤求解即可。
18．毕达哥拉斯是古希腊着名的数学家，有一天一个数学家问他：尊敬的毕达哥拉斯先生，请你告诉我，有多少名学生在你的学校里听你讲课？毕达哥拉斯回答说：“一共有这么多学生在听课：在学习数学，在学习音乐，沉默无言，此外还有3名妇女．”请你用方程描述这个问题中数量之间的相等关系．
【答案】解：设有x名学生在学校里听讲课，由题意得
x+x+x+3=x．
【解析】【分析】设有x名学生在学校里听讲课，根据在学习数学，在学习音乐，沉默无言，此外还有3名妇女．列出方程解答即可．
19．在一条直的长河中有甲、乙两船，现同时从A地顺流而下，两船到 B 地时乙船接到通知，需立即返回到 C地执行任务，甲船继续顺流航行。已知甲、乙两船在静水中的速度都是7. 5k m/h，水流的速度是 2.5k m/h，A，C两地的距离为 10 km。如果乙船由 A地经B地再到达C地共用了4 h，问：乙船到达C地时，甲船离B地多远
【答案】解： 由题意得，乙船逆流航行的速度是 7.5—2.5=5( km/h)，甲船和乙船顺流航行的速度是 7.5+2.5 =10( km/h)。分两种情况讨论：
①当 C 地在 A，B 两地之间时，设 B，C 两地的距离为x( km)。
由题意，得 解得x=10，
∴甲船离B地
②当C地在A地的上游时，设A，B两地的距离为y( km)。由题意，得 解得
∴乙船从 B地到C地用7了
∴甲船离 B地
答：乙船到达C地时，甲船离B地20 km或
【解析】【分析】根据题意得，乙船逆流航行的速度是 5km/h，甲船和乙船顺流航行的速度是10 km/h。分两种情况讨论：
①当 C 地在 A，B 两地之间时，设 B，C 两地的距离为xkm。根据乙船由A地经B地再到达C地共用了4 h 可得 解得x=10，进而求解即可；
②当C地在A地的上游时，设A，B两地的距离为ykm。根据乙船由A地经B地再到达C地共用了4 h可得 解得 进而求解即可。
20．小红在解方程时，第一步出现了错误：
解：，……
（1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
（2）写出你的解答过程．
【答案】（1）根据题意可知：小红的第一步去分母时出错，方程右边式子1漏乘6，用横线划出小红的错误处为：
（2）解：，
去分母，得：，
移项，得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
【解析】【分析】
（1） 根据等式的性质，解一元一次方程的步骤去分母即可判断，根据去分母时方程两边要同时乘以分母可知：小红的第一步去分母时出错，方程右边式子1漏乘6，即可得出答案；
（2）根据解一元一次方程的步骤（去分母、移项、合并同类项、次数化为1）可直接进行求解．
（1）
（2）解：，
去分母，得，，
移项，得：，
合并同类页，得：，
解得：．
21．毕达哥拉斯是古希腊着名的数学家，有一天一个数学家问他：尊敬的毕达哥拉斯先生，请你告诉我，有多少名学生在你的学校里听你讲课？毕达哥拉斯回答说：“一共有这么多学生在听课：在学习数学，在学习音乐，沉默无言，此外还有3名妇女．”请你用方程描述这个问题中数量之间的相等关系．
【答案】解：设有x名学生在学校里听讲课，由题意得
x+x+x+3=x
【解析】【分析】先设有x名学生在学校里听讲课，根据学数学、音乐、沉默的所占的比例可得相应的人数，然后相加+3可得学生人数，从而可得方程.
22．已知一个棱长为 8cm 的正方体铁块.
（1）如图，把铁块放入装满水的圆柱形容器中(容器的底面直径和高度均为 20cm)，则溢出水的体积为 cm3.
（2）若把铁块放入装有4 cm高的水的正方体容器中(容器的棱长20cm)，则水面升高多少
【答案】（1）512
（2）解：设水面升高xcm，
则有：20×20×x=8×8×（4+x），
解得：，
故水面升高 cm.
【解析】【解答】解：(1)溢出水的体积为83 = 512(cm3)，
故答案为：512.
【分析】(1)根据正方体的体积公式即可得到结论；
(2)设水面升高xcm，根据题意列方程即可得到结论.
23．甲，乙两种服装的成本和是 元，商店老板决定将甲服装按 利润定价，乙服装按 利润定价，在实际销售中，应顾客要求，两件服装均按九折销售，共获利157元，甲，乙两件服装的成本各是多少？
【答案】解：设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为（500 x）元，
根据题意得：[（1+50%）x＋（1+40%）（500 x）]×0.9 500＝157，
1.35x－1.26x+630－500=157，
0.09x=27，
解得：x＝300，
500 x＝500 300＝200.
答：甲服装的成本为300元，乙服装的成本为200元.
【解析】【分析】 设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为（500 x）元， 根据“利润=（甲的售价+乙的售价）×0.9-500”，建立方程求解即可.
24．同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A，B两种香料．已知A种材料的单价比B种材料的单价多3元，且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等．
（1）求A种材料和B种材料的单价；
（2）若需购买A种材料和B种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买A种材料多少件？
【答案】（1）解：设A种材料的单价为x元，则B种材料的单价为（x﹣3）元，
由题意得：4x＝6（x﹣3），
解得：x＝9，
∴x﹣3＝6，
答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元
（2）解：设能购买A种材料m件，则能购买B种材料（50﹣m）件，
由题意得：9m+6（50﹣m）≤360，
解得：m≤20，
答：最多能购买A种材料20件
【解析】【分析】（1）设A种材料的单价为x元，则B种材料的单价为（x﹣3）元，由相等关系“ 购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等 ”列方程并求解即可；
（2）设能购买A种材料m件，则能购买B种材料（50﹣m）件，由不等关系“ 总费用不超过360元 ”列不等式并求解即可.
25．某游乐园每天在开门前有 400 人排队等候，开门后每分钟来的人数是固定的，一个入口每分钟可以进入 10 个游客，如果开放 4 个入口，20 分钟后就没有人排队。现在开放 6 个入口，那么开门多少分钟后就没有人排队？
【答案】解：4个入场口20分钟进入的人数是：
（人)，
开门后20分钟来的人数是：（人)，
开门后每分钟来的人数是：（人)，
设开6个入场口分钟后没有人排队，由题意列方程得
，
，
，
答：开放6个入场口10分钟后就没有人排队．
【解析】【分析】 此题里有两个不变的量：一是开门前排队人数是固定数，即400人；二是开门后每分钟来的人数是固定的。按开4个入场口的已知条件，可求出开门后每分钟来的人数。然后设开放6个入场口开门后x分钟后没有人排队，可按以下两种方式求出开门后x分钟总进场人数：一是根据每钟1个入场口进客人数可得开6个入场口x分钟的进场人数；二是根据开门后x每钟来的固定人数加开门前排队的400人，根据这个等量关系即可列出方程解答。
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