中小学教育资源及组卷应用平台
分式 单元真题汇编培优卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
2．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．某校组织七年级学生到距离学校30千米的实践基地研学．一部分学生乘慢车前往，需要的时间比预计时间多了15分钟，剩余学生乘快车前往，需要的时间比预计时间少了6分钟，已知快车的速度是慢车的2倍，设预计时间为分钟，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
4．照相机成像应用了一个重要原理， 用公式 表示， 其中 表示照相机镜头的焦距， 表示物体到镜头的距离， 表示胶片 （像） 到镜头的距离． 已知 ， 则 （ ）
A． B． C． D．
5．若关于的方程无解，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．
6．某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．科技创新是发展生产力的核心要素，某品牌手机的快充功能方便了人们对于智能手机的使用.如图，这是该品牌手机的使用说明书的部分内容（充电时间为从电量充到的时间），手机电量为后开始充电，若普通充电后，再快速充电刚好充满电量，则磨损处“”的数值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．为扎实推进 “五育”并举工作， 加强劳动教育， 东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点” 任课程． 课程开设后学校花费 6000 元购进第一批面粉， 用完后学校又花费 9600 元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的 1.5 倍， 但每千克面粉价格提高了 0.4 元． 设第一批面粉采购量为 千克，依题意所列方程正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
9．若关于 的分式方程 有增根，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
10．关于 的分式方程 的解为正实数，则实数 的取值范围是
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若分式 ， .
12．已知关于 的方程 的解是正数，则 的取值范围为 .
13．为推进垃圾分类，推动绿色发展，某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类.用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为l40万元.若设甲型机器人每台 万元，根据题意，列方程为 .
14．化简 + 的结果为
15．方程组的解为 ．
16．已知， 则的值为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算下列各题：
（1） ；
（2） ．
18．某班有45名同学参加紧急疏散演练．初二某班有60名同学参加．对比发现：经专家指导后，平均每秒撤离的人数是指导前的2倍，这60名同学全部撤离的时间比指导前快30秒．求指导前平均每秒撤离的人数．
19．某学组织学生去离学校12千米的农场，早上8：00点从学校出发，到了农场休息整顿30分钟后，按原路返回，13：30到达学校，其中去农场时的速度是返回学校时速度的1.2倍，问去农场时的速度多少？
20．若分式有意义，求x的取值范围．
21．先化简，再求值：，其中．
22．2021年1月，中央文明办确定2021—2023年创建周期全国文明城市提名城市名单，云南省共有市县人列，其中，文山市人列，为继续建设文明城市，提升人民生活满意度，某社区计划对一定区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用天，求甲、乙施工队每天分别能完成绿化的面积是多少
23．先化简，再求值： ；其中 .
24．某客商准备采购一批特色商品，下面是甲、乙两人的一段对话：
（1）根据对话信息，求一件A，B型商品的进价分别为多少元；
（2）若该客商购进A，B型商品共160件进行试销，其中型商品的件数不大于型商品的件数，且不小于78件，已知型商品的售价为240元/件，型商品的售价为220元/件，且全部售出，则共有哪几种进货方式
（3）在第(2)问的条件下，哪种进货方式利润最大，并求出最大利润.
25．某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产．
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一：甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高，乙车间维持不变．方案二：乙车间再临时招聘若干名工人(工作效率与原工人相同)，甲车间维持不变．设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．
①求乙车间再临时招聘的工人数．
②若甲车间租用先进生产设备的租金为每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，选择哪种方案更节省开支？请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
分式 单元真题汇编培优卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子、分母及分式本身三处的符号，同时改变其中任意两处的符号，分式的值不变，据此一一判断得出答案.
2．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】A、 ，分子分母含有公因式x，故A不合题意；
B、 ＝ 含有公因式 ，故B不合题意；
C、 含有公因式2，故C不合题意；
D、 分子，分母中不含有公因式，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据最简分式的定义，依次判断各个选项的分子、分母是否有公因式即可.
3．某校组织七年级学生到距离学校30千米的实践基地研学．一部分学生乘慢车前往，需要的时间比预计时间多了15分钟，剩余学生乘快车前往，需要的时间比预计时间少了6分钟，已知快车的速度是慢车的2倍，设预计时间为分钟，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设预计时间为分钟，则慢车的时间为分钟，快车的时间为分钟，
由题意得，，
故选：A．
【分析】设预计时间为分钟，根据速度路程时间，列方程计算解题．
4．照相机成像应用了一个重要原理， 用公式 表示， 其中 表示照相机镜头的焦距， 表示物体到镜头的距离， 表示胶片 （像） 到镜头的距离． 已知 ， 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由公式(v≠f)
∴
故答案为：C.
【分析】利用分式的基本性质，把等式(v≠f)变形即可求解.
5．若关于的方程无解，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：
两边同乘（x+1），得：x-a=a（x+1）
整理得：（1-a）x=2a
∴ x=
∵ 分式方程无解
∴ 当分式方程有增根时，x=-1，代入 x=，得a=-1；当分母1-a=0时，a=1
∴ a的值为
故答案为：D.
【分析】本题考查分式方程无解的两种情况：分式方程有增根，方程无解；当等式不成立时，方程无解。
6．某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解： 设原计划每天挖x米，则实际每天挖（x+20）米，
根据题意得： ；
故答案为：C.
【分析】 设原计划每天挖x米，则实际每天挖（x+20）米，根据原计划所用的天数-实际所用的天数=4，列出方程即可.
7．科技创新是发展生产力的核心要素，某品牌手机的快充功能方便了人们对于智能手机的使用.如图，这是该品牌手机的使用说明书的部分内容（充电时间为从电量充到的时间），手机电量为后开始充电，若普通充电后，再快速充电刚好充满电量，则磨损处“”的数值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】【解答】解：设磨损处“”的数值为，根据题意得，
解得：，经检验是原方程的解，且符合题意
故选：B
【分析】设磨损处“”的数值为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
8．为扎实推进 “五育”并举工作， 加强劳动教育， 东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点” 任课程． 课程开设后学校花费 6000 元购进第一批面粉， 用完后学校又花费 9600 元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的 1.5 倍， 但每千克面粉价格提高了 0.4 元． 设第一批面粉采购量为 千克，依题意所列方程正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设第一批面粉采购量x千克，则第二批采购量1.5x千克，
第一批单价为：
第二批单价为
由题意可知：
故答案为：A.
【分析】根据题意列方程，关键抓住等量关系，本题由面粉价格提高0.4元，可得第二批单价-第一批单价=0.4，根据设的未知数表示出两次单价，即可得到答案.
9．若关于 的分式方程 有增根，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】去分母得：m=x-1-2x+6，
由分式方程有增根，得到x-3=0，即x=3，
把x=3代入整式方程得：m=2，
故答案为：A．
【分析】根据题意，解分式方程，根据分式方程有增根，即可得到m的值。
10．关于 的分式方程 的解为正实数，则实数 的取值范围是
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
【答案】D
【解析】【解答】解：
去分母，得
x+m+2m=3（x-2）
解得x=
∵关于x的分式方程 的解为正实数
∴x-2≠0，x＞0
即 ≠2， ＞0，
解得m≠2且m＜6
故答案为：D.
【分析】先根据分式方程的解法，求出用m表示x的解，然后根据分式有解，且解为正实数构成不等式组求解即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若分式 ， .
【答案】1
【解析】【解答】解：由题意可得：|x|-1=0且x+1≠0，
解得x=1.
故答案为：1.
【分析】由分式值为0的条件可得|x|-1=0且x+1≠0，求解即可.
12．已知关于 的方程 的解是正数，则 的取值范围为 .
【答案】m＞1且m≠2
【解析】【解答】解：原方程整理得：2x-m=x-1
解得：x=m-1
因为x＞0，所以m-1＞0，即m＞1.①
又因为原式是分式方程，所以，x≠1，即m-1≠1，所以m≠2.②
由①②可得，则m的取值范围为m＞1且m≠2.
故答案为：m＞1且m≠2.
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围.
13．为推进垃圾分类，推动绿色发展，某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类.用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为l40万元.若设甲型机器人每台 万元，根据题意，列方程为 .
【答案】
【解析】【解答】解：设甲型机器人每台x万元，根据题意得，
；
故答案为： ；
【分析】设甲种型号机器人每台的价格是x万元，根据“用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同”，列出关于x的分式方程；
14．化简 + 的结果为
【答案】x
【解析】【解答】原式= ，故答案为：x.
【分析】根据同分母的分式相加减，分母不变分子相加减，化为最简分式.
15．方程组的解为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：令，
则原方程组为
解得，，即，
解得，，
经检验，是原方程组的解，
故答案为：．
【分析】先令，利用换元法将分式方程转化为整式方程，先解关于m，n的二元一次方程组，再解关于x，y的二元一次方程组即可．
16．已知， 则的值为 ．
【答案】-2
【解析】【解答】解：
，
，
，
当时，原式，
故答案为：
【分析】先根据分式的混合运算进行化简得到，再化简代入即可求解。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算下列各题：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】(1)分式乘以分式，将分子与分子相乘作为结果的分子，将分母与分母相乘作为结果的分母，再约分；
（2）分式除以整式，将除法转化为乘法，再按分式乘以分式计算法则计算.
18．某班有45名同学参加紧急疏散演练．初二某班有60名同学参加．对比发现：经专家指导后，平均每秒撤离的人数是指导前的2倍，这60名同学全部撤离的时间比指导前快30秒．求指导前平均每秒撤离的人数．
【答案】解：设指导前平均每秒撤离的人数为x人，由题意得：
﹣ =30，
解得：x=1，
经检验：x=1是原分式方程的解，
答：指导前平均每秒撤离的人数为1人
【解析】【分析】首先设指导前平均每秒撤离的人数为x人，则经专家指导后，平均每秒撤离的人数是2x人，根据“这60名同学全部撤离的时间比指导前快30秒”可得等量关系：60人在被专家指导前撤离所用的时间﹣60人在被专家指导后撤离所用的时间=30秒，由等量关系列出方程，解方程即可．
19．某学组织学生去离学校12千米的农场，早上8：00点从学校出发，到了农场休息整顿30分钟后，按原路返回，13：30到达学校，其中去农场时的速度是返回学校时速度的1.2倍，问去农场时的速度多少？
【答案】解：设学生返回学校时的速度为x千米/时．
（小时），30分钟小时，（小时）
根据题意得，
解这个方程得：．
检验：当时，，
所以是方程的解且符合实际意义．
所以（千米/时）．
答：学生去农场时的速度为5.28千米/时．
【解析】【分析】先算从学校到农场来返一趟所用的时间，设学生返回学校时的速度为x千米/时，则去农场时的速度为1.2x千米/时，根据来去的时间之和列出方程，求出分式方程的解即可得到答案.
20．若分式有意义，求x的取值范围．
【答案】解：∵=，
∴x+2≠0且x+4≠0且x+3≠0
解得x≠﹣2、﹣3、﹣4．
【解析】【分析】先把除法化为乘法，再根据分式有意义的条件即可得到结果．
21．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
当时，原式
.
【解析】【分析】先利用分式的混合运算的计算方法化简，再将x的值代入计算即可。
22．2021年1月，中央文明办确定2021—2023年创建周期全国文明城市提名城市名单，云南省共有市县人列，其中，文山市人列，为继续建设文明城市，提升人民生活满意度，某社区计划对一定区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用天，求甲、乙施工队每天分别能完成绿化的面积是多少
【答案】解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是，则甲工程队每天能完成绿化的面积是，
根据题意得，
解得：，
经检验：是原方程的解，
所以甲工程队每天能完成的绿化面积是，
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是．
【解析】【分析】根据题意求出 ， 再解方程即可。
23．先化简，再求值： ；其中 .
【答案】解：
当 时，
上式
【解析】【分析】先通分计算异分母分式的减法，同时将被除式及除式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，并将除法转化为乘法，接着计算乘法，最后根据同分母分式的减法法则算出最简结果；最后将a的值代入分式运算化简的结果即可得出答案.
24．某客商准备采购一批特色商品，下面是甲、乙两人的一段对话：
（1）根据对话信息，求一件A，B型商品的进价分别为多少元；
（2）若该客商购进A，B型商品共160件进行试销，其中型商品的件数不大于型商品的件数，且不小于78件，已知型商品的售价为240元/件，型商品的售价为220元/件，且全部售出，则共有哪几种进货方式
（3）在第(2)问的条件下，哪种进货方式利润最大，并求出最大利润.
【答案】（1）解：设一件B型商品的进价分别为x元，则一件A型商品x+10元，
∴
∴
∴一件B型商品的进价分别为150元，则一件A型商品160元.
（2）解：设购进A型商品y件，则购进B型商品160-y件，
∴
∴
∴共有3种进货方式：
方式1：购进型商品78件，型商品82件；
方式2：购进型商品79件，型商品81件；
方式3：购进型商品80件，型商品80件；
（3）解：方式一：
方式二：
方式三：
∵
∴购进型商品80件，型商品80件获得利润最大，最大利润为12000元.
【解析】【分析】（1）设一件B型商品的进价分别为x元，则一件A型商品x+10元，根据题意列出分式方程：解此方程即可求解；
（2）设购进A型商品y件，则购进B型商品160-y件，则，进而得到：据此即可知共有3种进货方式，分别写出来即可；
（3）结合（2）分别计算出三种进货方式所获得利润，进而即可求解.
25．某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产．
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一：甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高，乙车间维持不变．方案二：乙车间再临时招聘若干名工人(工作效率与原工人相同)，甲车间维持不变．设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．
①求乙车间再临时招聘的工人数．
②若甲车间租用先进生产设备的租金为每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，选择哪种方案更节省开支？请说明理由．
【答案】（1）解：设甲车间有x名工人参与生产，则乙车间各有（50-x）名工人参与生产，由题意得：
.
解得x=30.
经检验，x=30是该分式方程的解，且符合题意.
∴甲车间有30名工人参与生产，乙车间有20名工人参与生产．
（2）解：①设方案二中乙车间需临时招聘名工人，由题意，得，解得．经检验，是原方程的解，且符合题意．
乙车间需临时招聘5名工人；
②企业完成生产任务所需的时间为：
(天)．
选择方案一需增加的费用为(元)．选择方案二需增加的费用为(元)．
选择方案一能更节省开支．
【解析】【分析】（1）设甲、乙两车间各有x、y人，根据甲、乙两车间共有50人和甲、乙两车间20天共生产零件总数之和为27000件列方程组，解方程组即可；
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，根据“完成生产任务的时间相同”列分式方程求解即可；
②先求得企业完成生产任务所需的时间，分别求得完成生产任务的新增费用，再比较即可解答．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
