第17-18章（因式分解和分式 ） 易错知识点填空题 强化练 2025-2026学年初中数学人教版（2024）八年级上册期末复习

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第17-18章（因式分解和分式 ） 易错知识点填空题 强化练
2025-2026学年初中数学人教版（2024）八年级上册期末复习
1．“香中别有韵，清极不知寒”是唐代诗人崔道融创作的《梅花》中的诗句，描写了在孤寒环境中的梅花依然坚韧顽强，傲然独立．已知梅花的花粉直径约为米，将数据用科学记数法可以表示为 ．
2．对于实数，定义一种新运算“”：．例如，，则方程的解是 ．
3．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产 台机器．
4．如果，那么式子的值是 ．
5．当 时，分式与相等．
6．要使分式有意义，则的取值范围是 ．
7．当 时，与的值相等．
8．当 时，分式无意义．
9．如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为与的两个圆，则剩下的钢板的面积为 ．
10．因式分解： ．
11．若，，则 ．
12．如图，“”形图形的面积为45，如果，那么 ．
13．分解因式： ．
14．分解因式：
（1） ；
（2） ．
15．与的公因式是 ．
16．计算的结果是 ．
17．若，则m= ．
18．为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖品的数量与用240元购买B种奖品的数量相同．设B种奖品的单价是x元，则可列分式方程为 ．
19．因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为 ．
20．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2+y2）＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是 （写出一个即可）．
21．一组按规律排列的式子：则第个式子是（为正整数） ．
22．已知实数a，b，c满足，则的值为 ．
参考答案
1．
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式．
利用科学记数法进行表示即可，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故答案为：．
2．
【分析】本题考查了新定义的运算法则的计算、分式方程的解法，根据题中的新运算法则列出分式方程，再根据分式方程的解法解答即可．
【详解】解：
∴方程为：
去分母得，
解得：，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
3．200
【详解】设现在平均每天生产x台机器，则原计划可生产（x﹣50）台，
根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间，从而列出方程：，
解得：x=200．
检验：当x=200时，x（x﹣50）≠0．
∴x=200是原分式方程的解．
∴现在平均每天生产200台机器．
4．3
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的运算法则．
先对分式进行化简，然后整体代入求值即可．
【详解】解：由得，，
，
故答案为：．
5．9
【分析】由题意可得：，再去分母，解方程并检验即可得到答案．
【详解】解：由题意得：，
，
，
，
经检验：是原方程的根，
∴当时，分式与相等．
故答案为：9．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
6．
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，即分母不等于0，解题的关键是掌握分式有意义的条件．
根据分式有意义的条件，即分母不为0，可列出关系式进行求解．
【详解】解：要使分式有意义，则，
因此，，
故答案为：．
7．
【分析】先根据，代数式值相等建立方程，解分式方程即可．
【详解】解：由题意得，即，
方程两边都乘以，得：，
解这个方程得：，
检验：当时，，
∴是原方程的根，
∴当时与的值相等．
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式值相等的条件，通过列分式方程，解分式方程是解题关键．
8．3
【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式的分母为时分式无意义是解题的关键．根据分式无意义的条件，即分母为时，分式无意义，所以只需令分母，求解的值即可．
【详解】解：∵分式无意义，
∴，
∴．
故答案为：．
9．
【分析】剩下钢板的面积等于大圆的面积减去两个小圆的面积，利用圆的面积公式列出关系式，化简即可．
【详解】解：
，
答：剩下的钢板的面积是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：圆的面积公式，完全平方公式，去括号、 合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
10．
【分析】本题主要考查了公式法因式分解，先平方差公式分解，再合并同类项即可.
【详解】解：原式
.
11．
【分析】本题主要考查了代数式求值，平方差公式的应用，
根据平方差公式得，再结合代入可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
解得，
则．
故答案为：．
12．15
【分析】本题考查整式的乘法与图形的面积，以及因式分解的应用．将图形分成两个长方形，根据图形的面积列出算式，然后因式分解即可得到答案．
【详解】解：如图，
由题意，得：，
即
∵，
∴，
故答案为：15．
13．/
【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】解：，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的几种方法是解题的关键．
（1）先提取3，再利用完全平方公式进行分解；
（2）先提取，再利用平方差公式进行分解．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：．
15．/
【分析】本题考查了多项式的公因式，把两个多项式分解因式后即可得解．
【详解】解：，，则公因式为；
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了负整数指数幂的运算和积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂的运算法则．
利用负整数指数幂的运算和积的乘方的运算法则进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
17．3或﹣1
【分析】利用绝对值和分式的性质可得m﹣1≠0，m﹣3=0或|m|=1，可得m=3或m=-1．
【详解】解： ，
综上：或
故答案为3或﹣1．
18．
【分析】设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为（x+10）元，利用数量=总价÷单价，结合用300元购买A种奖品的件数与用240元购买B种奖品的件数相同，即可得出关于x的分式方程．
【详解】解：设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为（x+10）元，
依题意得：，
故答案为：
【点睛】本题考查了根据实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
19．#
【分析】本题考查了因式分解，先确定m，n的值，后分解因式即可．
【详解】∵甲看错了的值，分解的结果是，
∴．
∵乙看错了的值，分解的结果为，
∴．
∴，
故答案为：#．
20．104020
【分析】9x3-xy2=x（9x2-y2）=x（3x+y）（3x-y），当x=10，y=10时，密码可以是10、40、20的任意组合即可．
【详解】9x3-xy2=x（9x2-y2）=x（3x+y）（3x-y），
当x=10，y=10时，密码可以是104020或102040等等都可以，答案不唯一．
【点睛】本题考查的是因式分解，分解后，将变量赋值，按照因式组合即可．
21．
【分析】此题考查了列代数式表示数字变化规律，先根据分子、分母的变化得出规律，再根据分式符号的变化得出规律是解题的关键．
根据分子的变化得出分子变化的规律，根据分母的变化得出分母变化的规律，根据分数符号的变化规律得出分数符号的变化规律，即可得到该组式子的变化规律．
【详解】解：观察分子的规律为，
观察分母的规律为，
根据奇数位的数为负数，偶数位的数为正数，得规律为，
综上，第个式子是，
故答案为：．
22．4053
【分析】本题考查同底数幂的除法运算，代数式求值，正确掌握运算法则是解题关键．
根据题意，利用同底数幂的除法运算法则，由已知条件求出与的值，然后将原代数式变形，代入所求值即可得到结果．
【详解】解：
．
∵，，，
∴，，
∴，
原式．
故答案为：4053．
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