第21-22章（一元二次方程和二次函数 ） 易错知识点填空题 强化练 2025-2026学年初中数学人教版九年级上册期末复习

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第21-22章（一元二次方程和二次函数 ） 易错知识点填空题
强化练 2025-2026学年初中数学人教版九年级上册期末复习
1．将二次函数的图象平移，使它经过点，则平移后所得图象对应的函数解析式可以是 （写出一种情况即可）．
2．在二次函数中，当时，y的值是 ．
3．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ．
4．是方程的一个根，则代数式的值是 ．
5．一元二次方程的一般形式是 ．
6．如图，抛物线与x轴只有一个交点，并与平行于x轴的直线l交于A，B两点，直线l与y轴相交于点M．若，则的长为 ．
7．如图，某运动员推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则此运动员将铅球推出的距离是 ．
8．如图，点是正方形的边上的一个动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，面积的最小值为 ．
9．如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为，现要对这座古桥进行加固，须临时安装一些垂直于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆之间的距离为，但最边缘的支撑杆到桥洞底部的的距离可以不大于，即图中，，则最多可安装支撑杆 条．

10．已知抛物线 的对称轴为直线．
（1）的值为 ．
（2）若抛物线 向下平移个单位长度后，在范围内与轴只有一个交点，则的取值范围是 ．
11．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是 ．
12．二次函数的函数值自变量之间的部分对应值如表：此函数图象的开口方向是 (填“向上”或“向下”)；当时， ．
13．如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为 ．
14．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
15．已知方程的两根分别为，，则的值为 ．
16．如图，是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形的面积是小正方形面积的25倍，那么 ．
17．实数a，b，c满足．
（1）当时，则 ；
（2）实数a的取值范围是 ．
18．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”，已知关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则c的值为 ．
19．设，是关于x的方程的两根，且，则m的值是 ．
20．已知，是一元二次方程的两根，求的值为
21．关于的一元二次方程的常数项是，则的值为 ．
22．如图，已知抛物线与y轴交于点C，点P在抛物线上，点D的坐标为，且以为底的是等腰三角形，则点P的坐标为 ．
23．二次函数为常数，且经过，一次函数经过，一次函数经过．已知，，其中为整数，则的值为 ．
参考答案
1．（答案不唯一）.
【分析】二次函数图象平移时，二次项系数不变（本题中二次函数的二次项系数为，平移后仍为）可设平移后函数的解析式（以简单的上下平移为例，设为），再将点代入求解参数．
【详解】解：设平移后所得图象对应的函数解析式为
因为平移后的图象经过点，代入得：
解得：
所以，平移后所得图象对应的函数解析式可以是（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，解题关键是掌握“二次函数平移时二次项系数不变”的性质，通过设平移后的解析式，代入已知点坐标求解参数．
2．0
【解析】略
3．
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行解答即可．
【详解】解：依题意可得，
解得，
故答案为：．
4．
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，以及考查了整体代入思想．
先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解： a是方程的一个根，
，即，
．
故答案为：．
5．
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号，进而合并同类项求出即可．
【详解】解：
，
整理得：
故答案为：
6．9
【详解】设，则是方程的两个根，．，，
．
抛物线与x轴只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
，
解得，即的长为9．
7．
【解析】略
8．
【分析】本题考查的是二次函数的应用、正方形性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题关键，过点F作交延长线于点H，先证，设，用含a的式子表示，再根据二次函数性质求最值即可．
【详解】解：过点F作交延长线于点H，
，
在正方形中，，
，
，
四边形是直角梯形，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
面积的最小值为，
故答案为：．
9．14
【分析】本题考查二次函数的应用，关键是利用数形结合的思想解答．
令，求出的值，然后结合实际情况得出结论．
【详解】解：令，则，
解得或，
∴，
∵相邻支撑杆之间的距离为，，，
∴在轴右侧，共7条，
同理在轴左侧最多安装7条，
∴最多可安装支撑杆14条，
故答案为：14．
10．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由题意可知，求出的值即可；
（）由题意可知平移后函数解析式为，然后通过二次函数的平移，二次函数的性质即可求解．
【详解】（）由题意可知，
解得，
故答案为：；
（）由题意可知平移后函数解析式为，
当顶点在轴上时，，
解得，即需向上平移个单位长度，不符合条件；
由于抛物线关于对称，
∴抛物线在内对称，
若存在交点，始终有两个交点，若只有一个交点，则抛物线与轴交点只能在，
故当时，，解得，
当时，，解得，
∴的取值范围是，
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，
先配方可得抛物线的性质，再根据题意得，求出解集即可．
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线开口向上，对称轴是，当时，有最小值，离对称轴越远函数值越大．
∵，当时，函数取最大值，当时，函数取最小值，
∴，
解得．
故答案为：．
12． 向上
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并理解是关键．依据题意，根据抛物线的对称性，、时的函数值相等，然后列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，、时的函数值都是相等，
此函数图象的对称轴为直线，即直线．
又当时，随的增大而减小，
抛物线开口向上．
抛物线的对称轴是直线，
当时与当时的函数值相等．
当时，，
当时，．
故答案为：向上，．
13．100
【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为225，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可．
【详解】解：根据图象可以得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为，根据题意得出：，
解得：，（不合题意舍去），
故最小的数为：9，
中间一行的数字分别为：15，16，17，18，
最大的数为：25，
故这6个数的和为：．
故答案为：100．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用、数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键．
14．且
【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，首先将方程化为一般形式，进一步利用根判别式求解即可．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．
【详解】解：由得：，
∵关于的一元二次方程有实数根，
∴且，
解得：且，
即的取值范围是且．
故答案为：且．
15．
【分析】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之间的关系，得到，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴
；
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，全等三角形的性质，设，则，可得，由勾股定理可得，则，进而可得，解得，据此可得答案．
【详解】解：设，则，
∴，
在中，由勾股定理得，即，
∵大正方形的面积是小正方形面积的25倍，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴
∴，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是根据式子特点，构造一元二次方程：
（1）把代入两个式子，进行求解即可；
（2）根据，得到，得到为一元二次方程的两个根，根据根的判别式，列出不等式求出的范围即可．
【详解】解：（1）把代入，得：
，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴可以看作是一元二次方程的两个根，
∴，
解得：；
故答案为：．
18．3
【分析】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解，先解一元一次方程得出，再结合题意得出是一元二次方程的解，代入计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：解方程可得：，
∵关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，
∴是一元二次方程的解，
∴，
∴，
故答案为：．
19．8
【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系可得，结合，推出，代入得到关于m的方程，解方程即可．
【详解】解：，是关于x的方程的两根，
，
，
，
将代入，得：，
解得，
故答案为：8．
20．100
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出，，从而得出，求出，整体代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
∴，
∴
，
∴
．
故答案为：．
21．
【分析】本题考查了一元二次方程的定义及一般式，根据一元二次方程的常数为可得，可得的值，再根据二次项系数不等于即可求解，掌握一元二次方程的定义及一般式是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
解得或，
∵方程是关于的一元二次方程，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
22．或
【分析】本题主要考查了二次函数综合题，二次函数的对称性，等腰三角形三线合一性质等知识，正确的计算是解题的关键．
点的坐标为，由等腰三角形三线合一的性质可得出满足条件的点的纵坐标为，把代入函数解析式求出的值即可得出点的坐标．
【详解】解：当时，，则点C的坐标为．
是以为底的等腰三角形，
为直线与抛物线的交点．
当时，，
解得，
∴点P的坐标为或．
故答案为：或．
23．或5/5或
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合．根据二次函数对称轴的性质，一次函数与坐标轴的交点坐标列式计算即可．
【详解】解∶∵二次函数为常数，且经过，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵一次函数经过，一次函数经过．
∴，
当时，
，，
∴，，
∵，，为整数，
∴，
此时；
当时，，，
，，
∴，，
∵，，为整数，
∴，
此时；
故答案为：或5
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