第21-22章（一元二次方程和二次函数 ） 解答题 强化练 2025-2026学年初中数学人教版九年级上册期末复习

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第21-22章（一元二次方程和二次函数 ） 解答题 强化练
2025-2026学年初中数学人教版九年级上册期末复习
1．解下列方程：
(1)；
(2)．
2．已知：平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根，
(1)试说明：无论m取何值方程总有两个实数根．
(2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？
3．在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为．
(1)若，求该抛物线的对称轴；
(2)已知，抛物线上，若对于，，都有，求的取值范围．
4．商场销售一批衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．
(1)若商场平均每天要盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？
(2)要使商场平均每天盈利1400元，可能吗？请说明理由．
5．定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“同步方程”．例如，方程是“同步方程”．
(1)下列方程是“同步方程”的是________（填序号）；
①，②，③；
(2)若方程是“同步方程”，求的值；
(3)若方程为“同步方程”，直接写出满足的数量关系．
6．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单．
例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成：
(1)___________；
(2)，求___________；
(3)已知，求
7．已知关于x的一元二次方程．
(1)当m为何值时，该方程有两个实数根？
(2)若边长为的菱形的两条对角线的长分别为该方程两根的2倍，求m的值．
8．如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米；
(2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽；
(3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由．
9．【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
①用配方法分解因式：
解：原式
②利用配方法求最小值：求最小值．
解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是．
【应用】根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：________=（x- ）2；
（2）将变形为的形式，并求出的最小值；
【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由．
10．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值.
解：设，则原方程变为，整理得，，
∴，∵，∴.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.
(1)已知实数x，y满足，求的值；
(2)设a，b满足等式，求的值；
(3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数.
11．我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解．
（1）方程的解是，______，_______；
（2）用“转化”思想求方程的解；
（3）如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点处，沿草坪边沿、走到点处，把长绳段拉直并固定在点处，然后沿草坪边沿、走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点处，求的长．
12．在平面直角坐标系中，已知抛物线L：经过，与y轴交于点B，连接，．
(1)求a的值及点B的坐标；
(2)将抛物线L平移得到抛物线，设平移后点A，B的对应点分别为，若平移后抛物线的顶点落在x轴上，且，求平移后抛物线的表达式．
13．小朋在学习过程中遇到一个函数．
下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：
(1)观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有______值（填“最大”或“最小”），这个值是______；
(2)进一步研究，当时，y与x的几组对应值如下表：
x 0 1 2 3 4 …
y 0 2 1 0 2 …
结合上表，画出当时，函数的图像；
(3)结合（1）（2）的分析，解决问题：
若关于x的方程有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为______（结果保留小数点后一位）．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为点C，其顶点D的横坐标为1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求四边形的面积；
(3)若直线与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得有最大值，并求出最大值；
(4)当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围．
15．已知二次函数（，为常数，）．
(1)求证：若该函数的图象与轴一定有两个不同的交点；
(2)若，，该函数图象经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，求的取值范围．
(3)若该二次函数满足：当时，总有随的增大而减小，且图象经过点，求的最大值．
16．综合与实践
项目式学习：安全用电，防患未然
项目背景 近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升．据悉，约的火灾都在充电时发生．某校八年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．
素材1 调查分析：图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2是其喷射截面示意图，在中，米，喷嘴O到地面的距离米．
素材2 模型构建：由于干粉灭火器只能扑灭明火，不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头，如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线． 学校的停车棚左侧靠墙建造，如图4，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 已知消防喷淋头的出水口M到墙面的水平距离为2米，到地面高度为米，即米，米，水喷射到墙面D处，且米．
素材3 问题解决：已知车棚宽度为8米，电动车的电池距离地面高度为米．创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池．
任务解决
任务1 （1）求图2中地面有效保护直径的长度；
任务2 （2）求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； （3）按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为多少米？
任务3 （4）喷淋头N距离喷淋头M至少为多少米？
17．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是x轴下方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m．
(1)请直接写出b，c的值；
(2)如图，当时，求m的值；
(3)过点P作y轴的平行线交于点M，点N在上，且，的长记为l．
①求l关于m的函数解析式；
②当l取某一个值时，是否存在三个符合条件的点P，其中两个点的横坐标之差为1？若存在，求出此时l的值；若不存在，请说明理由．
18．如图，已知抛物线经过点，与轴交于点，点关于抛物线对称轴的对称点是点，且点的横坐标与纵坐标相等．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)直线与抛物线交于点，与线段交于点（不与点、重合），那么的值是否随的变化而变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，试说明如何变化；
(3)上下平移该抛物线，如果新抛物线上存在点，轴上存在点，使得四边形是菱形，求新抛物线的表达式．
19．在平面直角坐标系中，设二函数y1＝（x﹣m）（x＋m＋2），其中m≠0
（1）求证：函数y1与x轴有交点；
（2）若函数y2＝mx＋n经过函数y1的顶点，求实数m，n的关系式；
（3）已知点P（﹣3，a），Q（x1，b）在函数y1的图象上，若a≥b，求x1的取值范围．
20．如图，抛物线经过点、、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上的动点，当时，试确定m的值，使得的面积最大；
（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．(1)；
(2)，．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的常用方法有：直接开方法、配方法、公式法、分解因式法．
利用完全平方公式分解因式，可得：，从而可得方程的解为；
用十字相乘法分解因式，可得：，因为两个数的乘积为，所以这两个因数中致少有一个为，可得：或，分别解这两个一元一次方程即可得到一元二次方程的解．
【详解】（1）解：，
分解因式可得：，
解得：；
（2）解：，
分解因式可得：，
或，
解得：，．
2．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的相关知识，平行四边形的性质．
（1）根据根的判别式证明即可；
（2）先由的长为2求出，进而可知原方程为，根据根与系数的关系求出、的和，即可求出平行四边形的周长.
【详解】（1）证明：∵，
∴无论m取何值方程总有两个实数根；
（2）解：∵、的长是关于x的方程的两个实数根，的长为2，
∴，
解得：，
即，
∴、的和，
∵平行四边形，
∴，，
∴平行四边形的周长．
3．(1)直线
(2)
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
（1）把代入，再将函数解析式化成顶点式，即可求解；
（2）根据题意，得抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为，由抛物线的性质得当时，y 随x增大而增大，当时，y 随x增大而减小，再根据，，则当点A在点B左侧时，则，当点A在点B右侧时，则．然后分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴抛物线的对称轴为直线．
（2）解：∵
∴抛物线的开口向上，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
∵，，
当点在点左侧时，即，
∴，
当点在点右侧时，即，
∴．
①当，即时，此时点在对称轴右侧或顶点处，
当点在点左侧时，即，
由图象知，恒成立，
即时符合题意；
当点在点右侧时，即，
则，
∵关于对称轴的对称点，
此时要使，应有：，
化简得：，
又∵，
∴应有，
即；
综上，；
②当，即时，此时点在对称轴左侧，
当点在点左侧时，即，
则，
∵关于对称轴的对称点，
此时要使，应有：，
化简得：，
又∵，
∴，
即；
当点在点右侧时，即，
由图象知，恒成立，
∴；
综上：；
由①②得，．
∵，，
∴
∴
4．(1)15元
(2)不可能；理由见解析
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用和根的判别式，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利每天销售的利润是解题关键．
（1）利用衬衣每件盈利平均每天售出的件数每天销售这种衬衣利润，列出方程解答即可．
（2）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以．
【详解】（1）解：设每件衬衫应降价x元．
根据题意，得：，
整理，得：，
解得，
答：每件衬衫应降价15元．
（2）解：不可能．理由如下：
设每件衬衫应降价x元，
，
整理得，
，方程无实数根．
商场平均每天不可能盈利1400元．
5．(1)①②
(2)或
(3)
【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根与系数的关系的应用，熟练掌握新定义，正确应用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据新定义同步方程的概念，逐一验证三个方程，得到结果；
（2）根据同步方程的定义，结合一元二次方程根与系数的关系，得到，从而得到a的值；
（3）根据同步方程的定义，结合一元二次方程根与系数的关系，得到结果．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
∴，
∴是“同步方程”；
②∵，
∴，
∴，
∴是“同步方程”；
③∵，
∴，
∴，
∴，
∴不是“同步方程”，
故答案为：①②；
（2）解：∵是“同步方程”，
∴，
∴，
∴当时，，
当时，，
故或；
（3）解：∵为“同步方程”，
∴，，
∴，
∴．
6．(1)
(2)9
(3)
【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，解高次方程和一元二次方程的方法，学会整体代入思想是解题的关键．
（1）把看成一个整体，利用平方差公式和完全平方公式计算即可；
（2）把看成一个整体，利用平方差公式计算解方程即可；
（3）把看成一个整体，利用完全平方公式计算解方程即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
，
，
，
；
（3）解：令，
原方程变形为：，
，
，
，
，
．
7．(1)
(2)
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，菱形的性质，勾股定理的应用；
（1）根据，再建立不等式求解即可；
（2）设方程的两根分别为、，由根与系数的关系得：，结合菱形的边长为，两条对角线的长为，满足，即：，再建立方程求解并检验即可．
【详解】（1）解：方程有两个实数根，
，
解之得：．
当时，方程有两个实数根；
（2）解：设方程的两根分别为、，
由根与系数的关系得：，
由题意可知：菱形的边长为，两条对角线的长为，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴其半对角线长与边长构成直角三角形，
∴，
即，
，
解之得：或．
，，
，，
当时，，．
当时，，
不合题意，舍去，
又由（1）知：，
．
8．(1)
(2)宽为5米，长为米
(3)不能，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）由题意列出代数式即可．
（2）根据花圃的面积刚好为平方米，结合题意可列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
（3）设花圃的一边长为米，则，根据花圃的面积为平方米，列出一元二次方程，然后由根的判别式，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽长为米，
∴另一边的长为米，
故答案为：；
（2）解：∵花圃的面积刚好为平方米，
∴，
化简得：，
解得：，，
∵墙的最大可用长度为米，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意；
答：此时花圃的长与宽边分别为米和5米；
（3）解：建成花圃的面积不可能为平方米，理由如下：
设花圃的一边长为米，
则，
根据题意可得：，
整理得：，
∵，
∴方程无解，
∴建成花圃的面积不可能为平方米．
9．【应用】（1）36，6；（2），最小值【探究】，见解析
【分析】本题考查配方及其应用，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键．
（1）根据完全平方公式的特征求解．
（2）先配方，再求最小值．
探究：作差后配方比较大小．
【详解】应用：（1）∵
故答案为：36，6．
（2）
∵，
∴当时，原式有最小值．
【探究】因为，，
；
因为，
所以，
所以，
即．
10．(1)
(2)
(3)这四个连续正整数为1，2，3，4
【分析】（1）设，则，解得：，由，得，即可求解，
（2）设，则，或，由，得，即可求解，
（3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，由x为正整数，得，解得，即可求解，
本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．
【详解】（1）解：设，则，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，
（2）解：设，则，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，
（3）解：设最小正整数为x，则，即：，
设，则，
解得：，，
∵x为正整数，
∴，
解得，（舍去），
故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4．
11．（1）；；（2）；（3）或．
【分析】（1）先将该方程转化成，然后再求解即可；
（2）由可得且x＞0，然后解出x即可；
（3）设，则，然后根据勾股定理求得PB和PC，然后再根据列方程求出x即可．
【详解】解：（1），
．
，
则或或，
解得：、、．
故答案为：；；
（2），
，即，
，
则或，
解得：，，
又∵，
∴；
（3）设，则，
，，
，，
，
，
两边平方，整理可得：
再两边平方，整理可得：，
解得、，
则的长为或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及转换法的应用，掌握转换法是解答本题的关键．
12．(1)，
(2)或
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意，将点代入抛物线中，则可得的值，进而可得抛物线的表达式为，然后令，则，进而可得的坐标；
（2）依据题意，由（1）抛物线的表达式为，可得抛物线的顶点坐标为，又平移后抛物线的顶点落在轴上，故抛物线向下平移了4个单位，则可设平移后抛物线的表达式为，结合，可得点的纵坐标均为，故点的横坐标为，点的横坐标为，从而，又，则，求出后即可判断得解．
【详解】（1）解：由题意，将点代入抛物线中，
，
，
∴抛物线的表达式为，
∴令，则，
∴；
（2）由题意，∵抛物线的表达式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵平移后抛物线的顶点落在轴上，
∴抛物线向下平移了4个单位，
∴可设平移后抛物线的表达式为，
，
∴点，的纵坐标均为，
∴点的横坐标为，点的横坐标为，
，
又∵，
，
∴或，
∴平移后抛物线的表达式为或．
13．(1)最小；0
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据解析式，即可求解；
（2）根据描点法画函数图像；
（3）根据图像法求解即可，作经过点的直线，与的另一个交点的横坐标即为方程的解
【详解】（1）解：∵，
∴y有最小值，这个值是0；
故答案为：最小；0
（2）根据列表，描点连线，如图，
（3）依题意，有一个实数根为2，
则过点
的解即为与的交点的横坐标，
且过点
如图，作过点的直线，与交于点
根据函数图像的交点可知点的横坐标约为
则该方程其它的实数根约为
故答案为：
【点睛】本题考查了绝对值与平方的非负性，根据列表描点连线画函数图像，根据函数图像的交点求方程的解，数形结合是解题的关键．
14．(1)
(2)
(3)时，最大值为
(4)
【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）根据顶点横坐标为1可得对称轴为直线，据此利用对称轴计算公式结合待定系数法求解即可；
（2）求出C、D的坐标，连接，根据列式求解即可；
（3）求出的长，进而求出的长，再利用二次函数的性质求解即可；
（4）分，，，三种情况根据二次函数的增减性，表示出对应情形下函数的最大值和最小值，结合最大值与最小值的差为9讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，且顶点横坐标为1，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为．
（2）解：令，则，解得，，
∴，
当时，，
∴，
如图所示，连接，
∵，，，
∴．
（3）解：当时，，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为．
（4）解：∵对称轴为直线，
∴抛物线上横坐标为的点关于直线的对称点的横坐标为4，
①当时，
当时，最大值为，
当时，最小值为，
∴，解得（舍）．
②当时，
当时，最大值为4，当时，最小值为，
∴，
∴；
③当时，
当时，最大值为4，当时，最小值为，
∴，
∴（舍），（舍）
综上所述，n的取值范围为．
15．(1)见解析；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与轴交点，二次函数的最值，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由，，即可求解；
（）若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则应用数形结合和分类讨论，得到当时，，可求解得；时，，可求解得无解集；从而得出；
（）通过数形结合和分类讨论，得到当时，总有随的增大而减小，则，；由该抛物线经过点得到；从而得到，即是关于的二次函数，进而用二次函数的图像与性质求解的最大值．
【详解】（1）证明：∵，，
∴该函数图象与轴一定有两个不同的交点；
（2）解：∵，，
∴，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∵，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，
∴点在点的左侧时，
∴，
解得，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴；
当点在点的右侧时，即，解得且，无解集，
∴点在点的右侧，不成立，
综上可得的取值范围为；
（3）解：由抛物线的对称轴为直线，
当，即时，抛物线的开口向上，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，总是存在有随的增大而增大，结论不成立；
当，即时，抛物线开口向下，
∴当时，随增大而减小，
∵当时，总有随的增大而减小，
∴抛物线的对称轴不在轴右侧，即，
∴，，
∵抛物线过点，
∴，即，
∴，即是的二次函数，其图象为一条抛物线，这条抛物线的开口向下，对称轴为直线
∴当时，随的增大而减小，
∵，
∴当时，的最大值为，
∴当仅当，时，的最大值是．
16．（1）；（2）；（3）米；（4）米
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，勾股定理，三线合一定理，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由三线合一定理可得，利用勾股定理求出的长即可得到答案；
（2）由题意得，点M的坐标为，，据此把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；
（3）根据（2）所求，求出当函数值为0时的自变量的值即可得到答案；
（4）根据题意可得点N在点M右侧，设二者相距t米，则喷淋头N的水柱外层所在抛物线的函数解析式为，求出当抛物线恰好经过时，t的值即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
在中，由勾股定理得米，
∴米，
∴图2中地面有效保护直径的长度为；
（2）由题意得，点M的坐标为，，
设该水柱外层所在抛物线的函数解析式为，
把代入中得：，解得，
∴该水柱外层所在抛物线的函数解析式为；
（3）在中，当时，解得或，
∴，
∴米，
∴喷淋头M的地面有效保护直径为米；
（4）设喷淋头N在喷淋头M的右侧，且二者相距t米，
则喷淋头N的水柱外层所在抛物线的函数解析式为，
当抛物线恰好经过时，
则，
解得或（舍去），
∴喷淋头N距离喷淋头M至少为米．
17．(1)，；
(2)
(3)①，②存在，
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，平行线的性质是解题的关键．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）在上截取，连接，在中，，求出，再由，得到，直线与抛物线的交点即为所求；
（3）①由题意可知的中点纵坐标与N点纵坐标相同，求出，则；
②设其中两个点的横坐标分别为s，t，且，则，根据求出，即可求l的值．
【详解】（1）解：将A、B代入，
∴，
解得；
（2）由（1）可得，
在上截取，连接，
∵，
∴，
在中，，
解得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∴直线BP的解析式为，
当时，解得或，
∴；
（3）①∵，轴，
∴的中点纵坐标与N点纵坐标相同，
直线BC的解析式为，
∵，
∴，
∴的中点坐标为，
∴，
∴；
②存在三个符合条件的点P，其中两个点的横坐标之差为1，理由如下：
设其中两个点的横坐标分别为s，t，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
18．(1)；
(2)的值不变，且，理由见解析
(3)新抛物线的解析式为或．
【分析】（1）由题意求得，，再利用待定系数法求解即可；
（2）的值不变，且，先求得直线的解析式为，求得，，再用表示出，和的长，代入求解即可；
（3）设平移后的解析式为，再设，，由四边形是菱形，则其对角线和相互平分，且，利用中点坐标公式和两点之间的距离公式列式计算即可求解．
【详解】（1）解：对于，
当时，，
∴，
∵点关于抛物线对称轴的对称点是点，
∴，又点的横坐标与纵坐标相等，
∴，
∴，
将代入得，
整理得，
∴或，
当时，，，此时和重合，不符合题意；
∴，
∵抛物线经过点，
∴，即，
解得，
∴，，
∴该抛物线的表达式为；
（2）解：的值不变，且，理由如下，
如图，
∵直线与与线段交于点（不与点、重合），
∴，
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：设平移后的解析式为，
∵点在上，点在轴上，
∴设，，
∵四边形是菱形，
∴其对角线和相互平分，且，
∵，，
∴的中点为，
的中点为，
∴，，
解得，
将代入，
并整理得，
∴，
由两点之间的距离公式得，
，
∵，
∴，
∴，即，
当时，，
则，
∴，
∴；
当时，
，
则，
∴，
∴；
综上，新抛物线的解析式为或．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、轴对称的性质、平行四边形的性质及中点坐标公式、解一元二次方程，熟练掌握轴对称的性质、二次函数的图象与性质、平行四边形的性质是解题的关键．
19．（1）证明见详解；（2）实数m，n的关系式为：；（3）的取值范围为：．
【分析】（1）将二次函数解析式先进行化简，然后根据判别式进行判断即可；
（2）将化为顶点式，然后代入解析式，化简即可得出实数m，n的关系式；
（3）根据二次函数的基本性质，确定对称轴及开口方向，作出草图，结合题意即可得出取值范围．
【详解】解（1），
，，，
，
∴函数与x轴有交点；
（2），
∴顶点坐标为：，
∵函数经过函数的顶点，
∴，
化简可得：，
∴实数m，n的关系式为：；
（3）抛物线的对称轴为：，
∵二次项系数，开口向上，作草图如下：
∴（-3，a）与（1，a）关于对称，
∵，
∴根据函数图象的性质可得：，
∴的取值范围为：．
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质、与一元二次方程的联系，函数增减性，理解题意，结合函数图象是解题关键．
20．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）据题意可设抛物线的解析式为，将点代入解出a，即可求出抛物线的解析式；
（2）先求出直线AC的解析式，然后根据当时，点在直线上方，过点P作x轴的垂线与线段相交于点Q，可将分别代入和得，，从而得出PQ的代数式，从而可求出m的值；
（3）由题意可得，根据，，可求出，连接，过B作的垂线交抛物线于点D，交于点H，可得，根据，可得与关于的垂直平分线对称，即关于抛物线的对称轴对称，即点D与点C关于抛物线的对称轴对称，从而可求出点D的坐标．
【详解】解：（1）据题意可设抛物线的解析式为，
将点代入，可得
∴抛物线的解析式为；
（2）设直线AC的解析式为：，
将、代入得，
解得，
∴直线的解析式：，
当时，点在直线上方，
过点P作x轴的垂线与线段相交于点Q，
将分别代入和得，，
∴
∵，
∴当且仅当时，取得最大值，
此时最大，
∴；
（3）由、、得，
∵，，
∴，
连接，过B作的垂线交抛物线于点D，交于点H，
则，
，
∵，
∴与关于的垂直平分线对称，即关于抛物线的对称轴对称，
∴点D与点C关于抛物线的对称轴对称，
又∵，
∴点D的坐标为（-2，3）．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的性质，求一次函数解析式，结合题意，正确添加辅助线，灵活运用知识点是解题关键．
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