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一元二次方程 单元综合巩固测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．方程2x2+6x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2等于（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
2．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．x2=4的根为x=2 B． 是x2=2的根
C．方程 的根为 D．x2=﹣a没有实数根
4．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．100×80﹣100x﹣80x=7644 B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644
C．（100﹣x）（80﹣x）=7644 D．100x+80x=356
5．将方程 左边变成完全平方式后，方程是（ ）
A． B． C． D．
6．下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A．x2+x﹣2＝0 B．x2﹣2x＝0 C．x2+x+5＝0 D．x2﹣2x+1＝0
7．一元二次方程的两根是等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为（ ）．
A．15 B．16 C．16或17 D．15或16
8．下列关于x的一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（ ）
A．a＞0 B．a=0 C．c＞0 D．c=0
10．设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．方程的解是 ．
12．已知等腰三角形的每条边长都是一元二次方程 的根，则这个三角形的周长为 ；
13．若方程 x2﹣5x﹣1=0 的两根为
x1，x2，则
x1·x2﹣x1﹣x2= ．
14．关于x的一元二次方程x2﹣kx+1=0有两个相等的实数根，则k= ．
15．已知，则的值为 ．
16．设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
18．已知关于 的方程 ．
（1） 求证：方程总有两个实数根．
（2） 若方程的两个根都是正整数，求正整数 的值．
19．已知关于x的方程(m－1)x2－x－2＝0.
（1）当m为何实数时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若x1，x2是方程的两个根，且xx2＋x1x＝－，试求实数m的值．
20．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米.
（1）花圃的面积为 米2（用含a的式子表示）；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为105920元？
21．阅读第（1）题的解题过程，再解答第（2）题：
（ 1 ）例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0.
解：当x≥0时，原方程可化为x2﹣x﹣2＝0.
解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意.舍去）
当x＜0时，原方程可化为x2+x﹣2＝0.
解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意.舍去）
∴原方程的解是x1＝2，x1＝﹣2.
（ 2 ）请参照上例例题的解法，解方程x2﹣x|x﹣1|﹣1＝0.
22．如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2米的正方形后（剩下的部分做成一个）容积为90立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面积的长比宽多4米，求矩形铁皮的面积．
23．每年淘宝网都会举办“双十一”购物狂欢节，许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售一件A商品的成本为36元，网上标价为110元．“双十一”活动当天，为了吸引买主，连续两次降价销售A商品，问平均每次降价率为多少时，才能使这件A商品的利润率为10%？
24．设实数分别满足，并且，求的值.
25．“低碳生活，绿色出行”，2017年1月，某公司向深圳市场新投放共享单车640辆.
（1）若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆.请问该公司4月份在深圳市新投放共享单车多少辆？
（2）考虑到自行车市场需求不断增加，某商城准备用不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，已知A型的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆。假设所进车辆全部售完，为了使利润最大，该商城应如何进货？
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一元二次方程 单元综合巩固测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．方程2x2+6x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2等于（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ；
故答案为：C．
【分析】先判断方程是否有解，然后根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到答案.
2．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意知，，
，
∴，
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程配方的口诀：中间项系数一半的平方作为第三项，即可求解。
3．下列说法正确的是（ ）
A．x2=4的根为x=2 B． 是x2=2的根
C．方程 的根为 D．x2=﹣a没有实数根
【答案】B
【解析】【解答】解：A、x2=4的根为x=±2，故本选项错误；
B、x= 时，x2=2，所以x= 是x2=2的根，故本选项错误；
C、∵△=0﹣4× =﹣1＜0，∴方程 没有实数根，故本选项错误；
D、∵△=0﹣4a=﹣4a，∴当a＞0时，方程没有实数根；当a≤0时，方程有实数根，故本选项错误；
故选B．
【分析】A、解方程即可判断；根据一元二次方程的根的定义即可判断B；利用根的判别式即可判断C、D．
4．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．100×80﹣100x﹣80x=7644 B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644
C．（100﹣x）（80﹣x）=7644 D．100x+80x=356
【答案】C
【解析】【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有
（100﹣x）（80﹣x）=7644，
故选C．
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
5．将方程 左边变成完全平方式后，方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：x2+8x+9=0，
移项：x2+8x=-9，
配方：x2+8x+16=16-9，
(x+4)2=7.
故答案为：B.
【分析】把原方程移项、左边配方即得结果.
6．下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A．x2+x﹣2＝0 B．x2﹣2x＝0 C．x2+x+5＝0 D．x2﹣2x+1＝0
【答案】C
【解析】【解答】解：A、b2-4ac=1-4×1×（-2）=9＞0，方程有两个不相等的树根，A不符合题意；
B、x2-2x=0，变形可得x（x-2）=0，解的x=0或2，有实根，B不符合题意；
C、b2-4ac=1-4×1×5=-19＜0，方程没有实根，C符合题意；
D、x2-2x+1=0，变形可得（x-1）2=0，解得x=1，方程有实根，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程根的判别式判断A和C选项；根据因式分解求B选项方程的解；根据完全平方式解方程判断D选项即可.
7．一元二次方程的两根是等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为（ ）．
A．15 B．16 C．16或17 D．15或16
【答案】C
【解析】【解答】解：，
因式分解得，，
或，
解得，，
当5是等腰三角形的腰长时，三角形的三边长分别为5，5，6，
则周长为：；
当6是等腰三角形的腰长时，三角形的三边长分别为5，6，6，
则周长为：；
故答案为：C．
【分析】先利用十字相乘法求出x的值，再利用等腰三角形的性质分类讨论：①当5是等腰三角形的腰长时，②当6是等腰三角形的腰长时，再利用三角形三边的关系及三角形的周长公式求解即可.
8．下列关于x的一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、
∴此方程有两个相等的实数根，
故本选项符合题意；
B、
∴此方程没有实数根，
故本选项不符合题意；
C、
∴此方程有两个不相等的实数根，
故本选项不符合题意；
D、
∴此方程有两个不相等的实数根，
故本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式逐项判断即可。
9．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（ ）
A．a＞0 B．a=0 C．c＞0 D．c=0
【答案】D
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有实数根，
∴△=（﹣4）2﹣4ac=16﹣4ac≥0，且a≠0，
∴ac≤4，且a≠0；
A、若a＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；
B、a=0不符合一元二次方程的定义，此选项错误；
C、若c＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；
D、若c=0，则ac=0≤4，此选项正确；
故选：D．
【分析】根据方程有实数根可得ac≤4，且a≠0，对每个选项逐一判断即可．本题主要考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
10．设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵方程 有两个不相等的实数根，
∴且，
∴，
解得，
方程有两个不相等的实数根， ，
由根与系数的关系可得，，
又∵，
∴，，
∴，
化简可得：，
将，代入可得，，化简可得
可得或
解得，
综上，a的取值范围是．
故选：D．
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得且，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．根据可得，，即，得到，利用根与系数的关系。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．方程的解是 ．
【答案】，
【解析】【解答】解：由题意得，
∴（x-2）（x-4）=0，
解得，
故答案为：，
【分析】根据十字相乘法因式分解，进而即可解一元二次方程。
12．已知等腰三角形的每条边长都是一元二次方程 的根，则这个三角形的周长为 ；
【答案】6或12或15
【解析】【解答】∵x2-7x+10=0，
∴（x-2）（x-5）=0，
∴x-2=0或x-5=0，
∴x1=2，x2=5，
当腰为2，底边为5时，2+2=4<5，不能构成三角形；
当腰为5，底边为2时，等腰三角形的周长为2+5+5=12；
当腰为2，底边为2时，等腰三角形的周长为2+2+2=6，
当腰为5，底边为5时，等腰三角形的周长为5+5+5=15.
故答案为：6或12或15.
【分析】根据因式分解法求出方程的解为x1=2，x2=5，根据等腰三角形的性质及题意可分四种情况：①当腰为2，底边为5时，②当腰为5，底边为2时，③当腰为2，底边为2时或当腰为5，④底边为5时，利用三角形的三边关系分别解答即可.
13．若方程 x2﹣5x﹣1=0 的两根为
x1，x2，则
x1·x2﹣x1﹣x2= ．
【答案】-6
【解析】【解答】解：∵ 方程 x2﹣5x﹣1=0 的两根为 x1，x2，
∴x1+x2=5，x1x2=-1，
∴ x1·x2﹣x1﹣x2= x1·x2﹣（x1+x2）=-1-5=-6，
故答案为：-6.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得x1+x2=5，x1x2=-1，接着将原式变形为 x1·x2﹣（x1+x2），然后整体代入计算即可.
14．关于x的一元二次方程x2﹣kx+1=0有两个相等的实数根，则k= ．
【答案】±2
【解析】【解答】解：由题意得：△=k2﹣4=0，
解得：k=±2，
故答案为：±2．
【分析】根据题意可得△=0，进而可得k2﹣4=0，再解即可．
15．已知，则的值为 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：∵
∴．
∴，
∴或，
∴或（舍），
∴．
故答案为：5.
【分析】对已知等式进行因式分解可得(a2+b2-5)(a2+b2+2)=0，求解可得a2+b2的值.
16．设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：原式=（x2+2x+1）+（4x2﹣8xy+4y2）+3=4（x﹣y）2+（x+1）2+3，
∵4（x﹣y）2和（x+1）2的最小值是0，
即原式=0+0+3=3，
∴5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为3．
故答案为：3
【分析】将所给等式分为两组进行配方，再利用平方项的非负性可判断所给代数式的最小值为3.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
【答案】解：移项，得，
提取公因式，得，
则或，
解得，．
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。
18．已知关于 的方程 ．
（1） 求证：方程总有两个实数根．
（2） 若方程的两个根都是正整数，求正整数 的值．
【答案】（1）证明：
∴原方程有两个实数根.
（2）∵方程的根都为正整数，m为整数，∴m=1或2.
【解析】【分析】
（1）证明根的判别式大于或等于0，可证得结论。
（2）用求根公式得出方程的解，再根据根是正整数，m是整数，确定m的值。
19．已知关于x的方程(m－1)x2－x－2＝0.
（1）当m为何实数时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若x1，x2是方程的两个根，且xx2＋x1x＝－，试求实数m的值．
【答案】（1）解：由题意得：△＝（－1）2－4×（m－1）×（－2）＝8m－7＞0，∴m＞.又∵m－1≠0，∴m≠1．故m＞且m≠1时，方程有两个不相等的实数根.（2）解：由题意得：x1＋x2＝，x1x2＝－.∵＝x1x2（x1＋x2）＝，∴－·＝，∴（m－1）2＝16，∴m1＝5，m2＝－3．∵m≥且m≠1，∴m＝5.
（1）解：由题意得：△＝（－1）2－4×（m－1）×（－2）＝8m－7＞0，∴m＞.
又∵m－1≠0，
∴m≠1．
故m＞且m≠1时，方程有两个不相等的实数根.
（2）解：由题意得：x1＋x2＝，x1x2＝－.
∵＝x1x2（x1＋x2）＝，
∴－·＝，
∴（m－1）2＝16，
∴m1＝5，m2＝－3．
∵m≥且m≠1，
∴m＝5.
【解析】【分析】（1）判别式：通过 且二次项系数非零，确定 范围.
（2）韦达定理：利用根与系数的关系，将条件式 转化为 ，代入韦达定理表达式列方程；求解验证：解出 后，结合（1）的范围验证，舍去不符合的值.
20．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米.
（1）花圃的面积为 米2（用含a的式子表示）；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为105920元？
【答案】(1)；解：（2）由已知可列式：，解以上式子可得：a1=5，a2=45（舍去），答：所以通道的宽为5米；（3）当a=10时，花圃面积为（60﹣2×10）×（40﹣2×10）=800（平方米）即此时花圃面积最少为800（平方米）．根据图象可设y1=mx，y2=kx+b，将点（1200，48000），（800，48000），（1200，62000）代入，则有1200m=48000，解得：m=40∴y1=40x且有， 解得：，∴y2=35x+20000．∵花圃面积为：（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400，∴通道面积为：2400﹣（4a2﹣200a+2400）=﹣4a2+200a∴35（4a2﹣200a+2400）+20000+40（﹣4a2+200a）=105920解得a1=2，a2=48（舍去）．答：通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元．
（1）
（2）解：由已知可列式：，
解以上式子可得：a1=5，a2=45（舍去），
答：所以通道的宽为5米；
（3）解：当a=10时，花圃面积为（60﹣2×10）×（40﹣2×10）=800（平方米）
即此时花圃面积最少为800（平方米）．
根据图象可设y1=mx，y2=kx+b，
将点（1200，48000），（800，48000），（1200，62000）代入，则有
1200m=48000，解得：m=40
∴y1=40x且有， 解得：，
∴y2=35x+20000．
∵花圃面积为：（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400，
∴通道面积为：2400﹣（4a2﹣200a+2400）=﹣4a2+200a
∴35（4a2﹣200a+2400）+20000+40（﹣4a2+200a）=105920
解得a1=2，a2=48（舍去）．
答：通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元．
【解析】【解答】解：(1)由图可知，花圃的面积为，
故答案为：；
【分析】（1）根据图形，求得花圃的长和宽，然后利用面积公式求解即可；
（2）根据题意可得，解方程即可；
（3）根据函数图象，得到、与x之间的函数关系式，根据题意，求得花圃面积和通道面积，列出方程求解即可．
21．阅读第（1）题的解题过程，再解答第（2）题：
（ 1 ）例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0.
解：当x≥0时，原方程可化为x2﹣x﹣2＝0.
解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意.舍去）
当x＜0时，原方程可化为x2+x﹣2＝0.
解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意.舍去）
∴原方程的解是x1＝2，x1＝﹣2.
（ 2 ）请参照上例例题的解法，解方程x2﹣x|x﹣1|﹣1＝0.
【答案】解：当x﹣1≥0，即x≥1时，
原方程可化为x2﹣x（x﹣1）﹣1＝0
即x﹣1＝0，
解得x＝1
当x﹣1＜0，即x＜1时，
原方程可化为x2﹣x（1﹣x）﹣1＝0
即2x2﹣x﹣1＝0，
解得x1＝﹣0.5，x2＝1（不合题意.舍去）
∴原方程的解为x1＝﹣0.5，x2＝1
【解析】【分析】根据绝对值的意义，分 x﹣1≥0 与 当x﹣1＜0 两种情况去绝对值符号后得出两个方程，分别解方程再检验即可得出原方程的解.
22．如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2米的正方形后（剩下的部分做成一个）容积为90立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面积的长比宽多4米，求矩形铁皮的面积．
【答案】解：设矩形铁皮的宽为x米，则长为（x+4）米，由题意，得
x（x﹣4）×2=90，
解得：x1=9，x2=﹣5（舍去），
所以矩形铁皮的长为：9+4=13米，
矩形铁皮的面积是：13×9=117（平方米）．
答：矩形铁皮的面积是117平方米．
【解析】【分析】设矩形铁皮的宽为x米，则长为（x+4）米，无盖长方体箱子的底面长为（x+4﹣4）米，底面宽为（x﹣4）米，根据运输箱的容积为90立方米建立方程求出其解即可．
23．每年淘宝网都会举办“双十一”购物狂欢节，许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售一件A商品的成本为36元，网上标价为110元．“双十一”活动当天，为了吸引买主，连续两次降价销售A商品，问平均每次降价率为多少时，才能使这件A商品的利润率为10%？
【答案】解：设平均每次降价率为x，由题意得： 110（1-x）2=36×（1+10%） ∴x1=0.4， x2=1.6（不合题意，舍去）答 ：平均每次降价率为40%时，才能使这件A商品的利润率为10%．
【解析】【分析】此题考查一元二次方程的应用，本题等量关系为：连续两次降价后，这件商品的利润率为10%.
24．设实数分别满足，并且，求的值.
【答案】解：由可知，，故．
又，，
故、是方程的两根，
从而可知，，
故．
注意：此处方程是构造成还是主要是根据待求式的结构特点而定，待求式含，构造方程更快．
其实构造成也可，不过此时两根变为和，由根系关系可知
，，故.
【解析】【分析】通过变形可得故、是方程的两根，根据根与系数关系，求出两根之和、两根之积即可求解.
25．“低碳生活，绿色出行”，2017年1月，某公司向深圳市场新投放共享单车640辆.
（1）若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆.请问该公司4月份在深圳市新投放共享单车多少辆？
（2）考虑到自行车市场需求不断增加，某商城准备用不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，已知A型的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆。假设所进车辆全部售完，为了使利润最大，该商城应如何进货？
【答案】（1）解：设平均增长率为x，根据题意得：
640=1000；
解得：x=0.25=25%或x=-2.25(舍去）；
∴四月份的销量为：1000（1+25%）=1250（辆）；
答：新投放的共享单车1250辆。
（2）解：设购进A型车y辆，则购进B型车100-y辆；根据题意可得：
500y+1000(100-y)≤70000；
解得：y≥60；
∴利润W=（700-500）y+(1300-1000)(100-y)
=200y+300(100-y)
=-100y+30000
∵-100＜0，
∴W随着x的增大而减小；
∴当y=60时，利润最大=-100×60+30000=2400（元）；
答：为使利润最大，该商城应购进60辆A型车和40辆B型车。
【解析】【分析】（1）根据1月和3月的销售量求得月平均增长率，然后求出4月份的销量即可。
（2）设购进A型车y辆，则购进B型车100-y辆；根据题意可得：500y+1000(100-y)≤70000；求出答案即可。
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