第23-24章（旋转和圆） 解答题 强化练 2025-2026学年初中数学人教版九年级上册期末复习

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第23-24章（旋转和圆） 解答题 强化练
2025-2026学年初中数学人教版九年级上册期末复习
1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．
(1)平移，使得点A的对应点的坐标为，画出平移后的；
(2)画出关于原点的中心对称图形．
(3)将绕原点逆时针旋转得，画出 ．
2．如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F．
(1)求证：．
(2)若，求的半径．
3．如图，逆时针旋转一定角度后与重合．
(1)若，，指出旋转中心，并求出旋转的度数；
(2)若，且点恰好成为的中点求的长．
4．图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．（请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形）
（1）使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．
（2）使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
5．如图，在中，点D是边的中点，已知，．

(1)画出关于点D的中心对称图形；
(2)根据图形说明线段长的取值范围．
6．如图，中，，D为内一点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为：，，，．
(1)四边形是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点；
(2)若点在上，在上确定一点G，使得平分四边形的面积，则G点的坐标为______．
8．已知：如图1，中，，D、E分别是上的点，，不难发现的关系．
(1)将绕A点旋转到图2位置时，写出的数量关系；
(2)当时，将绕A点旋转到图3位置．
①猜想与有什么数量关系和位置关系？请就图3的情形进行证明；
②当点C、D、E在同一直线上时，直接写出__________．
9．【综合实践】
中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形．
【操作体验】
（1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形；
【深入探究】
（2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
（3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值．
10．如图，正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、DC（或它们的延长线）于点M、N．
(1)如图1，求证：；
(2)当，时，求的面积；
(3)当绕点A旋转到如图2位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．
11．在平面直角坐标系中，点，点在x轴的负半轴上，．将绕点顺时针旋转，得，点旋转后的对应点为．记旋转角为．
(1)如图①，当时，求与的交点的坐标；
(2)如图②，连接，当经过点A时，求的长；
(3)设线段的中点为，连接，求线段的长的取值范围（直接写出结果即可）．
12．如图，在中，弦，于，于．
(1)求证：．
(2)若的半径为5，，求的长．
13．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，请在网格图中进行下列操作：

(1)利用网格作出该圆弧所在圆的圆心点的位置，并写出点的坐标为______；
(2)求出扇形的面积．
14．已知锐角内接于，点是的内心，连接交于点，过点作的平行线．
(1)求证：直线与相切；
(2)若半径为，．连接，求证：
15．如图，正六边形内接于，边长为2．
(1)求的直径的长；
(2)求的度数．
16．如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度．
(1)计算桥拱圆弧所在圆的半径；
(2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？
17．如图，在中，弦，点在上．
(1)如图①，若是的直径，求的度数；
(2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数．
18．如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接．
(1)若，求的度数：
(2)若，，，请直接写出与的数量关系；
(3)找出图中所有与相等的线段，并证明．
19．如图，是的外接圆，分别过点A，C作．
(1)求证：；
(2)若．
①求证：是的切线；
②已知，当四边形的某条边所在直线过圆心O时，求的半径．
20．某种在同一平面进行传动的机械装置如图①所示，图②是它的示意图．其工作原理是滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆也随之运动，并且带动连杆绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以为半径的上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中的数学知识，过点O作于点H，并测得．
【解决问题】
(1)点Q与点O之间的最小距离是______，最大距离是______；
(2)如图③，小明说：“当点Q滑动到点H的位置上时，与相切．”你认为他的说法对吗？为什么？
(3)当绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求扇形的最大面积．
参考答案
1．(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
（1）利用点和点的坐标特征确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出点、的对应点，从而得到；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征得到点、、的坐标，然后描点即可；
（3）利用网格特点和旋转的性质分别画出点、、的对应点，从而得到．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）解：如图，为所作；
（3）解：如图，为所作．
2．(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键．
（1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证；
（2）由勾股定理得，即可求解；
【详解】（1）证明：∵，是半径，
∴，
∴
∴
（2）解：设的半径是，如图，连接 ，
∵
由垂径定理得：，
∵
∴
∴
∴的半径是5.
3．(1)旋转中心为点A，旋转角的度数为；
(2)．
【分析】本题考查的是旋转的三要素，旋转的性质．
（1）先求解，由点A旋转后与自身重合可得旋转中心，由B，D是旋转前后的对应点，可得旋转角的大小；
（2）由旋转的性质，，再根据为的中点，据此求解即可．
【详解】（1）解：在中，，，，
∴，
∴，
∵当逆时针旋转一定角度后与重合，
∴旋转中心为点A，旋转角的度数为；
（2）解：由旋转得，，，
∵为的中点，
∴，
∴．
4．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案；
（2）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案．
【详解】解：（1）如图所示：是轴对称图形，但不是中心对称图形．
（2）如图所示：既是轴对称图形，又是中心对称图形．
．
【点睛】本题主要考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案，正确掌握相关定义是解题关键．
5．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了画中心对称图形，三角形三边关系的应用，根据题意正确作图是解题的关键．
（1）根据中心对称的性质作图即可；
（2）根据中心对称图形的性质和三角形三边关系解答即可．
【详解】（1）解：如图所示，关于点D的中心对称图形即为所求：

（2）解：由中心对称的性质可得，点共线，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
6．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由旋转的性质可知，，从而可求，进而可证，即得出；
（2）设相交于点F，则．由等边对等角结合三角形内角和定理可求出，从而可求出，进而可得．
【详解】（1）证明：由题意可知，，
∴，即．
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，设相交于点F，

∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识．解答此题的关键是要明确：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
7．(1)是中心对称，图见详解
(2)
【分析】本题考查作图旋转变换，中心对称图形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）证明四边形使得平行四边形可得结论；
（2）利用中心对称图形的性质解决问题即可．
【详解】（1）解：是
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是中心对称图形，
如图，对角线的交点即为旋转中心．
（2）因为平分四边形的面积，
所以点是的中点，
设，则有，
，
．
故答案为：．
8．(1)
(2)①，，证明见解析；②或
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．
（1）证明，即可作答；
（2）①同理先证明，即有，在和中，根据，即有，则有，问题的解；
②分两种情况：第一种，当点C、D、E在同一直线上，且点D在线段上时，第二种：当C、D、E在同一直线上，且点E在线段上时，画出图形，结合等腰中，，以及，即可作答．
【详解】（1）解：，
即，
在和中，
，
；
（2）①，，
证明：，
，
即，
在和中，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
因此，；
②当点C、D、E在同一直线上，且点D在线段上时，如图所示，
在等腰中，，
，
，
；
当C、D、E在同一直线上，且点E在线段上时，如图所示，
在等腰中，，
，
，
，
故的度数为或．
9．（1）见详解（2），理由见详解，（3）
【分析】（1）按要求作图即可
（2）根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可；
（3）如图4中，先由旋转的性质得出，则，，，，，再证明，然后在中，由勾股定理求出的长度，即为的最小值；
【详解】（1）图即为所作，
（2）数量关系：，
理由如下：逆时针旋转
由题意得：如图，
，
，即，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
；
（3）解：如图4中，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，，
，
，，，，，
是等边三角形，
，
，
当点，点，点，点共线时，有最小值，
，
，
，
，
故答案为．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质，利用旋转的性质构造全等三角形是本题的关键．
10．(1)见解析
(2)6
(3)，证明见解析
【分析】（1）将绕点逆时针旋转 得到，证明，即可得证；
（2）利用全等得出，用正方形的面积减去即可求出的面积；
（3）将绕点逆时针旋转 得到，证明，即可得证．
【详解】（1）解：如图，将绕点逆时针旋转 得到，
则：，
∴
∵四边形为正方形，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴（SAS），
∴；
（2）解：∵四边形为正方形，
∴，，
∵
∴，
∴，
∵
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
如图，将绕点逆时针旋转 得到，连接，
则：，，
∴
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴（SAS），
∴，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质综合应用．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键．
11．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点作轴，利用，可得，利用和可得点D是OB的中点，从而得知点D的横坐标，利用和是等边三角形可得，即点C的纵坐标，从而得解；
（2）过点作轴，垂足为，推导，从而得出，再计算，用勾股定理得，从而得解；
（3）取线段的中点N，连接、，则，用中位线定理求，用勾股定理求，最后利用求范围．
【详解】（1）解：如图，过点作轴，垂足为，
点，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
是等边三角形，，
，轴，
，
，
点的坐标为；
（2）如图，过点作轴，垂足为，
由旋转得，，
，
，
，
，
，
在中，；
（3）
解：取线段的中点N，连接、，则，
点M是线段的中点，点N是线段的中点，
，
由旋转的性质得：，，
，
，
即．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，中位线定理，勾股定理等知识，掌握旋转的性质和正确作出辅助线是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，勾股定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键；
（1）由题意得，进而问题可求证；
（2）连接，垂径定理得到，由勾股定理，得．根据垂径定理可进行求解．
【详解】（1）证明：，
，
∴，
即，
；
（2）解：连接，
，，
．
．
13．(1)见解析，
(2)
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理以及扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法，理解垂径定理、勾股定理是正确解答的前提．
（1）根据网格和正方形的性质，分别作出、的中垂线，两条中垂线的交点即为圆心，进而写成点的坐标；
（2）利用网格以及勾股定理和逆定理得出以及半径的平方，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
【详解】（1）解：根据网格作，的中垂线，这两条中垂线相交于点，连接，，，则点，

故答案为：；
（2）解：由（1）图可知：
，
，
为直角三角形，，
即的半径为，的度数为，
∴．
14．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）要证明直线l与相切，需依据切线的判定定理（经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线），通过连接，利用内心性质、弧与角的关系及平行线性质推导；
（2）要证明，需连接，结合内心角平分线性质、弧与角的对应关系，通过角的等量代换证明，进而利用等腰三角形判定得出结论．
【详解】（1）解：连接，
∵点是的内心，
∴平分，
∴，
∴，
∴点是的中点，
∴，
∵直线，
∴，
∴直线与相切．
（2）连接，
由（1）得，，
∵所对的圆周角为，，
∴，
∴，
∵点是的内心，
∴平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了切线的判定定理，三角形的内心、圆周角定理，等腰三角形的判定，灵活运用圆的性质（弧、角、弦的关系）、三角形内心性质及切线判定定理是解题关键
15．(1)
(2)
【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理：
（1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果；
（2）根据圆周角定理，即可得出结果．
【详解】（1）解：连接．
∵正六边形内接于，
∴，
又，
∴是等边三角形．
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴．
16．(1)
(2)需要提前增加货物，至少需要增加120吨
【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
（1）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，利用垂径定理可得，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值即可解答；
（2）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点，由题意得四边形是矩形，则有，利用垂径定理得到，进而利用勾股定理求出的长，计算可得货轮露出水面部分的高度应不超过，再结合货轮露出水面部分的实际高度，比较大小得出需要提前增加货物的结论，再结合题意计算增加货物的重量即可．
【详解】（1）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，
由题意得，，，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
桥拱圆弧所在圆的半径为．
（2）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点，
由题意得，四边形是矩形，
，
，
，
由（1）得，，
，
，
要保证该货轮安全通过大桥，则货轮露出水面部分的高度应不超过，
，
需要提前增加货物，
由题意得，至少需要增加吨，
答：要保证该货轮安全通过大桥，需要提前增加货物，至少需要增加120吨．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，正确运用相关知识是解答本题的关键．
（1）根据圆周角的性质和圆内接四边形性质即可求解；
（2）连接，根据等弦对等弧，等弧对等角并结合圆内接四边形性质即可得到和的关系．
【详解】（1）∵是的直径，
又
是等腰直角三角形，
∵四边形是的内接四边形，
（2）如图，连接，
∵四边形是的内接四边形，
18．(1)
(2)
(3)，证明见解析
【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，三角形的内心，等角对等边等知识点，熟练掌握相关定理，性质，是解题的关键．
（1）圆内接四边形的性质，得到的度数，圆周角定理，得到，再利用三角形的内角和定理，求出的度数即可；
（2）同法（1）求出的度数，等弧所对的圆周角相等，得到，根据三角形的内角和定理，得到与的数量关系；
（3）连接，根据三角形的内心是角平分线的交点，结合三角形的外角和圆周角定理，得到，等角对等边，得到，圆周角定理得到，进而得到，得到．
【详解】（1）解：∵内接于，是上任意一点，
∴四边形为圆内接四边形，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴；
（2）同（1）法可得：，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（3），证明如下：
连接，
∵点是的内心，
∴平分，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．(1)见解析
(2)①证明见解析②的半径为或
【详解】解：（1）证明：，
四边形为平行四边形，
．
（2）①证明：如图①，连接．
，
垂直平分．
．
为的半径，
是的切线．
②当直线过圆心O时，如图②，连接与交于点E．
，
，
．
由（2）①知，，
，
，
．
又，
为等边三角形，
，
，
．
，
，
．
垂直平分，
．
；
当直线过圆心O时，如图③．
．
综上所述，的半径为或．
20．(1)4；5
(2)他的说法不对．理由见解析
(3)扇形的最大面积是
【分析】（1）利用垂线段最短即可求出最小值，利用三点共线即可求出最大值；
（2）利用勾股定理的逆定理即可说明即可；
（3）首先确定只有时，点P到的距离最大，设点P在左侧的最远位置为，在右侧的最远位置为，交于点N，连接，过点作于点M，通过证明得到为正三角形即可解决问题．
【详解】（1）解：当点运动到点时，点与的距离最小，
，
与的最小距离为．
当点在一条直线上时，点与的距离最大，
故最大距离为.
故（1）答案为：4 5．
（2）解：他的说法不对．理由如下：
，
即，
与不垂直．
与不相切．
（3）解：的长度固定，为，
只有时，点P到的距离最大．
设点P在左侧的最远位置为，在右侧的最远位置为，交于点N，连接，过点作于点M，如图．
可知四边形是矩形，
．
．
又，
．
．
是等边三角形．
．
．
．
故扇形的最大面积是．
【点睛】本题考查了圆的知识在生产生活中的应用，掌握线段公理、切线的性质、三角形全等的判定及扇形面积公式是解题的关键．
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