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直角三角形 单元全真模拟培优卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列长度的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．8，15，17 B．1.5，2，3 C．6，8，10 D．5，12，13
2．如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c.那么下列条件中能判断△ABC是直角三角形的是 ( )
A．∠A： ∠B： ∠C=3： 4： 5
B．∠A=35°， ∠B=65°
C．
D．a=6， b=10， c=15
3． 已知直角三角形的两条直角边的长度为，斜边长为的直角三角形的个数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（ ）
A． B． C．3 D．
5．如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面距离为7m，现将梯子的底端A向外移到A'，使梯子的底端A'到墙根O距离为3m，同时梯子顶端B下降至B'，那么BB' （ ）
A．等于1m B．小于1m C．大于1m D．以上都不对
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CD是中线，则CD的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
7．如图 ， 在 中， ． 将 绕点 按逆时针方向旋转 ， 得到 ， 连结 ， 则线段 的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足( 则此三角形中最大的角是( )
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定
9．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．7米
10．如图，在矩形中，，为的中点，连接，将沿所在直线翻折至四边形所在平面内，得，延长与交于点，若，则四边形的面积为（ ）
A． B．8 C．12 D．16
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在 Rt △ABC中， ∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，则 .
12．如图， 中， ， 为 的角平分线，与 相交于点 ，若 ， ，则 的面积是 .
13．如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度，则的取值范围是 ．
14．在 中，斜边AB=3．则 = ；
15．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b，那么（a+b）2的值是
16．如图，在中，，，，点在上，过点作的垂线，分别交射线，线段于点，，连接，恰好平分，则线段的长是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图为某小区绿化带示意图，已知米，米，米，米．
（1）试判断的形状，并说明理由；
（2）若铺设一平米草坪费用为元，请问将该绿化带铺满草坪需要多少钱？
18．在△ABC中，∠ACB=90°，D为△ABC内一点，连结BD，DC，延长DC至点E，使得CE=CD.
（1）如图1，延长BC至点F，使得CF=BC，连结AF，EF.若AF⊥EF，求证：BD⊥AF.
（2）连结AE，交BD的延长线于点H，连结CH，请根据题意补全图2.若，猜想线段CD与CH的数量关系，并证明.
19．如图，在△ABC中，，点D在边AC上，BD=8，CD=2.
（1）猜想∠ADB的度数，并说明理由；
（2）若AB=17，求△ABC的面积.
20．如图，已知，.
（1）判断AC与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若CA平分，于点E，，求的度数.
21．如图，在中，，，平分交于．求和的度数．
22．已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，若AB＝5，CD＝3，求BC的长．
23．如图所示，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，BD=13，BE=12，BC=14，求△BCD的面积.
24．如图1，图2，图3，将一块含角的直角三角尺放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点D，E．
（1）如图1，若，，，求的度数；
（2）如图2，改变的位置，使点C在外，且在边的左侧，边与边交于点P，求与之间的数量关系；
（3）如图3，若，，且边与边在同一条直线上，固定三角尺，将绕点D按顺时针方向以每秒的速度进行旋转．
①在绕点D旋转一周的过程中，当边恰好与边平行时，求旋转时间；
②若绕点D不停旋转，在旋转过程中，若边和的一条边平行（不包括共线的情况），则称之为一次“边平行”，直接写出第15次边平行时旋转的时间．
25．
（1）如图1，已知和为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE.
①求证：AD=BE.
②∠AEB的度数为 ▲ .
（2）如图2，若和为等腰三角形，且，点A，D，E在同一直线上，于点，连结BE.
①计算∠AEB的度数.
②写出线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由.
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直角三角形 单元全真模拟培优卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列长度的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．8，15，17 B．1.5，2，3 C．6，8，10 D．5，12，13
【答案】B
【解析】【解答】解：A、82+152=172，能构成直角三角形，不符合题意；
B、1.52+22≠32，不能构成直角三角形，符合题意；
C、62+82=102，能构成直角三角形，不符合题意；
D、52+122=132，能构成直角三角形，不符合题意；
故选：B．
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可解答．
2．如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c.那么下列条件中能判断△ABC是直角三角形的是 ( )
A．∠A： ∠B： ∠C=3： 4： 5
B．∠A=35°， ∠B=65°
C．
D．a=6， b=10， c=15
【答案】C
【解析】【解答】解：A.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴最大角，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵∠A=35°，∠B=65°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=80°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.∵，b=2，，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
D.∵a=6，b=10，c=15，
∴a+b≠c，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C.
【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，再根据∠A：∠B：∠C=3：4：5求出最大角∠C，再根据直角三角形的判定即可判断选项A；根据三角形的内角和定理求出C，即可判断选项B；根据勾股定理的逆定理即可判断选项C、选项D.
3． 已知直角三角形的两条直角边的长度为，斜边长为的直角三角形的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵两条直角边长分别是整数a，b(其中a<50)，斜边长是a+2，
∴b2=(a+2)2-a2=4a+2，
∴b2为偶数，
∵a，b是正整数，a<50，
∴b2是1到202之间的偶数，而且是完全平方数，这样的数共有6个，
∴满足条件的直角三角形的个数为6.
故答案为：B.
【分析】先根据勾股定理得到b2=(a+2)2-a2=4a+2，而a是正整数，a<50，得到b2是1到202之间的偶数，进而即可得到结论.
4．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：连接，
∵在中，，
∴，
∵将绕点A逆时针旋转，使点C落在线段上的点E处，
∴，
∴，
在中，
．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理可求，根据旋转可求，再用勾股定理求值即可．
5．如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面距离为7m，现将梯子的底端A向外移到A'，使梯子的底端A'到墙根O距离为3m，同时梯子顶端B下降至B'，那么BB' （ ）
A．等于1m B．小于1m C．大于1m D．以上都不对
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得： ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
，
即 小于 ，
故答案为：B.
【分析】先在 中，利用勾股定理求出AB的长，从而可得 的长，再在 中，利用勾股定理求出 的长，然后根据线段的和差可得 的长，最后根据实数的大小比较即可得.
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CD是中线，则CD的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】【解答】解：如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
由勾股定理得AB= = =5，
∵CD是斜边的中线，
∴CD= AB= ×5=2.5，
故选A．
【分析】由勾股定理可求得斜边的长，从而不难求得斜边上的中线的长．
7．如图 ， 在 中， ． 将 绕点 按逆时针方向旋转 ， 得到 ， 连结 ， 则线段 的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 将 绕点 按逆时针方向旋转 ， 得到 ，
∴∠BOB'=90°，OB=OB'=3，
∴.
故答案为：D.
【分析】利用旋转的性质可证得∠BOB'=90°，OB=OB'=3，再利用勾股定理求出BB'的长.
8．若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足( 则此三角形中最大的角是( )
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定
【答案】B
【解析】【解答】解：
∴该三角形为直角三角形.
故最大的角是直角
故答案为：B .
【分析】因为a、b、c为一个三角形的三边长，化简( 可得 根据勾股定理的逆定理即可得出该三角形为直角三角形.
9．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．7米
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可知.
，
，
由勾股定理得
，
故离门4米远的地方，灯刚好打开.
故答案为：B.
【分析】由题意可知：BE=CD=1.5m，AE=AB-BE=3m，AC=5m，由勾股定理求出BD、CE，据此解答.
10．如图，在矩形中，，为的中点，连接，将沿所在直线翻折至四边形所在平面内，得，延长与交于点，若，则四边形的面积为（ ）
A． B．8 C．12 D．16
【答案】A
【解析】【解答】解：连接EF，
由折叠性质知：AE=A'E，∠BA'E=∠A=90°，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE=，
∴A'E=DE，
在Rt△A'EF和Rt△DEF中，∠FA'E=∠D=90°
∵A'E=DE，EF=EF，
∴Rt△A'EF≌Rt△DEF，
∴A'F=DF，
设CF=x，则：A'F=DF=3x，A'B=AB=DC=4x，
∴BF=A'B+A'F=7x，
又∵BC=AD=，
在Rt△BCF中：
（）2+x2=（7x）2，
解得：x=1，x=-1（舍去），
∴DF=3，
∴S△DEF=
∴S 四边形 A'EDF=2 S△DEF=
故答案为：A.
【分析】根据HL证明Rt△A'EF≌Rt△DEF，可得A'F=DF，然后设CF=x，可得BF=7x，在Rt△BCF中，可根据勾股定理得出关于x的方程式（）2+x2=（7x）2，解方程可求得方程的解，舍去负值，即可得出CF的长度，进而求出DF的长，根据三角形面积计算公式，即可求得△DEF的面积。再求出它的2倍，就是四边形A'EDF的面积。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在 Rt △ABC中， ∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，则 .
【答案】5
【解析】【解答】解：如图，
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8
∴
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=×10=5.
故答案为5.
【分析】由勾股定理求出AB=10，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解.
12．如图， 中， ， 为 的角平分线，与 相交于点 ，若 ， ，则 的面积是 .
【答案】15
【解析】【解答】作DE⊥AB于E.
∵AD为∠BAC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=3，∴△ABD的面积 AB×DE 10×3=15.
故答案为：15.
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质求出DE，根据三角形的面积公式计算，得到答案.
13．如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图
当按（1）摆放时，外面的长度h最短：h =18-=5cm，
当按（2）摆放时，外面的长度h最长：h =18-12=6cm.
故答案为：5≤h≤6.
【分析】当按（1）摆放时，处于杯子的部分的长为以5cm与12cm为直角边的直角三角形的斜边，这时放在杯子最长，则外露最短；当按（2）垂直摆放时，处于杯子部分只有12cm，则外露最长.
14．在 中，斜边AB=3．则 = ；
【答案】18
【解析】【解答】解：在 中：
∵斜边AB=3
∴AC、BC为直角边
∴ （勾股定理）
∴ =9+9=18．
故答案为：18．
【分析】利用勾股定理将转换为，再求值即可。
15．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b，那么（a+b）2的值是
【答案】25
【解析】【解答】解：根据题意，结合勾股定理a2+b2=13，
四个三角形的面积=4×ab=13﹣1，
∴2ab=12，
联立解得：（a+b）2=13+12=25．
故答案为：25．
【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方13，也就是两条直角边的平方和是13，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12．根据完全平方公式即可求解．
16．如图，在中，，，，点在上，过点作的垂线，分别交射线，线段于点，，连接，恰好平分，则线段的长是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过点作于点，过点作于点，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵恰好平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点作于，过点作于，先求出，然后在中计算出，的值，再利用得到的值，即可根据角平分线的性质得到，，然后设，既有，然后得到，建立方程，求出BH的值，然后在中运用勾股定理求出的值解题即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图为某小区绿化带示意图，已知米，米，米，米．
（1）试判断的形状，并说明理由；
（2）若铺设一平米草坪费用为元，请问将该绿化带铺满草坪需要多少钱？
【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下：
，米，米，
米，
米，米．
，
是直角三角形，且；
（2）解：，
平方米，
铺设一平米草坪费用为元，
将该绿化带铺满草坪需要的费用为元，
答：将该绿化带铺满草坪需要元钱．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AC，进而根据勾股定理的逆定理即可求解；
（2）先根据题意得到，进而结合题意即可求解。
18．在△ABC中，∠ACB=90°，D为△ABC内一点，连结BD，DC，延长DC至点E，使得CE=CD.
（1）如图1，延长BC至点F，使得CF=BC，连结AF，EF.若AF⊥EF，求证：BD⊥AF.
（2）连结AE，交BD的延长线于点H，连结CH，请根据题意补全图2.若，猜想线段CD与CH的数量关系，并证明.
【答案】（1）证明：在△BCD和△FCE中，
，
∴△BCD≌△FCE（SAS）；
∴∠DBC＝∠EFC，
∴BD∥EF，
∵AF⊥EF，
∴BD⊥AF；
（2）解：由题意补全图形如下：
用等式表示线段CD与CH的数量关系为：CD＝CH．
证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，如图3，
∵AC⊥BF，BC＝CF，
∴AB＝AF，
由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，
∵AB2＝AE2+BD2，
∴AF2＝AE2+EF2，
∴∠AEF＝90°，
∴AE⊥EF，
∴BD⊥AE，
∴∠DHE＝90°，
又∵CD＝CE，
∴CH＝CD＝CE．
【解析】【分析】（1）①根据“SAS”可证明△BCD≌△FCE即可；，
②由全等三角形的性质得出∠DBC＝∠EFC，证出BD∥EF，则可得出结论；
（2）由题意画出图形，延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，证出∠AEF＝90°，得出∠DHE＝90°，由直角三角形的性质可得出结论．
19．如图，在△ABC中，，点D在边AC上，BD=8，CD=2.
（1）猜想∠ADB的度数，并说明理由；
（2）若AB=17，求△ABC的面积.
【答案】（1）解：∠ADB=90°，理由如下：
∵，
而，
∴，
∴∠BDC=90°，
∴
（2）解：在Rt△ABD中，
由勾股定理得，
∵CD=2，
∴AC=AD+CD=15+2=17，
∴
【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理可得∠BDC=90°，再根据补角即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得AD，再根据边之间的关系可得AC，再根据三角形面积即可求出答案.
20．如图，已知，.
（1）判断AC与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若CA平分，于点E，，求的度数.
【答案】（1）解：，理由如下：
∵，
∴.
∴.
∵，
∴，
∴.
（2）解：∵，，
∴.
∵CA平分，
∴，
∴由（1）知，.
∴，，
∴，
∴.
∴.
【解析】【分析】（1）同旁内角互补，两直线平行，得AB∥CD；两直线平行，内错角相等，得∠2=∠ACD；
（2）由角平分线性质得到∠ACD=35°，从而得到∠2=35°；由两直线平行同位角相等得∠CAF=∠DEF=90°；.
21．如图，在中，，，平分交于．求和的度数．
【答案】解：解：∵，，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
【解析】【分析】根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线性质即可求出答案.
22．已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，若AB＝5，CD＝3，求BC的长．
【答案】解：在Rt△CDA中，
∵AC=AB=5，CD=3，
∴AD= ，
∴BD=AB-AD=5-4=1，
在Rt△CBD中，BC=
【解析】【分析】在Rt△CDA中，利用勾股定理求出AD的长，根据BD=AB-AD，可求出BD的长，然后在Rt△CBD中，利用勾股定理求出CB的长度．
23．如图所示，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，BD=13，BE=12，BC=14，求△BCD的面积.
【答案】解：∵DE⊥AB于点E，
∴∠BED=90°.
∵ BD=13，BE=12，
∴DE2=BD2-BE2=132-122=25，
∴ DE=5.
∵ BD是△ABC的角平分线，
∴ 点D到AB与BC的距离相等，
∴ 点D到BC的距离为5，
∴ △BCD的面积是×5×14=35
【解析】【分析】根据 勾股定理 求出DE的长，再根据角平分线性质（ 角平分线上的点到两边距离相等 ）， 得D到BC的距离为DE，从而计算△BCD的面积 .
24．如图1，图2，图3，将一块含角的直角三角尺放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点D，E．
（1）如图1，若，，，求的度数；
（2）如图2，改变的位置，使点C在外，且在边的左侧，边与边交于点P，求与之间的数量关系；
（3）如图3，若，，且边与边在同一条直线上，固定三角尺，将绕点D按顺时针方向以每秒的速度进行旋转．
①在绕点D旋转一周的过程中，当边恰好与边平行时，求旋转时间；
②若绕点D不停旋转，在旋转过程中，若边和的一条边平行（不包括共线的情况），则称之为一次“边平行”，直接写出第15次边平行时旋转的时间．
【答案】（1）解：∵，，
∴，，
∵，
∴∠EFD=∠FEC+∠CED=50°.
又∵，
∴．
（2）解：由题意知，，
，∠CPD=∠FCE，
∴，
∴．
（3）解：∵△DEF中，，，
∴∠FDE=180°－∠DFE－∠FED=70°，
①当边恰好与边平行，且EF在AB下方时，记作E1F1，设BA的延长线与DE1相交于点G，AB与DF1相交于点P，如图：
∵E1F1//AB，
∴∠DPA=∠DF1E1=60°，
∴∠ADP=180°－∠DPA－∠DAP=180°－60°－∠CAB=60°.
故旋转角度为∠FDF1=180°－∠ADP=120°，
故旋转的时间为120÷20=6（秒）.
当边恰好与边平行，且EF在AB上方时，记作E2F2，如图：
∴E2F2//AB//E1F1，
∴从DF1旋转到DF2，旋转180°，
故此时旋转角度为120°+180°=300°.
∴旋转的时间为300÷20=15（秒）.
综上，当边恰好与边平行时，旋转时间为6或15秒．
②43.5秒
【解析】【解答】解：（3）②绕点D不停旋转，在旋转一周过程中，边和的一条边平行（不包括共线的情况），共有3种情况，即，，，每种情况平行两次，即旋转一周的过程中会平行六次，依次为：，，，，，；
又∵，
∴当第15次边平行时，，延长CA交EF于点G，如图所示：
∴∠DGF=∠C=90°，△GDF是直角三角形，
∴∠GDF=90°－∠DFE=30°，
∴旋转角为∠CDF=180°－∠GDF=150°，
旋转时间为150÷20=7.5（秒）
而旋转一周需要（秒），
∴第15次边平行时旋转的时间为（秒）．
故答案为：43.5秒
【分析】（1）先根据平行线的性质得到，，然后利用三角形的内角和定理解题即可；
（2）利用三角形的内角和定理和对顶角的性质可得，再移项即可得到结论；
（3）①分为在的下方和在的上方两种情况，利用平行线的性质求出旋转角∠FDF1和∠FDF2，再计算旋转时间即可；
②根据题意可知，旋转一周的过程中，会平行六次，依次为：，，，，，；然后运用，第15次平行时是，求出旋转的时间为旋转一周需要秒，以及每旋转一周的过程中EF第一次平行BC时时间，即可得到答案．
（1）解：由题意可得，，
∵，
∴，，
又∵，，
∴．
（2）由题意知，，
∵，
∴，即．
（3）①∵，，
∴，
如图，当时，设的延长线交交于点G，
则，，
∵，
∴，
∴旋转的角度为，
∴旋转时间为（秒）；
如图，当时，
则，，
∵，
∴，
∴旋转的角度为，
∴旋转时间为（秒）．
综上，当边恰好与边平行时，旋转时间为6或15秒．
②绕点D不停旋转，在旋转一周过程中，
边和的一条边平行（不包括共线的情况），共有四种情况，依次为：，，，，
而旋转一周需要（秒），
又∵，
∴当第15次边平行时，，
由①知，在旋转一周过程中，第二次时，此时旋转时间为15秒，
∴第15次边平行时旋转的时间为（秒）．
25．
（1）如图1，已知和为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE.
①求证：AD=BE.
②∠AEB的度数为 ▲ .
（2）如图2，若和为等腰三角形，且，点A，D，E在同一直线上，于点，连结BE.
①计算∠AEB的度数.
②写出线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）①证明，如图：
∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE；
∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE.
②60°.
（2）解：①在题图2中，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACD=∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB=∠BCE；
∵CA=CB，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°.
∵点A，D，E在同一直载上，
∴∠ADC=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°.
②AE=BE+2CM；理由如下：
∵CD=CE，CM⊥DE于M，
∴DM=ME；
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM，
∴AE=AD+DE=BE+2CM.
【解析】【解答】解：（1）②解：∵△ACD≌△BCE
∴∠ADC=∠BEC；
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°；
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120°，
∴∠BEC=120°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°.
故答案为：60°.
【分析】（1）①根据等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°可得CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°；推得∠ACD=∠BCE；根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得AD=BE.
②根据全等三角形的对应角相等可得∠ADC=∠BEC；根据等边三角形的性质可得∠CDE=∠CED=60°，求得∠ADC=∠BEC=120°；即可求解.
（2）①根据等腰直角三角形的底角所对的边相等可得CA=CB，CD=CE；推得∠ACD=∠BCE；根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等，对应角相等可得AD=BE，∠ADC=∠BEC；结合等腰直角三角形的性质即可推得∠BEC=135°；即可求解.
②根据等腰三角形底边上的中线，底边上的高，顶角的角平分线重合可得DM=ME；结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=ME=CM，即可求解.
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