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第二十五章 锐角的三角比 单元模拟真题演练卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．河堤横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2． 已知∠A是锐角，且sinA=，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则sin∠AOB的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，电线杆的中点处有一标志物，在地面点处测得标志物的仰角为35°，若拉线的长度是米，则电线杆的长可表示为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
5．图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄与地面平行，支架、踏板的长分别为a，b，，记与地面的夹角为，则跑步机手柄所在直线与地面之间的距离表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为( )
A．(54+10) cm B．(54+10) cm C．64 cm D．54cm
7．已知 ，用计算器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．sin30°=（ ）
A．0 B．1 C． D．
9．如图，在△ABC中，∠A＝88°，∠B＝50°，AB＝60，则点A到BC的距离为（ ）
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
10．已知正方形ABCD的边长为2，P是直线CD上一点，若DP=1，则sin∠BPC的值是（ ）
A．m B． 或
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝3，BC＝1，则cosA的值为 ．
12．如图，在 中， ，D是 上一点（点D与点A不重合）.若在 的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则 长的取值范围是 .
13．如图，在正六边形ABCDEF中，连接AE，则tan∠1= ．
14．计算： ．
15．已知sin46°=cosα，则α= 度.
16．在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，D为边AB上的一点，若AD=2，则tan∠BDC的值为 。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，实践小组为了测量塔 的高度，先从与塔底中心 在同一水平面上的点 出发，沿着坡度为1：0.75的斜坡 行走10米至坡顶 处，再从 处沿水平方向继续前行若干米后至点 处，在 点测得塔顶 的仰角为63°，塔底 的俯角为45°， 与 的水平距离为4米（图中 在同一平面内， 和 分别在同一水平线上），根据测量数据，求塔 的高度．（计算结果精确到0.1米，参考数据： ）
18．某公园有一座古塔，古塔前有一个斜坡 坡角 ，斜坡高 米， 平行于水平地面 的一个平台.小华想利用所学知识测量古塔的高度 她在平台的点 处水平放置--平面镜，并沿着 方向移动，当移动到点N时，刚好在镜面中看到古塔顶端点 的像，这时，测得小华眼睛与地面的距离 米， 米， 米， 米，已知 请你根据题中提供的相关信息，求出古塔的高度 .(参考数据： )
19．如图，甲楼AB高20m，乙楼CD高10m，两栋楼之间的水平距离BD＝20m，小丽在乙楼楼顶C处观测电视塔塔顶E，测得仰角为45°，求电视塔的高度EF．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75， ≈1.4，结果保留整数）
20．自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民．如图，市民甲在处看见飞机的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机的仰角为，已知甲、乙两市民的距离米，铅垂高度米（点E，G，C，B在同一水平线上，结果保留根号）．
（1）求斜坡的坡比；
（2）求飞机此时距离地面的高度．
21． 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
（1）根据锐角三角函数的定义，证明：sin2A+cos2A＝1；
（2）若sinA=，求cosA的值．
22．已知∠A为锐角且sinA= ，则4sin2A－4sinAcosA＋cos2A的值是多少。
23．地震后，全国各地纷纷捐款捐物，一架满载救援物资的飞机到达灾区的上空时，为了能准确空投救援物资，在A处测得空投动点C的俯角α=60°，测得地面指挥台的俯角β=30°，如果B、C两地间的距离是2000米，则此时飞机距地面的高度是多少米？（结果保留根号）
24．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为多少米？（结果精确到0.1．参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）
25．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．
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第二十五章 锐角的三角比 单元模拟真题演练卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．河堤横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：堤高，迎水坡的坡比为，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据坡度的定义“坡度=铅直高度：水平距离”可得，将BC的值代入计算即可求解．
2． 已知∠A是锐角，且sinA=，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】如图，
sinA=，
设AB=5m，则BC=3m，
AC=4m，
故答案为：A.
【分析】根据sinA=，设AB=5m，则BC=3m，利用勾股定理得到AC=4m，结合图形利用正切的定义即可求解.
3．如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则sin∠AOB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：在直角△OAC中，OC=2，AC=3，
则OA===，
则sin∠AOB===．
故选D．
【分析】在直角△OAC中，利用勾股定理求得OA的长，然后根据正弦的定义即可求解．
4．如图，电线杆的中点处有一标志物，在地面点处测得标志物的仰角为35°，若拉线的长度是米，则电线杆的长可表示为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵点C是的中点，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用解直角三角形的方法求出，再利用线段中点的性质可得．
5．图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄与地面平行，支架、踏板的长分别为a，b，，记与地面的夹角为，则跑步机手柄所在直线与地面之间的距离表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过点作，交直线于，延长，交直线于，
在中，，，则，
，
，
，
，
，
手柄所在直线与地面之间的距离为：，
故答案为：A.
【分析】过点作，交直线于，延长，交直线于，根据正弦的定义sin∠D=可将CH用含b、θ的代数式表示出来，然后根据余弦的定义cos∠ACF=求出，再由线段的和差FH=CH+CF即可求解．
6．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为( )
A．(54+10) cm B．(54+10) cm C．64 cm D．54cm
【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示，
过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则
Rt△ACE中，AE=AC=×54=27（cm），
同理可得，BF=27cm，
又∵点A与B之间的距离为10cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），
故答案为：C．
【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，先利用含30°角的直角三角形的性质可得AE和BF的长，再利用线段的和差求出通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64即可.
7．已知 ，用计算器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】【解答】解：已知 ，用计算器求锐角A的大小，按键顺序“2ndF”，“tan”，“0.85”，“=”.
故答案为：A.
【分析】已知三角函数值，求度数时，按键顺序为“2ndF”，“tan”，“0.85”，“=”.
8．sin30°=（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：sin30°= ．
故选C．
【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答即可．
9．如图，在△ABC中，∠A＝88°，∠B＝50°，AB＝60，则点A到BC的距离为（ ）
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
【答案】A
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵在Rt△ABD中，AB=60，∠B=50°，
∴sin50°=，
∴AD=60sin50°，
故A正确，B、C、D错误。
故答案为：A.
【分析】求点到线的距离，首先构造垂线段，出现直角三角形，利用直角三角形的边角关系也即锐角三角函数求解垂线段长。
10．已知正方形ABCD的边长为2，P是直线CD上一点，若DP=1，则sin∠BPC的值是（ ）
A．m B． 或
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：（1）∵BC=2，DP=1，∠C=90°
∴BP==
∴sin∠BPC=
（2）∵DP=1，DC=2
∴PC=3
∵BC=2，∠C=90°
∴BP==
∴sin∠BPC==
故答案为：B.
【分析】根据锐角三角函数的定义、勾股定理以及正方形的性质运算得到答案即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝3，BC＝1，则cosA的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，
∴AC＝ ，
∴cosA＝ ，
故答案为： ．
【分析】先求出AC的长，再利用余弦的定义求解即可。
12．如图，在 中， ，D是 上一点（点D与点A不重合）.若在 的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则 长的取值范围是 .
【答案】 ＜AD＜2
【解析】【解答】解：以AD为直径，作 与BC相切于点M，连接OM，则OM⊥BC，此时，在 的直角边上存在3个不同的点分别和点A、D成为直角三角形，如图，
∵在 中， ，
∴AB=2，
∵OM⊥BC，
∴ ，
设OM=x，则AO=x，
∴ ，解得： ，
∴AD=2× = ，
以AD为直径，作 ，当点D与点B重合时，如图，此时AD=AB=2，
∴在 的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则 长的取值范围是： ＜AD＜2.
故答案是： ＜AD＜2.
【分析】以AD为直径，作○O与BC相切于点M，连接OM，则OM⊥BC，在Rt△ABC的直角边上存在3个不同的点分别和点A、D成为直角三角形，易得AB的值，设OM=x，则AO=x，然后根据sin 30°=可得x的值，进而求得AD；以AD为直径，作○O，当点D与点B重合时，AD=AB=2，据此可得AD的范围.
13．如图，在正六边形ABCDEF中，连接AE，则tan∠1= ．
【答案】
【解析】【解答】解：正六边形内角的度数为：（6﹣2）×180°÷6=120°，
∴∠F=120°，
∵AF=EF，
∴∠1=∠AEF=（180°﹣∠F）÷2=30°，
∴tan∠1=．
故答案为：．
【分析】先求出正六边形内角的度数，根据AF=EF，得到∠1=∠AEF，利用三角形内角和为180°，求出∠1的度数，即可解答．
14．计算： ．
【答案】2
【解析】【解答】解：
故答案为：2．
【分析】先利用特殊角的三角函数值和0指数幂的性质化简，再计算即可。
15．已知sin46°=cosα，则α= 度.
【答案】44
【解析】【解答】∵sin46°=cosα，
∴α=90°-46°=44°
故答案为：44。
【分析】根据一个角的正弦等于该角的余角的余弦值可求得α的度数，或根据公式sina=cos(90-a)求得α即可.
16．在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，D为边AB上的一点，若AD=2，则tan∠BDC的值为 。
【答案】
【解析】【解答】解：作CE⊥AB于E
在Rt△ABC中， ∠A=30°，BC=4
∴AB=2BC=8；
在Rt△BCE中，∠B=60°，∠BCE=30°
∴CE=BCsin∠B=4×32=23
BE=12BC=2
∴DE=AB-AD-BE=8-2-2=4；
在Rt△CDE中，
故答案为：.
【分析】根据直角三角形的性质求出AB=8；在Rt△BCE利用解直角三角形求出CE、BE，进而求出DE，可以得出tan∠BDC的值。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，实践小组为了测量塔 的高度，先从与塔底中心 在同一水平面上的点 出发，沿着坡度为1：0.75的斜坡 行走10米至坡顶 处，再从 处沿水平方向继续前行若干米后至点 处，在 点测得塔顶 的仰角为63°，塔底 的俯角为45°， 与 的水平距离为4米（图中 在同一平面内， 和 分别在同一水平线上），根据测量数据，求塔 的高度．（计算结果精确到0.1米，参考数据： ）
【答案】解：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
由题意得： ，
∵斜坡 的坡度为1：0.75，
∴ ，设 ，则 ，
在 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，∴ ，
∴ （米）
即塔 的高度约为31.5米．
【解析】【分析】 过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ， 由题意得出 ，在 中， 利用勾股定理得出DE的值，求出x的值，得出 是等腰直角三角形，在 中， ，得出AG的值，由此得出AB的值。
18．某公园有一座古塔，古塔前有一个斜坡 坡角 ，斜坡高 米， 平行于水平地面 的一个平台.小华想利用所学知识测量古塔的高度 她在平台的点 处水平放置--平面镜，并沿着 方向移动，当移动到点N时，刚好在镜面中看到古塔顶端点 的像，这时，测得小华眼睛与地面的距离 米， 米， 米， 米，已知 请你根据题中提供的相关信息，求出古塔的高度 .(参考数据： )
【答案】解：在 中， ， ，
∴ ，即 ，
解得： ，
延长 交 于点 ，
∵ ， ， ， ，
则 ，
∴ ，
，又由镜面反射原理得 ，
，
，即 ，
，
古塔的高度 为 米.
【解析】【分析】在 中，利用坡角和斜坡高 求得CE的长；延长 交 于点 ，根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出 ，利用相似三角形的性质可求得 的长，即可求得古塔的高度.
19．如图，甲楼AB高20m，乙楼CD高10m，两栋楼之间的水平距离BD＝20m，小丽在乙楼楼顶C处观测电视塔塔顶E，测得仰角为45°，求电视塔的高度EF．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75， ≈1.4，结果保留整数）
【答案】解：如图，分别过点A，C作AM⊥EF，CN⊥EF垂足分别为M、N．
∴MF＝AB＝20，NF＝CD＝10．
设EF＝xm，则EN＝(x―10)m，EM＝(x―20)m．
在Rt△ECN中，∠ECN＝45°，
∵tan45°＝ ，
∴CN＝ ＝ ．
在Rt△AEM中，∠EAM＝37°，
∵ tan37°＝ ，
∴AM＝ ＝ ．
又 AM―CN＝BD，
∴ ― ＝20．
∴x≈110．
答：电视塔的高度为110米．
【解析】【分析】如图，分别过点A，C作AM⊥EF，CN⊥EF垂足分别为M、N．根据题意得出MF＝AB＝20，NF＝CD＝10．设EF＝xm，则EN＝(x-10)m，EM＝(x―20)m．在Rt△ECN中，根据正切函数的定义由CN=表示出CN，在Rt△AEM中，根据正切函数的定义，由AM=表示出AM，由 AM―CN＝BD，列出方程，求解即可得出x的值。
20．自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民．如图，市民甲在处看见飞机的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机的仰角为，已知甲、乙两市民的距离米，铅垂高度米（点E，G，C，B在同一水平线上，结果保留根号）．
（1）求斜坡的坡比；
（2）求飞机此时距离地面的高度．
【答案】（1）解：在中，米，米由勾股定理得：（米），
∴斜坡的坡比．
（2）解：过点作于点，如图，
，，，
∴，
四边形是矩形，
米，，
，，
是等腰直角三角形，
，
设米，则米，
米，
，
，
解得，
米，
答：飞机距离地面的高度为米．
【解析】【分析】
（1）先利用勾股定理求出米，则斜坡的坡比；
（2）过点作于点可构造和矩形DGBH，则米，，再由等腰三角形的性质可得，为便于计算可设米，再解即可．
（1）解：在中，米，米
由勾股定理得：（米），
∴斜坡的坡比．
（2）解：过点作于点，如图，
，，，
∴，
四边形是矩形，
米，，
，，
是等腰直角三角形，
，
设米，则米，
米，
，
，
解得，
米，
答：飞机距离地面的高度为米．
21． 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
（1）根据锐角三角函数的定义，证明：sin2A+cos2A＝1；
（2）若sinA=，求cosA的值．
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2，sinA=，cosA=，
∴sin2A+cos2A＝（）2+（）21；
（2）解：∵sin2A+cos2A＝1，
∴+cos2A＝1，
∴cos2A=，
∴cosA=或cosA=（舍去），
即cosA的值为．
【解析】【分析】（1）由勾股定理可得，由锐角三角函数可知：sinA=，cosA=，然后进行计算即可；
（2）根据（1）的结论进行计算即可.
22．已知∠A为锐角且sinA= ，则4sin2A－4sinAcosA＋cos2A的值是多少。
【答案】解： 为锐角，且
.
【解析】【分析】先求出 的度数，再求出 的值，最后代入计算即可.
23．地震后，全国各地纷纷捐款捐物，一架满载救援物资的飞机到达灾区的上空时，为了能准确空投救援物资，在A处测得空投动点C的俯角α=60°，测得地面指挥台的俯角β=30°，如果B、C两地间的距离是2000米，则此时飞机距地面的高度是多少米？（结果保留根号）
【答案】解：作AH⊥BC交BC的延长线于H，
由题意得，∠ACH=60°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠BAC，
∴AC=BC=2000米，
∴AH=AC sin∠ACH=1000 米，
答：此时飞机距地面的高度是1000 米．
【解析】【分析】先求出 ∠BAC=30°， 再求出 ∠ABC=∠BAC， 最后利用锐角三角函数计算求解即可。
24．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为多少米？（结果精确到0.1．参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）
【答案】解：过点E作EG⊥BC于点G，AH⊥EG于点H．
∵EF∥BC，
∴∠GEF=∠BGE=90°
∵∠AEF=143°，
∴∠AEH=53°．
∴∠EAH=37°．
在△EAH中，AE=1.2，∠AHE=90°，
∴sin∠EAH=sin 37°
∴
∴EH=1.2×0.6=0.72．
∵AB⊥BC，
∴四边形ABGH为矩形．
∵GH=AB=1.2，
∴EG=EH+HG=1.2+0.72=1.92≈1.9
【解析】【分析】过点E作EG⊥BC于点G，AH⊥EG于点H，则∠AHE=90°．先求出∠AEH=53°，则∠EAH=37°，然后在△EAH中，利用正弦函数的定义得出EH=AE sin∠EAH，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可．
25．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．
【答案】解：由已知，得∠ECA=30°，∠FCB=60°，CD=90，
EF∥AB，CD⊥AB于点D．
∴∠A=∠ECA=30°，∠B=∠FCB=60°．
在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，
∴AD=．
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，tanB=，
∴DB=．
∴AB=AD+BD=90+30=120．
答：建筑物A、B间的距离为120 米．
【解析】【解答】在图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．
【分析】此题考查了解直角三角形，根据角和边利用三角函数求的物体的距离。
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