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第二十六章 二次函数 单元综合优选测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列关系式中，属于二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足S＝ g t2（g＝9.8），则s与t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．若 是二次函数，则a 的值是 ( )
A．±2 B．– 2 C．2 D．无法确定
6．下列函数关系中，是二次函数的是（ ）．
A．生产100吨钢材，工作效率和工作时间之间的关系
B．当速度为时，汽车行驶的距离与时间之间的关系
C．长方形的周长一定时，长方形的长与宽之间的关系
D．圆的面积与半径之间的关系
7．某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为．如图所示，设矩形一边长为 ，另一边长为，矩形的面积为当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
8．如图，已知A（0，2），B(2，2），C(-1，0)，抛物线y=a（x-h）2+k过点C，顶点M位于第一象限且在线段AB的垂直平分线上，若抛物线与线段AB无公共点，则k的取值范围是（ ）
A．0＜k＜2 B．0＜k＜2或k＞
C．k> D．0
9．二次函数 的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．
10．如图，将抛物线图象中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（实线部分），则新图象与直线的交点个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．抛物线的顶点坐标是 ．
12．对于二次函数y=x2+3x﹣2，当x=﹣1时，y的值为 ．
13．若y与x的函数y=(m-1)+3x是二次函数，则m=
14．抛物线y＝﹣x2+2x﹣1的图象与x轴交点的个数是 ．
15．如图，A、B为抛物线y＝x2上的两点，且AB//x轴，与y轴交于点C，以点O为圆心，OC为半径画圆，若AB＝2 ，则图中阴影部分的面积为
16．矩形ABCD中，AB=6，AD=12，连结BD，E，F分别在边BC，CD上，连结AE，AF分别交BD于点M，N，若∠EAF=45°，BE=3，则DN的长为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8．
（1）若抛物线的对称轴为y轴，求m的值；
（2）若抛物线的顶点在x正半轴上，求m的值．
18．已知是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式．
19．已知关于x的一元二次方程x2+2x+=0有实数根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=x2+2x+的图象向下平移9个单位，求平移后的图象的表达式；
（3）在（2）的条件下，平移后的二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），直线y=kx+b（k＞0）过点B，且与抛物线的另一个交点为C，直线BC上方的抛物线与线段BC组成新的图象，当此新图象的最小值大于﹣5时，求k的取值范围．
20．已知函数 y=（m﹣1） +3x为二次函数，求m的值．
21．如图，利用函数y=x2-4x+3的图象，直接回答：
（1）方程x2-4x+3=0的解是 ．
（2）当x满足 时，y随x的增大而增大．
（3）当x满足 时，函数值大于0．
（4）当0＜x＜5时，y的取值范围是 ．
22．（1）已知y=（m2+m）+（m﹣3）x+m2是x的二次函数，求出它的解析式．
（2）用配方法求二次函数y=﹣x2+5x﹣7的顶点坐标并求出函数的最大值或最小值．
23． 已知函数是二次函数．
（1）求的值，并写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）当时，求的取值范围．
24．已知函数y=（9k2﹣1）x2+2kx+3是关于x的二次函数，求不等式 的解集．
25．已知 是x的二次函数，求出它的解析式．
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第二十六章 二次函数 单元综合优选测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列关系式中，属于二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、 属于二次函数，符合题意；
B、 是正比例函数，不符合题意；
C、 是一次函数，不符合题意；
D、 是反比例函数，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0)，y是x的二次函数，再对各项逐一判断.
2．已知是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵是关于x的二次函数，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】形如“y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)”的函数叫做二次函数，据此列出关于字母a的不等式，求解可得a的取值范围.
3．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：二次函数，当时，随的增大而增大，
根据二次函数的性质，只有开口向上的抛物线，在对称轴右侧才会出现y随x增大而增大的情况
，
∵对称轴为
又
故选：C．
【分析】
此题考查二次函数的性质，涉及开口方向、对称轴与函数单调性的关系 ，熟记二次函数的性质是解题的关键．先求得二次函数的对称轴，利用二次函数的性质，可知该函数开口向上，以及对称轴右侧随的增大而增大，从而知道，最后解不等式即可．
4．苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足S＝ g t2（g＝9.8），则s与t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵s＝ gt2是二次函数的表达式，
∴二次函数的图象是一条抛物线．
又∵ g＞0，
∴应该开口向上，
∵自变量t为非负数，
∴s为非负数．
∴图象是抛物线在第一象限的部分．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系及实际情况求解即可。
5．若 是二次函数，则a 的值是 ( )
A．±2 B．– 2 C．2 D．无法确定
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得：a2-2=2且2-a≠0
解得：a=-2，
故答案为：B.
【分析】利用二次函数定义可得a2-2=2且2-a≠0，再解即可.
6．下列函数关系中，是二次函数的是（ ）．
A．生产100吨钢材，工作效率和工作时间之间的关系
B．当速度为时，汽车行驶的距离与时间之间的关系
C．长方形的周长一定时，长方形的长与宽之间的关系
D．圆的面积与半径之间的关系
【答案】D
【解析】【解答】解：A．生产100吨钢材，工作效率和工作时间之间的关系为，它不是二次函数，故此项不符合题意．
B．当速度为时，汽车行驶的距离与时间之间的关系为，它不是二次函数，故此项不符合题意．
C．长方形的周长一定时，长方形的长与宽之间的关系为，它不是二次函数，故此项不符合题意．
D．圆的面积与半径之间的关系为，它是二次函数，故此符合题意．
故选：D．
【分析】
把形如（其中是常数且）的函数叫二次函数，则：
A．根据题意得到工作效率和工作时间之间的关系为，不是二次函数；
B．根据题意得到汽车行驶的距离与时间之间的关系为，是正比例函数；
C．根据题意得到长方形的长与宽之间的关系为，是一次函数．
D．根据题意得到圆的面积与半径之间的关系为，是二次函数．
7．某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为．如图所示，设矩形一边长为 ，另一边长为，矩形的面积为当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得
2(x+y)=40
∴x+y=20
∴y=20-x，
即y与x是一次函数关系
∵S=xy
=x(20-x)
=-x2+20x，
∴矩形面积满足的函数关系为S=-x2+20x，即满足二次函数关系，
故选：A.
【分析】矩形的周长为2(x+y)=10，可用x来表示y，代入S=xy中，化简即可得到S关于x的函数关系式.
8．如图，已知A（0，2），B(2，2），C(-1，0)，抛物线y=a（x-h）2+k过点C，顶点M位于第一象限且在线段AB的垂直平分线上，若抛物线与线段AB无公共点，则k的取值范围是（ ）
A．0＜k＜2 B．0＜k＜2或k＞
C．k> D．0
【答案】B
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点M在第一象限且在线段AB的垂直平分线上，点A（0，2），点B（2，2）
∴h=1，k0
当点M在线段AB的下方时，根据点M的坐标为（1，k），∴0k2；
当点M在线段AB的上方时，a（-1-1）2+k=0，a（0-1）2+k2，解得k
故答案为：B。
【分析】根据题意即可求得h的数值以及k的范围，根据题目内容分情况进行讨论，得出结论即可。
9．二次函数 的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式 ，
∴对称轴是直线 ．
故答案为：B．
【分析】根据对称轴公司求出对称轴即可。
10．如图，将抛物线图象中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（实线部分），则新图象与直线的交点个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，因为抛物线=(x-1)2+7，可得抛物线的顶点为(1，7)，
因为将抛物线y=-x2+x+6图象中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，
可得新图象的顶点坐标为(1，-7)，
所以直线y=-7经过新图象的顶点并另有两个交点，
故新图象与直线y=-7的交点个数是3个，
故选：B．
【分析】利用配方法，求得抛物线得到顶点，根据轴对称的性质，得到新图象的顶点坐标，结合图象，即可求解.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】（2，0）
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是（2，0），
故答案为：（2，0）．
【分析】根据抛物线求顶点坐标即可。
12．对于二次函数y=x2+3x﹣2，当x=﹣1时，y的值为 ．
【答案】﹣4
【解析】【解答】解：当x=﹣1时，y=1﹣3﹣2=﹣4．
故答案为：﹣4．
【分析】直接把x=﹣1代入二次函数y=x2+3x﹣2，求出y的值即可．
13．若y与x的函数y=(m-1)+3x是二次函数，则m=
【答案】-1
【解析】【解答】解：∵y=(m-1)+3x是二次函数，
∴m2+1=2，m﹣1≠0．
解得：m=﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】由二次函数的定义可知m2+1=2，m﹣1≠0，从而可求得m的值．
14．抛物线y＝﹣x2+2x﹣1的图象与x轴交点的个数是 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵y＝﹣x +2x﹣1中△＝2 ﹣4＝0，
∴抛物线与x轴有1个交点，
故答案为：1．
【分析】令y=0，解关于x的方程，根据解的个数，判断得到图象与x轴的交点即可。
15．如图，A、B为抛物线y＝x2上的两点，且AB//x轴，与y轴交于点C，以点O为圆心，OC为半径画圆，若AB＝2 ，则图中阴影部分的面积为
【答案】π
【解析】【解答】解：∵AB=2 ，
∴BC= AB= ×2 = ，
∴点B的横坐标为 ，
代入抛物线解析式得，y=（ ）2=2，
∴OC=2，即圆的半径为2，
由图可知，阴影部分的面积等于圆的面积的 ，即为 ×π×22=π．
故答案为：π．
【分析】根据AB的长度求出BC，从而得到点B的横坐标，在代入抛物线解析式求出点B的纵坐标，即可得到OC的长度，也就是圆的半径，再根据二次函数的对称性判断出阴影部分的面积等于圆的面积的四分之一，在列式计算即可得解。
16．矩形ABCD中，AB=6，AD=12，连结BD，E，F分别在边BC，CD上，连结AE，AF分别交BD于点M，N，若∠EAF=45°，BE=3，则DN的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠BAD=90°
∴
延长AB至点P，使PB=AB=6，过点P作BC的平行线交DC的延长线于点Q，得正方形APQD
延长AE交PQ于点H，连接HF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，点D于点P重合，得到△APG
∵四边形APQD是正方形
∴AP=PQ=DQ=AD，∠PAD=∠APH=∠Q=∠ADQ=90°
由旋转可得：△APG≌△ADF
∴PG=DF，∠APG=∠ADF=90°，AG=AF，∠PAG=∠DAF
∴∠PAG+∠PAF=∠DAF+∠PAF=∠PAD=90°，即∠GAF=90°
∵∠HAF=45°
∴∠GAH=90°-45°=45°
∴∠GAH=∠FAH=45°
在△AGH和△AFH中
∴△AGH和△AFH(SAS)
∴GH=FH
∵GH=PG+PH=DF+PH
∴FH=DF+PH
设DF=x，则FQ=DQ-DF=12-x
∵AB=BP=6，BE∥PQ
∴AE=EM
∴PH=2BE=6
∴FH=DF+PH=x+6，HQ=PQ-PH=6
在Rt△QFH中，由勾股定理可得：FQ2+HQ2=FH2
∴(12-x)2+62=(x+6)2
解得：x=4
∴DF=4
∵DF∥AB
∴△DFN∽△BAN
∴
∴
故答案为：
【分析】根据勾股定理可得BD，延长AB至点P，使PB=AB=6，过点P作BC的平行线交DC的延长线于点Q，得正方形APQD，延长AE交PQ于点H，连接HF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，点D于点P重合，得到△APG，根据正方形性质可得AP=PQ=DQ=AD，∠PAD=∠APH=∠Q=∠ADQ=90°，再根据旋转性质可得△APG≌△ADF，根据全等三角形性质可得PG=DF，∠APG=∠ADF=90°，AG=AF，∠PAG=∠DAF，再根据角之间的关系可得∠GAH=∠FAH=45°，再根据全等三角形判定定理可得△AGH和△AFH(SAS)，则GH=FH，根据边之间点的关系可得FH=DF+PH，设DF=x，则FQ=DQ-DF=12-x，则FH=DF+PH=x+6，HQ=PQ-PH=6，再根据勾股定理建立方程，解方程可得DF=4，根据相似三角形判定定理可得△DFN∽△BAN，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8．
（1）若抛物线的对称轴为y轴，求m的值；
（2）若抛物线的顶点在x正半轴上，求m的值．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8的对称轴为y轴，
∴﹣ ＝0，
解得，m＝3，即m的值是3；
（2）解：∵抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8的顶点在x正半轴上，
∴ ，
解得m＝11， 即m的值是11．
【解析】【分析】（1）根据对称轴公式 即可求m的值；（2）根据顶点坐标公式求解即可．
18．已知是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式．
【答案】解：∵是x的二次函数，
∴，解得m=3或m=﹣1，
∴此二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．
【解析】【分析】先根据二次函数的定义求出m的值，再把m的值代入函数的解析式即可．
19．已知关于x的一元二次方程x2+2x+=0有实数根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=x2+2x+的图象向下平移9个单位，求平移后的图象的表达式；
（3）在（2）的条件下，平移后的二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），直线y=kx+b（k＞0）过点B，且与抛物线的另一个交点为C，直线BC上方的抛物线与线段BC组成新的图象，当此新图象的最小值大于﹣5时，求k的取值范围．
【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+=0有实数根，
∴△=b2﹣4ac=4﹣4×≥0，
∴k﹣1≤2，
∴k≤3，
∵k为正整数，
∴k的值是1，2，3；
（2）∵方程有两个非零的整数根，
当k=1时，x2+2x=0，不合题意，舍去，
当k=2时，x2+2x+=0，
方程的根不是整数，不合题意，舍去，
当k=3时，x2+2x+1=0，
解得：x1=x2=﹣1，符合题意，
∴k=3，
∴y=x2+2x+1，
∴平移后的图象的表达式y=x2+2x+1﹣9=x2+2x﹣8；
（3）令y=0，x2+2x﹣8=0，
∴x1=﹣4，x2=2，
∵与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），
∴A（﹣4，0），B（2，0），
∵直线l：y=kx+b（k＞0）经过点B，
∴函数新图象如图所示，当点C在抛物线对称轴左侧时，新函数的最小值有可能大于﹣5，
令y=﹣5，即x2+2x﹣8=﹣5，
解得：x1=﹣3，x2=1，（不合题意，舍去），
∴抛物线经过点（﹣3，﹣5），
当直线y=kx+b（k＞0）经过点（﹣3，﹣5），（2，0）时，
可求得k=1，
由图象可知，当0＜k＜1时新函数的最小值大于﹣5．
【解析】【分析】（1）根据方程有实数根可得△≥0，求出k的取值范围，然后根据k为正整数得出k的值；
（2）根据方程有两个非零的整数根进行判断，得出k=3，然后得出函数解析式，最后根据平移的性质求出平移后的图象的表达式；
（3）令y=0，得出A、B的坐标，作出图象，然后根据新函数的最小值大于﹣5，求出C的坐标，然后根据B、C的坐标求出此时k的值，即可得出k的取值范围．
20．已知函数 y=（m﹣1） +3x为二次函数，求m的值．
【答案】解：由题意： ，解得m=﹣1，
∴m=﹣1时，函数 y=（m﹣1） +3x为二次函数
【解析】【分析】根据二次函数的定义，列出一个式子即可解决问题．
21．如图，利用函数y=x2-4x+3的图象，直接回答：
（1）方程x2-4x+3=0的解是 ．
（2）当x满足 时，y随x的增大而增大．
（3）当x满足 时，函数值大于0．
（4）当0＜x＜5时，y的取值范围是 ．
【答案】（1）x1=1，x2=3
（2）＞2
（3）x＜1或x＞3
（4）-1≤y＜8
【解析】【解答】解：（1）∵ 函数y=x2-4x+3的图象与x轴的交点为（1，0）、（3，0），
∴ 方程x2-4x+3=0的解是x1=1，x2=3.
故答案为：x1=1，x2=3.
（2）对称轴为直线x==2，
结合图象可得，当x>2时，y随x的增大而增大．
故答案为：＞2.
（3）结合图象可得， 当x＜1或x＞3 时，函数值大于0．
故答案为：x＜1或x＞3.
（4）当x=2时，y=4-8+3=-1，
当x=5时，y=25-20+3=8，
结合图象可得，当0＜x＜5时，y的取值范围是-1≤y＜8.
故答案为：-1≤y＜8.
【分析】（1）方程x2-4x+3=0的解就是函数y=x2-4x+3的图象与x轴的交点的横坐标；
（2）先求出坐标轴，再结合图象即可得出答案；
（3）结合图象即可得出答案；
（4）结合图象和对称轴即可得出答案.
22．（1）已知y=（m2+m）+（m﹣3）x+m2是x的二次函数，求出它的解析式．
（2）用配方法求二次函数y=﹣x2+5x﹣7的顶点坐标并求出函数的最大值或最小值．
【答案】解：（1）由题意可得：，
解①得：m1=3，m2=﹣1，
由②得：m≠0且m≠﹣1，
∴m=3，
∴y=12x2+9；
（2）y=﹣x2+5x﹣7
=﹣（x2﹣5x+﹣）﹣7
=﹣（x﹣）2+﹣7
=﹣（x﹣）2﹣．，
顶点坐标为：（，﹣），有最大值为：﹣．
【解析】【分析】（1）直接利用二次函数的定义得出方程与不等式求出即可；
（2）利用配方法求出其顶点坐标即可．
23． 已知函数是二次函数．
（1）求的值，并写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可得：
，解得：
∴m=-1
∴
∴对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，-3）；
（2）解：∵a=-2<0，顶点坐标为（1，-3）
∴当x<1时，y随x的增大而增大，当x>1时，y随x的增大而减小
∴当x=1时，y有最大值为-3
当x=-1时，y有最小值为-11
∴当时，-11≤y≤-3
【解析】【分析】（1）根据二次函数的定义可得m值，代入解析式，再转换为顶点式，即可得对称轴与顶点坐标.
（2）根据二次函数图象，性质与系数的关系可得当x<1时，y随x的增大而增大，当x>1时，y随x的增大而减小，即当x=1时取得最大值，当x=-1时，取得最小值.
24．已知函数y=（9k2﹣1）x2+2kx+3是关于x的二次函数，求不等式 的解集．
【答案】解：∵函数y=（9k2﹣1）x2+2kx+3是关于x的二次函数，
∴9k2﹣1≠0，
解得：k≠ ，
3（k﹣1）≥2（4k+1）﹣6，
解得：k≤ ，
故不等式 的解集为：k≤ 且k≠﹣
【解析】【分析】根据二次函数的定义二次项的系数不能为0列出不等式，再与题干中的不等式组成不等式组，求解得出k的取值范围。
25．已知 是x的二次函数，求出它的解析式．
【答案】解：根据二次函数的定义可得：m2﹣2m﹣1=2，且m2﹣m≠0，
解得，m=3或m=﹣1；
当m=3时，y=6x2+9；
当m=﹣1时，y=2x2﹣4x+1；
综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．
【解析】【分析】利用二次函数的定义：自变量的最高次数=2，且二次项系数≠0，建立方程和不等式，求解即可得函数解析式。
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