浙江省宁波市鄞州高级中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷
1．（2025高一上·鄞州期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·鄞州期中）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2025高一上·鄞州期中）“”是“a > b > 0”的一个（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025高一上·鄞州期中）不等式的解集是（ ）
A．{且} B．
C． D．
5．（2025高一上·鄞州期中）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高一上·鄞州期中）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025高一上·鄞州期中）已知函数，若对于任意的，，且，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高一上·鄞州期中）已知关于的方程恰有两个不同的解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高一上·鄞州期中）下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数
B．与表示同一函数
C．已知函数，则的定义域为
D．函数的值域为
10．（2025高一上·鄞州期中）已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．的最小值为1
C．若，则的最小值为8
D．若则的最大值为4
11．（2025高一上·鄞州期中）双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，且当时有，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．函数的最小值是0
C．若对任意实数，不等式恒成立，则
D．，则
12．（2025高一上·鄞州期中） .
13．（2025高一上·鄞州期中）设，且满足，则 .
14．（2025高一上·鄞州期中）已知集合，其中.若存在正数，使得对任意，都有，则的取值集合为 .
15．（2025高一上·鄞州期中）设集合，.
（1）若，求的值及集合；
（2）若为实数集，且，求实数的取值范围.
16．（2025高一上·鄞州期中）已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增.
（1）求函数的解析式；
（2）设函数；
（i）若，试讨论的最小值；
（ii）若函数定义在区间上，试求的最小值.
17．（2025高一上·鄞州期中）某公司每月生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需另外增加成本100元，公司每月生产量为（单位：台），已知营业额（单位：元）满足函数：
（1）将每月投入的总成本表示为月产量的函数；
（2）将每月利润表示为月产量的函数（利润=营业额-总成本）；
（3）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？
18．（2025高一上·鄞州期中）已知函数.
（1）求的定义域和值域；
（2）判定函数的单调性，并用定义证明；
（3）若对，，且，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．（2025高一上·鄞州期中）对于定义在实数集上的函数，给出如下的三个定义：
①记，，，，，其中.
②对任意的区间，记集合，并规定.
例如：若，则；
③若定义在上的函数满足对任意的区间，都存在正整数，使得，则称为区间上的“阶交汇函数”.
（1）若函数，求；
（2）若，求并判断是否为上的“2阶交汇函数”；
（3）设，若，试证明对任意的区间，总存在正整数，使得为上的“阶交汇函数”.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，所以．
故答案为：A
【分析】一一列举B中元素，再利用集合的交集运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”为全称量词命题，
该命题的否定为“，”.
故答案为：B.
【分析】利用全称量词命题的否定，先将变为，再将>0变为可得出结论.
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为是单调增函数，且，所以，
又因为“”，所以，不能推出“a > b > 0”，
因为“”可以推出“”；
所以“”是“”的一个必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】利用指数函数的单调性结合充分条件、必要条件判断方法，从而找出正确的选项.
4．【答案】D
【知识点】一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：，
所以不等式的解集为.
故选：D.
【分析】由分式不等式化成标准式再等价转化，进而求解即可.
5．【答案】D
【知识点】指数函数单调性的应用；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由指数函数的单调性，可得，
即，
因为函数在上为增函数，且，
则，即.
故.
故答案为：D.
【分析】结合指数函数与幂函数的单调性进行比较即得.
6．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，且，
则函数是奇函数，
又因为其图象关于原点对称，排除选项A和选项B；
当时，，其图象是开口向上的抛物线在轴右侧部分，排除选项D；
故选项C满足.
故答案为：C.
【分析】探讨给定函数的奇偶性和函数在上的图象特征，从而逐项判断找出函数的大致图象.
7．【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由题可知，，.
代入，得.
化简，得.
因为，，且，所以.
所以.
因为恒成立，所以.
所以的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】代入函数将转化为，即恒成立问题，可求得的取值范围.
8．【答案】A
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：当时，由于，则，此时无解；
当时，等价于或，
对于，可得，
令，即，解得，
此时有两个解；
对于，可得，
令，即，即或，
解得，（由于，舍去），
当，，当，有两解，
综合上述可知：时，有两个解，
时，有一个解，
时，有两个解，
则时，有三个或四个解，不符题意；
由于关于的方程恰有两个不同的解，故，
所以实数的取值范围为，
故答案为：A.
【分析】分类讨论和时的情况，当时，由于无解；时，等价于或，分别解这两个方程，结合方程的根的个数，即可确定答案.
9．【答案】B,C,D
【知识点】同一函数的判定；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、函数定义域为，不关于原点对称，
所以函数不是奇函数，该选项错误，不合题意；
B、函数与的定义域都为R，且，即两个函数的对应法则相同，
所以与表示同一函数，该选项正确，符合题意；
C、对于函数， 因为，所以，即的定义域为，
对于函数，，所以，解得，所以的定义域为，该选项正确，符合题意；
D、令，则，则函数为，
故当时，取得最小值，最小值为，
所以函数的值域为，该选项正确，符合题意.
故答案为：BCD
【分析】根据奇函数的定义先求出定义域就可判断A；根据同一函数的概念先求定义域，再判断解析式可判断B；先求原函数定义域，再根据抽象函数法则求解判断C；先用换元法将函数转化成一元二次函数求解函数值域判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、因为，，所以，当且仅当时，等号成立.
由，得，
所以，所以，所以，
当且仅当时，等号成立，该选项正确，符合题意；
B、，
当且仅当，即，即时，等号成立.
显然不成立，所以的最小值不为1，该选项错误，不合题意；
C、因为，，，
所以.
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为8，该选项正确，符合题意；
D、因为，，且， 所以，且.
所以.
因为，所以，当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为4，该选项正确，符合题意.
故选：ACD.
【分析】利用基本不等式分析判断A；将变成，再利用基本不等式可判断B；将36利用代入，可将原式转化成，再利用基本不等式可判断C；用换元法结合二次函数在给定区间上的值域，判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：A、
，所以，正确；
B、，
，
令，当且仅当即时等号成立，
则，因为在上单调递增，
故时，有最小值为，
即函数的最小值是0，正确；
C、对任意的，，故函数的定义域为，
，即函数为奇函数，
任取、，且，则，
所以，
即，故函数为上的增函数，且为奇函数，
不等式在上恒成立，
则，
函数为上的增函数，故在上恒成立，
即在上恒成立，当时，即，不合题意；
当时，由题意，解得，综上，错误；
D、，
当时，由整理可得，
即，故，正确.
故答案为：ABD.
【分析】将sh(x)和ch(x)式子代入直接验证A选项即可；将中利用换元法求得的最小值判断B；结合函数的单调性与奇偶性，将不等式恒成立转化为在上恒成立，分类讨论然后按照和求解范围判断C选项；当时，将化简得出，由此可判断D选项.
12．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：
.
故答案为：.
【分析】根据指数的运算依次求解即可.
13．【答案】2
【知识点】函数单调性的判断与证明；复合函数的单调性；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：依题意，设，其定义域为，
因为，在上单调递增，所以在上单调递增，
因为，
所以为奇函数，因为，
所以，即，
所以，
因为在上单调递增，所以，即有.
故答案为：
【分析】构造函数，分析判断其奇偶性与单调性，从而得到，从而求得的值.
14．【答案】
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断
【解析】【解答】解：，显然，故，
因为，，则，
又为正数，则，其中，
结合题设可得为的子集，
因为，则且，
由得，
由得，
所以，解得，所以的取值集合为.
故答案为：.
【分析】先得到，由a的范围得到的范围，再得到的范围，根据得到不等式组，求出，求出，得到答案.
15．【答案】（1）解：，.
因为，所以，则，
即，解得或.
验证：当时，，
则，满足题意；
当时，，
则，不满足题意.
综上可知，若，则，此时.
（2）解：若，则，又，
①当时，则关于的方程没有实数根，
则，解得，
故当时，满足题意；
②当，即时，
若集合中只有一个元素，则，
即当时，，，满足题意；
若集合中有两个元素，则，
即当时，要使，则，
所以和是方程的两根，
则由韦达定理得，解得，满足条件.
综上所述，或.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）由，得，将2代入B中方程，由此可得关于的方程求解并验证即可得；
（2）由得，分类讨论集合中元素的个数即可求得.
（1），.
因为，所以，则，
即，解得或.
验证：当时，，
则，满足题意；
当时，，
则，不满足题意.
综上可知，若，则，此时.
（2）若，则，又，
①当时，则关于的方程没有实数根，
则，解得，
故当时，满足题意；
②当，即时，
若集合中只有一个元素，则，
即当时，，，满足题意；
若集合中有两个元素，则，
即当时，要使，则，
所以和是方程的两根，
则由韦达定理得，解得，满足条件.
综上所述，或.
16．【答案】（1）解：因为幂函数在区间上单调递增，
所以，故或1，
当时，不满足偶函数，故舍去；
当时，满足偶函数，
故；
（2）解：（i）因为，
由（1）可得，
当即时，，则，
所以的最小值即的最小值，且在时取到；
当即或时，的最小值为负数，
故的图象是将的图象位于x轴下方部分向上翻折，其余部分图象不变，
故此时的最小值为；
综上，；
（ii）函数的图象的对称轴为，
当即时，函数在区间上单调递增，
所以，
当即时，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，
当即时，函数在区间上单调递减，所以，
综上所述：.
【知识点】复合函数的单调性；函数的最大（小）值；幂函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据幂函数的性质在第一象限单调递增得指数为正，列关系式求即可；
（2）（i）分情况讨论：和，再结合二次函数的图象与性质求的最小值即可；
（ii）分别在，，条件下，在区间上单调递增，对于，一元二次函数性质求函数在区间上的最小值即可.
（1）因为幂函数在区间上单调递增，
所以，故或1，
当时，不满足偶函数，故舍去；
当时，满足偶函数，
故；
（2）（i）因为，
由（1）可得，
当即时，，则，
所以的最小值即的最小值，且在时取到；
当即或时，的最小值为负数，
故的图象是将的图象位于x轴下方部分向上翻折，其余部分图象不变，
故此时的最小值为；
综上，；
（ii）函数的图象的对称轴为，
当即时，函数在区间上单调递增，
所以，
当即时，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，
当即时，函数在区间上单调递减，所以，
综上所述：
17．【答案】（1）解：依题意，每月投入的成本与月产量的函数关系为：，.
（2）解：由（1）及，
得利润.
（3）解：由（2）知，当时，，
则当时，利润取得最大值5000元；
当时，，
当且仅当时，利润取得最大值50000元，而，
所以当月产量为500台时，公司所获利润最大值为5万元.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据投入的成本乘以月产量列式求出与的函数关系.
（2）要写出分段函数的解析式，结合（1）给出的函数关系式，即可.
（3）由（1）的解析式，每段求出最值，第二段利用基本不等式，求出最值，再比较大小即可得解.
（1）依题意，每月投入的成本与月产量的函数关系为：，.
（2）由（1）及，
得利润.
（3）由（2）知，当时，，
则当时，利润取得最大值5000元；
当时，，
当且仅当时，利润取得最大值50000元，而，
所以当月产量为500台时，公司所获利润最大值为5万元.
18．【答案】（1）解：对于函数，因为，所以恒成立，
所以函数定义域；
，因为，所以，所以，
所以，即函数的值域；
（2）证明：函数在R上单调递增，证明如下：
，任取，且，
则，
因为，所以，因为，所以，
所以，即，
所以函数在R上单调递增；
（3）解：对，，且，不等式恒成立，
即不等式恒成立，
由（2）知函数在R上单调递增，因为即，
所以，
因为，所以，
即，所以，
即，解得，
故实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）根据指数函数的值域求解函数定义域，根据指数函数的值域及不等式的性质求解函数的值域；
（2），利用函数的单调性的定义证明即可；
（3）根据函数在R上单调递增，将不等式恒成立转化为不等式恒成立，则，解一元二次不等式即可得解.
（1）对于函数，因为，所以恒成立，
所以函数定义域；
，因为，所以，所以，
所以，即函数的值域；
（2）函数在R上单调递增，证明如下：
，任取，且，
则，
因为，所以，因为，所以，
所以，即，
所以函数在R上单调递增；
（3）对，，且，不等式恒成立，
即不等式恒成立，
由（2）知函数在R上单调递增，因为即，
所以，
因为，所以，
即，所以，
即，解得，
故实数的取值范围为.
19．【答案】（1）解： 因为，，
所以；
（2）解：因为函数在上单调递增，所以当时，，
所以，当时，，
所以，因为，
所以为上的“2阶交汇函数”.
（3）证明 ：对于任意有限的区间，记表示区间的长度，
如果一个集合是若干个区间的并集，则等于组成它的所有区间的长度之和，
对于任意的区间，，，
不妨设，，
若，则，，
若，则，，
若，则，
，所以，
对于任意的区间，显然存在正整数，使得，
因此在，，，（它们的长度和大于1）中，
必然存在正整数，，使得，
因此必存在，，使得，
又，则，
则当时，，
当时，，
又，因此对任意的，，，
所以，，，，
这表示，取，
所以对任意的区间，存在正整数，使得，
即对任意的区间，存在正整数，使得为上的“阶交汇函数”
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的值
【解析】【分析】（1）根据函数新定义令x=f(x)，代入f(x)式子求解即可；
（2）利用一次函数的单调性求f(x)的值域，即，再按照“2阶交汇函数”定义判断即可；
（3）先根据分段函数性质 ”集合是若干个区间的并集，则等于组成它的所有区间的长度之和” 证明；分析得对任意的，，，进而根据函数新定义证明即可.
（1）因为，，
所以；
（2）因为函数在上单调递增，所以当时，，
所以，当时，，
所以，因为，
所以为上的“2阶交汇函数”.
（3）对于任意有限的区间，记表示区间的长度，
如果一个集合是若干个区间的并集，则等于组成它的所有区间的长度之和，
对于任意的区间，，，
不妨设，，
若，则，，
若，则，，
若，则，
，所以，
对于任意的区间，显然存在正整数，使得，
因此在，，，（它们的长度和大于1）中，
必然存在正整数，，使得，
因此必存在，，使得，
又，则，
则当时，，
当时，，
又，因此对任意的，，，
所以，，，，
这表示，取，
所以对任意的区间，存在正整数，使得，
即对任意的区间，存在正整数，使得为上的“阶交汇函数”
1 / 1浙江省宁波市鄞州高级中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷
1．（2025高一上·鄞州期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，所以．
故答案为：A
【分析】一一列举B中元素，再利用集合的交集运算求解即可.
2．（2025高一上·鄞州期中）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”为全称量词命题，
该命题的否定为“，”.
故答案为：B.
【分析】利用全称量词命题的否定，先将变为，再将>0变为可得出结论.
3．（2025高一上·鄞州期中）“”是“a > b > 0”的一个（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为是单调增函数，且，所以，
又因为“”，所以，不能推出“a > b > 0”，
因为“”可以推出“”；
所以“”是“”的一个必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】利用指数函数的单调性结合充分条件、必要条件判断方法，从而找出正确的选项.
4．（2025高一上·鄞州期中）不等式的解集是（ ）
A．{且} B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：，
所以不等式的解集为.
故选：D.
【分析】由分式不等式化成标准式再等价转化，进而求解即可.
5．（2025高一上·鄞州期中）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数单调性的应用；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由指数函数的单调性，可得，
即，
因为函数在上为增函数，且，
则，即.
故.
故答案为：D.
【分析】结合指数函数与幂函数的单调性进行比较即得.
6．（2025高一上·鄞州期中）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，且，
则函数是奇函数，
又因为其图象关于原点对称，排除选项A和选项B；
当时，，其图象是开口向上的抛物线在轴右侧部分，排除选项D；
故选项C满足.
故答案为：C.
【分析】探讨给定函数的奇偶性和函数在上的图象特征，从而逐项判断找出函数的大致图象.
7．（2025高一上·鄞州期中）已知函数，若对于任意的，，且，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由题可知，，.
代入，得.
化简，得.
因为，，且，所以.
所以.
因为恒成立，所以.
所以的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】代入函数将转化为，即恒成立问题，可求得的取值范围.
8．（2025高一上·鄞州期中）已知关于的方程恰有两个不同的解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：当时，由于，则，此时无解；
当时，等价于或，
对于，可得，
令，即，解得，
此时有两个解；
对于，可得，
令，即，即或，
解得，（由于，舍去），
当，，当，有两解，
综合上述可知：时，有两个解，
时，有一个解，
时，有两个解，
则时，有三个或四个解，不符题意；
由于关于的方程恰有两个不同的解，故，
所以实数的取值范围为，
故答案为：A.
【分析】分类讨论和时的情况，当时，由于无解；时，等价于或，分别解这两个方程，结合方程的根的个数，即可确定答案.
9．（2025高一上·鄞州期中）下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数
B．与表示同一函数
C．已知函数，则的定义域为
D．函数的值域为
【答案】B,C,D
【知识点】同一函数的判定；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、函数定义域为，不关于原点对称，
所以函数不是奇函数，该选项错误，不合题意；
B、函数与的定义域都为R，且，即两个函数的对应法则相同，
所以与表示同一函数，该选项正确，符合题意；
C、对于函数， 因为，所以，即的定义域为，
对于函数，，所以，解得，所以的定义域为，该选项正确，符合题意；
D、令，则，则函数为，
故当时，取得最小值，最小值为，
所以函数的值域为，该选项正确，符合题意.
故答案为：BCD
【分析】根据奇函数的定义先求出定义域就可判断A；根据同一函数的概念先求定义域，再判断解析式可判断B；先求原函数定义域，再根据抽象函数法则求解判断C；先用换元法将函数转化成一元二次函数求解函数值域判断D.
10．（2025高一上·鄞州期中）已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．的最小值为1
C．若，则的最小值为8
D．若则的最大值为4
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、因为，，所以，当且仅当时，等号成立.
由，得，
所以，所以，所以，
当且仅当时，等号成立，该选项正确，符合题意；
B、，
当且仅当，即，即时，等号成立.
显然不成立，所以的最小值不为1，该选项错误，不合题意；
C、因为，，，
所以.
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为8，该选项正确，符合题意；
D、因为，，且， 所以，且.
所以.
因为，所以，当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为4，该选项正确，符合题意.
故选：ACD.
【分析】利用基本不等式分析判断A；将变成，再利用基本不等式可判断B；将36利用代入，可将原式转化成，再利用基本不等式可判断C；用换元法结合二次函数在给定区间上的值域，判断D.
11．（2025高一上·鄞州期中）双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，且当时有，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．函数的最小值是0
C．若对任意实数，不等式恒成立，则
D．，则
【答案】A,B,D
【知识点】函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：A、
，所以，正确；
B、，
，
令，当且仅当即时等号成立，
则，因为在上单调递增，
故时，有最小值为，
即函数的最小值是0，正确；
C、对任意的，，故函数的定义域为，
，即函数为奇函数，
任取、，且，则，
所以，
即，故函数为上的增函数，且为奇函数，
不等式在上恒成立，
则，
函数为上的增函数，故在上恒成立，
即在上恒成立，当时，即，不合题意；
当时，由题意，解得，综上，错误；
D、，
当时，由整理可得，
即，故，正确.
故答案为：ABD.
【分析】将sh(x)和ch(x)式子代入直接验证A选项即可；将中利用换元法求得的最小值判断B；结合函数的单调性与奇偶性，将不等式恒成立转化为在上恒成立，分类讨论然后按照和求解范围判断C选项；当时，将化简得出，由此可判断D选项.
12．（2025高一上·鄞州期中） .
【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：
.
故答案为：.
【分析】根据指数的运算依次求解即可.
13．（2025高一上·鄞州期中）设，且满足，则 .
【答案】2
【知识点】函数单调性的判断与证明；复合函数的单调性；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：依题意，设，其定义域为，
因为，在上单调递增，所以在上单调递增，
因为，
所以为奇函数，因为，
所以，即，
所以，
因为在上单调递增，所以，即有.
故答案为：
【分析】构造函数，分析判断其奇偶性与单调性，从而得到，从而求得的值.
14．（2025高一上·鄞州期中）已知集合，其中.若存在正数，使得对任意，都有，则的取值集合为 .
【答案】
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断
【解析】【解答】解：，显然，故，
因为，，则，
又为正数，则，其中，
结合题设可得为的子集，
因为，则且，
由得，
由得，
所以，解得，所以的取值集合为.
故答案为：.
【分析】先得到，由a的范围得到的范围，再得到的范围，根据得到不等式组，求出，求出，得到答案.
15．（2025高一上·鄞州期中）设集合，.
（1）若，求的值及集合；
（2）若为实数集，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：，.
因为，所以，则，
即，解得或.
验证：当时，，
则，满足题意；
当时，，
则，不满足题意.
综上可知，若，则，此时.
（2）解：若，则，又，
①当时，则关于的方程没有实数根，
则，解得，
故当时，满足题意；
②当，即时，
若集合中只有一个元素，则，
即当时，，，满足题意；
若集合中有两个元素，则，
即当时，要使，则，
所以和是方程的两根，
则由韦达定理得，解得，满足条件.
综上所述，或.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）由，得，将2代入B中方程，由此可得关于的方程求解并验证即可得；
（2）由得，分类讨论集合中元素的个数即可求得.
（1），.
因为，所以，则，
即，解得或.
验证：当时，，
则，满足题意；
当时，，
则，不满足题意.
综上可知，若，则，此时.
（2）若，则，又，
①当时，则关于的方程没有实数根，
则，解得，
故当时，满足题意；
②当，即时，
若集合中只有一个元素，则，
即当时，，，满足题意；
若集合中有两个元素，则，
即当时，要使，则，
所以和是方程的两根，
则由韦达定理得，解得，满足条件.
综上所述，或.
16．（2025高一上·鄞州期中）已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增.
（1）求函数的解析式；
（2）设函数；
（i）若，试讨论的最小值；
（ii）若函数定义在区间上，试求的最小值.
【答案】（1）解：因为幂函数在区间上单调递增，
所以，故或1，
当时，不满足偶函数，故舍去；
当时，满足偶函数，
故；
（2）解：（i）因为，
由（1）可得，
当即时，，则，
所以的最小值即的最小值，且在时取到；
当即或时，的最小值为负数，
故的图象是将的图象位于x轴下方部分向上翻折，其余部分图象不变，
故此时的最小值为；
综上，；
（ii）函数的图象的对称轴为，
当即时，函数在区间上单调递增，
所以，
当即时，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，
当即时，函数在区间上单调递减，所以，
综上所述：.
【知识点】复合函数的单调性；函数的最大（小）值；幂函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据幂函数的性质在第一象限单调递增得指数为正，列关系式求即可；
（2）（i）分情况讨论：和，再结合二次函数的图象与性质求的最小值即可；
（ii）分别在，，条件下，在区间上单调递增，对于，一元二次函数性质求函数在区间上的最小值即可.
（1）因为幂函数在区间上单调递增，
所以，故或1，
当时，不满足偶函数，故舍去；
当时，满足偶函数，
故；
（2）（i）因为，
由（1）可得，
当即时，，则，
所以的最小值即的最小值，且在时取到；
当即或时，的最小值为负数，
故的图象是将的图象位于x轴下方部分向上翻折，其余部分图象不变，
故此时的最小值为；
综上，；
（ii）函数的图象的对称轴为，
当即时，函数在区间上单调递增，
所以，
当即时，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，
当即时，函数在区间上单调递减，所以，
综上所述：
17．（2025高一上·鄞州期中）某公司每月生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需另外增加成本100元，公司每月生产量为（单位：台），已知营业额（单位：元）满足函数：
（1）将每月投入的总成本表示为月产量的函数；
（2）将每月利润表示为月产量的函数（利润=营业额-总成本）；
（3）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？
【答案】（1）解：依题意，每月投入的成本与月产量的函数关系为：，.
（2）解：由（1）及，
得利润.
（3）解：由（2）知，当时，，
则当时，利润取得最大值5000元；
当时，，
当且仅当时，利润取得最大值50000元，而，
所以当月产量为500台时，公司所获利润最大值为5万元.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据投入的成本乘以月产量列式求出与的函数关系.
（2）要写出分段函数的解析式，结合（1）给出的函数关系式，即可.
（3）由（1）的解析式，每段求出最值，第二段利用基本不等式，求出最值，再比较大小即可得解.
（1）依题意，每月投入的成本与月产量的函数关系为：，.
（2）由（1）及，
得利润.
（3）由（2）知，当时，，
则当时，利润取得最大值5000元；
当时，，
当且仅当时，利润取得最大值50000元，而，
所以当月产量为500台时，公司所获利润最大值为5万元.
18．（2025高一上·鄞州期中）已知函数.
（1）求的定义域和值域；
（2）判定函数的单调性，并用定义证明；
（3）若对，，且，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：对于函数，因为，所以恒成立，
所以函数定义域；
，因为，所以，所以，
所以，即函数的值域；
（2）证明：函数在R上单调递增，证明如下：
，任取，且，
则，
因为，所以，因为，所以，
所以，即，
所以函数在R上单调递增；
（3）解：对，，且，不等式恒成立，
即不等式恒成立，
由（2）知函数在R上单调递增，因为即，
所以，
因为，所以，
即，所以，
即，解得，
故实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）根据指数函数的值域求解函数定义域，根据指数函数的值域及不等式的性质求解函数的值域；
（2），利用函数的单调性的定义证明即可；
（3）根据函数在R上单调递增，将不等式恒成立转化为不等式恒成立，则，解一元二次不等式即可得解.
（1）对于函数，因为，所以恒成立，
所以函数定义域；
，因为，所以，所以，
所以，即函数的值域；
（2）函数在R上单调递增，证明如下：
，任取，且，
则，
因为，所以，因为，所以，
所以，即，
所以函数在R上单调递增；
（3）对，，且，不等式恒成立，
即不等式恒成立，
由（2）知函数在R上单调递增，因为即，
所以，
因为，所以，
即，所以，
即，解得，
故实数的取值范围为.
19．（2025高一上·鄞州期中）对于定义在实数集上的函数，给出如下的三个定义：
①记，，，，，其中.
②对任意的区间，记集合，并规定.
例如：若，则；
③若定义在上的函数满足对任意的区间，都存在正整数，使得，则称为区间上的“阶交汇函数”.
（1）若函数，求；
（2）若，求并判断是否为上的“2阶交汇函数”；
（3）设，若，试证明对任意的区间，总存在正整数，使得为上的“阶交汇函数”.
【答案】（1）解： 因为，，
所以；
（2）解：因为函数在上单调递增，所以当时，，
所以，当时，，
所以，因为，
所以为上的“2阶交汇函数”.
（3）证明 ：对于任意有限的区间，记表示区间的长度，
如果一个集合是若干个区间的并集，则等于组成它的所有区间的长度之和，
对于任意的区间，，，
不妨设，，
若，则，，
若，则，，
若，则，
，所以，
对于任意的区间，显然存在正整数，使得，
因此在，，，（它们的长度和大于1）中，
必然存在正整数，，使得，
因此必存在，，使得，
又，则，
则当时，，
当时，，
又，因此对任意的，，，
所以，，，，
这表示，取，
所以对任意的区间，存在正整数，使得，
即对任意的区间，存在正整数，使得为上的“阶交汇函数”
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的值
【解析】【分析】（1）根据函数新定义令x=f(x)，代入f(x)式子求解即可；
（2）利用一次函数的单调性求f(x)的值域，即，再按照“2阶交汇函数”定义判断即可；
（3）先根据分段函数性质 ”集合是若干个区间的并集，则等于组成它的所有区间的长度之和” 证明；分析得对任意的，，，进而根据函数新定义证明即可.
（1）因为，，
所以；
（2）因为函数在上单调递增，所以当时，，
所以，当时，，
所以，因为，
所以为上的“2阶交汇函数”.
（3）对于任意有限的区间，记表示区间的长度，
如果一个集合是若干个区间的并集，则等于组成它的所有区间的长度之和，
对于任意的区间，，，
不妨设，，
若，则，，
若，则，，
若，则，
，所以，
对于任意的区间，显然存在正整数，使得，
因此在，，，（它们的长度和大于1）中，
必然存在正整数，，使得，
因此必存在，，使得，
又，则，
则当时，，
当时，，
又，因此对任意的，，，
所以，，，，
这表示，取，
所以对任意的区间，存在正整数，使得，
即对任意的区间，存在正整数，使得为上的“阶交汇函数”
1 / 1
