广东省广州市真光中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷
1．（2025高二上·广州期中）下列直线中，倾斜角最大的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高二上·广州期中）圆x2＋y2＋2x＋6y＋9＝0与圆x2＋y2－6x＋2y＋1＝0的位置关系是（ ）
A．相交 B．相外切 C．相离 D．相内切
3．（2025高二上·广州期中）四面体中，，，，且，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025高二上·广州期中）若，，，则点A到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高二上·广州期中）如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（ ）
A．圆 B．射线
C．长轴为4的椭圆 D．长轴为2的椭圆
6．（2025高二上·广州期中）由曲线围成的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高二上·广州期中）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上．由椭圆的一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，．若透明窗所在的直线与截口所在的椭圆交于一点，且，则的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
8．（2025高二上·广州期中）在空间直角坐标系Oxyz中，定义：经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，经过点且一个法向量为的平面的方程为.已知在空间直角坐标系Oxyz中，经过点的直线l的方程为，经过点P的平面的方程为，则直线l与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高二上·广州期中）已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（ ）
A．C的离心率为 B．的周长为12
C．的最小值为3 D．的最大值为16
10．（2025高二上·广州期中）已知直线与圆恒有两个不同的公共点，则下列叙述正确的有（ ）
A．直线过定点
B．半径的取值范围是
C．当时，线段长的最小值为
D．当时，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个，则
11．（2025高二上·广州期中）在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为AB的中点，N在侧面上（包含边界），若，（，，），则（ ）
A．若，则平面ACD B．当最小时，
C．若，则 D．当最大时，
12．（2025高二上·广州期中）若方程表示椭圆，则的取值范围是 ．
13．（2025高二上·广州期中）如图，在四面体ABCD中，，，若，，，，则平面ABD与平面CBD的夹角为 ．
14．（2025高二上·广州期中）已知点和以点Q为圆心的圆．以为直径的圆的圆心为点，设圆Q与圆相交于两点（在左边），则直线PA，PB的方程分别为 ， ．
15．（2025高二上·广州期中）空间直角坐标系中，分别以，为邻边作一个平行四边形.
（1）分别求这个平行四边形两条对角线的长；
（2）求这个平行四边形的面积.
16．（2025高二上·广州期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线PM与直线PN的斜率之积是.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）直线与（1）中轨迹相交于，两点，若为线段的中点，求直线的方程；
（3）在（2）的条件下，求弦长.
17．（2025高二上·广州期中）如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，，平面，，.
（1）已知点G为上一点，，求证：与平面不平行；
（2）已知点F到平面的距离为，求平面与平面的夹角的余弦值.
18．（2025高二上·广州期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中的点，则满足的动点P的轨迹记为圆.
（1）求圆的方程；
（2）已知，，三点，点在圆上运动，求的最大值与最小值之差.
（3）直线与圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由；
19．（2025高二上·广州期中）马戏团的表演场地是一个圆锥形棚，如图，为棚顶，是棚底地面的中心，为棚底直径，，是棚底的内接正三角形，中间的支柱米，从支柱上的点向棚底周围拉了4根绳子供动物攀爬表演，有一个节目表演的是猴子从点沿着绳子爬到点，再沿着爬到棚顶，然后从棚顶跳到中的某一根绳子上.
（1）当点取在距离点米处时，证明拉绳所在直线和平面垂直；
（2）经验表明当拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大时，节目的观赏性最佳，问此时应该把点取在什么位置.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：A、易知直线的斜率，则倾斜角；
B、直线的倾斜角；
C、易知直线的斜率，则倾斜角；
D、易知直线的倾斜角，
则直线的倾斜角最大.
故答案为：C.
【分析】由题意，分别求直线的斜率，再结合直线倾斜角与斜率的关系逐项判断即可.
2．【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】圆x2＋y2＋2x＋6y＋9＝0半径为1，圆心为A（－1，3)；圆x2＋y2－6x＋2y＋1＝0半径为3，圆心为B（3，－1). |AB|=>1+3，所以圆x2＋y2＋2x＋6y＋9＝0与圆x2＋y2－6x＋2y＋1＝0的位置关系是相离，选C。
3．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
所以，
故答案为：B.
【分析】结合图形，将分别用基底表示出来，再根据向量的线性运算法则计算即得.
4．【答案】A
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：易知，，
则在上的投影向量的模为，
故点A到直线的距离为．
故答案为：A.
【分析】由题意易得，，再根据点线距离的向量公式求解即可.
5．【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：连接，
因为线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，所以，
因为，所以，
所以点的轨迹是以为焦点，4为长轴长，焦距为2的椭圆.
故答案为：C
【分析】连接，由线段垂直平分线的性质得|PQ|=|BQ|，结合圆的性质可得，符合椭圆的定义，可得其轨迹.
6．【答案】D
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】解：
当时，曲线为
当时，曲线
画出图像如上图，
所求面积为两个圆的面积减去一个重叠部分的面积
圆的半径为，两圆对称，
故为
故答案为：D
【分析】分两种情况讨论，分别写出曲线方程，再做出图像，可求出面积.
7．【答案】D
【知识点】椭圆的应用
【解析】【解答】解：∵点在椭圆上，，又，
∴则，
即可得：，
故的面积为：.
故答案为：D
【分析】由椭圆定义，在内，用余弦定理，结合勾股定理可得可得的值，则即可求的面积．
8．【答案】B
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解 ：经过点的直线的方程为，
则，
所以，直线的一个方向向量为，
又因为经过点的平面的方程为，
所以，
则平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，
则.
故答案为：B.
【分析】由题中定义得到直线的一个方向向量和平面的法向量，再由数量积求向量夹角公式得出直线l与平面所成角的正弦值.
9．【答案】B,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：将椭圆转化为，
则.
对于A，因为，故A错误；
对于B，因为的周长为，故B正确；
对于C，因为的最小值为，故C错误；
对于D，因为，当且仅当时等号成立，
故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据椭圆的离心率公式，从而计算出椭圆C的离心率的值，则判断出选项A；根据椭圆定义计算焦点三角形的周长，则判断出选项B；根据的最小值为，则判断出选项C；根据椭圆定义结合基本不等式求最值的方法，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：A、由直线l：，可化为，
由方程组，解得，即直线过定点，该选项正确，符合题意；
B、因为直线与圆总有两个公共点，得点在圆内部，
所以，解得，该选项错误，不合题意；
C、当时，圆的方程为，得圆心，
所以，可得线段长的最小值为，该选项正确，符合题意；
D、当时，圆的方程为，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个，
所以到直线的距离为2，所以，该选项正确，符合题意.
故答案为：ACD
【分析】将直线化为可求直线所过定点，可判断A；利用点在圆内，将点代入圆的方程可求半径范围，可判断B；利用垂直关系构建直角三角形，利用勾股定理，可求长的最小值，可判断C；画出图象，利用点到直线的距离可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】空间中两点间的距离公式；直线与平面平行的判定；空间向量基本定理
【解析】【解答】解：由，平面平面，平面平面，平面，
得平面，
又因为N在侧面上（包含边界），设，且，
所以
，
又因为，
所以，且.
对于，若，则，
所以点为点，显然平面，故错误；
过作，垂足为，
得，，
由平面，平面，得，
因为，平面，
所以平面，
则，故A错误；
对于，显然当点与点重合时，最小，此时，
则，故正确；
对于，若，则，
所以点在线段上（包括端点），
由平面，平面，
得，故正确；
对于，显然当点与点重合时，最大，
则最大，此时，
所以，故正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据线线垂直和面面垂直的性质定理，从而证出平面，设，且，从而可得，若，则点即为点，从而得出平面，则判断出选项A；过作，垂足为，从而证出平面，则，再结合图形分析判断出选项B和选项D；若，可得点在线段上（包括端点），再结合垂直关系分析判断出选项C，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】解：方程表示椭圆，，求得，的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据椭圆性质得到，进而求解的取值范围.
13．【答案】
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：设向量的夹角为，则，
由题意可得：，
因为，
则，
即，解得，
由，可得，
因为，，平面平面，平面，平面，
故平面与平面的夹角为.
故答案为：.
【分析】平面与平面的夹角就是向量的夹角为，由，两边平方进行求出.
14．【答案】；
【知识点】直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由为圆的直径，且为圆与圆的交点，得，
则直线是圆的两条切线，圆的圆心，半径为3，
点到直线的距离为3，因此直线是过点与圆相切的一条切线，
即直线的方程为；
设直线的方程为，即，
于是，解得，直线的方程为.
故答案为：；
【分析】画图可得是圆的两条切线，一条斜率不存在，可直接写出；另一条斜率存在，利用d=r求出方程.
15．【答案】（1）因为平行四边形是以，为邻边的平行四边形，所以这个平行四边形对角线对应的向量为和长度为、（2）因为，，所以，，所以所以故以，为邻边的平行四边形的面积：
（1）解：因为平行四边形是以，为邻边的平行四边形，
所以这个平行四边形对角线对应的向量为和长度为、
（2）解：因为，，
所以，，所以
所以故以
，为邻边的平行四边形的面积：
【知识点】向量的模；空间向量基本定理；同角三角函数间的基本关系；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】(1)利用向量加减法的几何意义，将对角线转化为；
(2)利用数量积公式可求，利用面积公式可求.
16．【答案】（1）解：由题意可得：，化简，
因为直线PA、PB的斜率存在，所以，
则动点的轨迹的方程为；
（2）解：设，，显然，
因为，在椭圆上，所以，，两式作差可得，
即，又因为为线段AB的中点，
所以，，所以直线的斜率为，
则直线的方程为，经检验此时该直线与椭圆有两交点，整理可得直线的方程为；
（3）解：联立，消元整理可得，
设，，由韦达定理可得，，
则.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）由题意，根据斜率乘积得到方程，化简求轨迹方程即可；
（2）设，，利用点差即可得到直线的斜率，再写出点斜式化简求直线方程即可；
（3）联立直线与椭圆，消元整理，由韦达定理可得，，再利用弦长公式求解即可.
（1）由题意，化简，
又因为直线PA、PB的斜率存在，则.
故动点的轨迹的方程为.
（2）设，，由题意，显然，
则有，，两式作差可得，
即有，
又为线段AB的中点，
则有，，代A即得直线的斜率为，
直线的方程为，经检验此时该直线与椭圆有两交点，
整理可得直线的方程为.
（3），
设，，则，，
故.
17．【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以，.
又，所以以为坐标原点，AF，AB，AD分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
因为，即与不垂直，
所以与平面不平行.
（2）解：设且，则，所以.
由（1）知平面的一个法向量，
所以到平面的距离，
解得或（舍去），故.
，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
∴平面与平面的夹角的余弦值为.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，点、直线的方向向量、平面的法向量坐标，利用线面角的向量法求解即可.
（2）设且，利用向量法求出点到面的距离公式，即可求出，在由空间向量法计算可得.
（1）因为平面，平面，所以，.
又，所以以为坐标原点，AF，AB，AD分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
因为，即与不垂直，
所以与平面不平行.
（2）设且，则，所以.
由（1）知平面的一个法向量，
所以到平面的距离，
解得或（舍去），故.
，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
∴平面与平面的夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：设，由得，
即，
整理得①.
（2）解：设，因为，，三点，
所以
，
，
因为点P在圆上运动，
则，解得，
所以，
当时，取得最大值88，
当时，取得最小值72.
所以取的最大值与最小值之差为.
（3）解：由消去并整理得，
设，，
，
假定在轴上存在定点，使得，
设，则，
即，整理得，
则，化简得，
当时，，当时，，因此当时，恒成立，
所以在轴上存在定点，使得，点.
【知识点】轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设，代入化简可得；
（2）用点坐标表示，将结合圆的方程消元得然后可解；
（3）将直线和圆的方程联立，利用韦达定理代入化简，然后可解.
（1）设，由得，
即，
整理得①.
（2）设，因为，，三点，
所以
，
，
因为点P在圆上运动，
则，解得，
所以，
当时，取得最大值88，
当时，取得最小值72.
所以取的最大值与最小值之差为.
（3）由消去并整理得，
设，，
，
假定在轴上存在定点，使得，
设，则，
即，整理得，
则，化简得，
当时，，当时，，因此当时，恒成立，
所以在轴上存在定点，使得，点.
19．【答案】（1）证明：因为，，所以是正三角形，则，
易知底面圆，而底面圆，所以，
又在中，，所以，
因为是正三角形，所以，
且，，所以，，
同理可证，
又，平面，所以平面，
即拉绳所在直线和平面垂直；
（2）解：如图，建立以为原点的空间直角坐标系，
设，
所以
设平面的法向量为，则，
令，则，故，
设直线和平面所成的角为，
则
，
当且仅当，即米时，拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大，
故应该把点取在距离点米处.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用求得AO，正三角形求得AB，勾股定理求得AP，再利用勾股定理证得与，再利用线面垂直的判定定理即可得证；
（2）建系，求点、直线的方向向量、平面的法向量坐标，利用线面角的向量法求解即可.结合基本不等式求得直线和平面所成角的正弦值最大时的值，由此得解.
（1）因为，，所以是正三角形，则，
易知底面圆，而底面圆，所以，
又在中，，所以，
因为是正三角形，所以，
且，，所以，，
同理可证，
又，平面，所以平面，
即拉绳所在直线和平面垂直；
（2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系，
设，
所以
设平面的法向量为，则，
令，则，故，
设直线和平面所成的角为，
则
，
当且仅当，即米时，拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大，
故应该把点取在距离点米处.
1 / 1广东省广州市真光中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷
1．（2025高二上·广州期中）下列直线中，倾斜角最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：A、易知直线的斜率，则倾斜角；
B、直线的倾斜角；
C、易知直线的斜率，则倾斜角；
D、易知直线的倾斜角，
则直线的倾斜角最大.
故答案为：C.
【分析】由题意，分别求直线的斜率，再结合直线倾斜角与斜率的关系逐项判断即可.
2．（2025高二上·广州期中）圆x2＋y2＋2x＋6y＋9＝0与圆x2＋y2－6x＋2y＋1＝0的位置关系是（ ）
A．相交 B．相外切 C．相离 D．相内切
【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】圆x2＋y2＋2x＋6y＋9＝0半径为1，圆心为A（－1，3)；圆x2＋y2－6x＋2y＋1＝0半径为3，圆心为B（3，－1). |AB|=>1+3，所以圆x2＋y2＋2x＋6y＋9＝0与圆x2＋y2－6x＋2y＋1＝0的位置关系是相离，选C。
3．（2025高二上·广州期中）四面体中，，，，且，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
所以，
故答案为：B.
【分析】结合图形，将分别用基底表示出来，再根据向量的线性运算法则计算即得.
4．（2025高二上·广州期中）若，，，则点A到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：易知，，
则在上的投影向量的模为，
故点A到直线的距离为．
故答案为：A.
【分析】由题意易得，，再根据点线距离的向量公式求解即可.
5．（2025高二上·广州期中）如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（ ）
A．圆 B．射线
C．长轴为4的椭圆 D．长轴为2的椭圆
【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：连接，
因为线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，所以，
因为，所以，
所以点的轨迹是以为焦点，4为长轴长，焦距为2的椭圆.
故答案为：C
【分析】连接，由线段垂直平分线的性质得|PQ|=|BQ|，结合圆的性质可得，符合椭圆的定义，可得其轨迹.
6．（2025高二上·广州期中）由曲线围成的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】解：
当时，曲线为
当时，曲线
画出图像如上图，
所求面积为两个圆的面积减去一个重叠部分的面积
圆的半径为，两圆对称，
故为
故答案为：D
【分析】分两种情况讨论，分别写出曲线方程，再做出图像，可求出面积.
7．（2025高二上·广州期中）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上．由椭圆的一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，．若透明窗所在的直线与截口所在的椭圆交于一点，且，则的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的应用
【解析】【解答】解：∵点在椭圆上，，又，
∴则，
即可得：，
故的面积为：.
故答案为：D
【分析】由椭圆定义，在内，用余弦定理，结合勾股定理可得可得的值，则即可求的面积．
8．（2025高二上·广州期中）在空间直角坐标系Oxyz中，定义：经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，经过点且一个法向量为的平面的方程为.已知在空间直角坐标系Oxyz中，经过点的直线l的方程为，经过点P的平面的方程为，则直线l与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解 ：经过点的直线的方程为，
则，
所以，直线的一个方向向量为，
又因为经过点的平面的方程为，
所以，
则平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，
则.
故答案为：B.
【分析】由题中定义得到直线的一个方向向量和平面的法向量，再由数量积求向量夹角公式得出直线l与平面所成角的正弦值.
9．（2025高二上·广州期中）已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（ ）
A．C的离心率为 B．的周长为12
C．的最小值为3 D．的最大值为16
【答案】B,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：将椭圆转化为，
则.
对于A，因为，故A错误；
对于B，因为的周长为，故B正确；
对于C，因为的最小值为，故C错误；
对于D，因为，当且仅当时等号成立，
故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据椭圆的离心率公式，从而计算出椭圆C的离心率的值，则判断出选项A；根据椭圆定义计算焦点三角形的周长，则判断出选项B；根据的最小值为，则判断出选项C；根据椭圆定义结合基本不等式求最值的方法，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．（2025高二上·广州期中）已知直线与圆恒有两个不同的公共点，则下列叙述正确的有（ ）
A．直线过定点
B．半径的取值范围是
C．当时，线段长的最小值为
D．当时，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个，则
【答案】A,C,D
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：A、由直线l：，可化为，
由方程组，解得，即直线过定点，该选项正确，符合题意；
B、因为直线与圆总有两个公共点，得点在圆内部，
所以，解得，该选项错误，不合题意；
C、当时，圆的方程为，得圆心，
所以，可得线段长的最小值为，该选项正确，符合题意；
D、当时，圆的方程为，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个，
所以到直线的距离为2，所以，该选项正确，符合题意.
故答案为：ACD
【分析】将直线化为可求直线所过定点，可判断A；利用点在圆内，将点代入圆的方程可求半径范围，可判断B；利用垂直关系构建直角三角形，利用勾股定理，可求长的最小值，可判断C；画出图象，利用点到直线的距离可判断D.
11．（2025高二上·广州期中）在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为AB的中点，N在侧面上（包含边界），若，（，，），则（ ）
A．若，则平面ACD B．当最小时，
C．若，则 D．当最大时，
【答案】B,C,D
【知识点】空间中两点间的距离公式；直线与平面平行的判定；空间向量基本定理
【解析】【解答】解：由，平面平面，平面平面，平面，
得平面，
又因为N在侧面上（包含边界），设，且，
所以
，
又因为，
所以，且.
对于，若，则，
所以点为点，显然平面，故错误；
过作，垂足为，
得，，
由平面，平面，得，
因为，平面，
所以平面，
则，故A错误；
对于，显然当点与点重合时，最小，此时，
则，故正确；
对于，若，则，
所以点在线段上（包括端点），
由平面，平面，
得，故正确；
对于，显然当点与点重合时，最大，
则最大，此时，
所以，故正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据线线垂直和面面垂直的性质定理，从而证出平面，设，且，从而可得，若，则点即为点，从而得出平面，则判断出选项A；过作，垂足为，从而证出平面，则，再结合图形分析判断出选项B和选项D；若，可得点在线段上（包括端点），再结合垂直关系分析判断出选项C，从而找出正确的选项.
12．（2025高二上·广州期中）若方程表示椭圆，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】解：方程表示椭圆，，求得，的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据椭圆性质得到，进而求解的取值范围.
13．（2025高二上·广州期中）如图，在四面体ABCD中，，，若，，，，则平面ABD与平面CBD的夹角为 ．
【答案】
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：设向量的夹角为，则，
由题意可得：，
因为，
则，
即，解得，
由，可得，
因为，，平面平面，平面，平面，
故平面与平面的夹角为.
故答案为：.
【分析】平面与平面的夹角就是向量的夹角为，由，两边平方进行求出.
14．（2025高二上·广州期中）已知点和以点Q为圆心的圆．以为直径的圆的圆心为点，设圆Q与圆相交于两点（在左边），则直线PA，PB的方程分别为 ， ．
【答案】；
【知识点】直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由为圆的直径，且为圆与圆的交点，得，
则直线是圆的两条切线，圆的圆心，半径为3，
点到直线的距离为3，因此直线是过点与圆相切的一条切线，
即直线的方程为；
设直线的方程为，即，
于是，解得，直线的方程为.
故答案为：；
【分析】画图可得是圆的两条切线，一条斜率不存在，可直接写出；另一条斜率存在，利用d=r求出方程.
15．（2025高二上·广州期中）空间直角坐标系中，分别以，为邻边作一个平行四边形.
（1）分别求这个平行四边形两条对角线的长；
（2）求这个平行四边形的面积.
【答案】（1）因为平行四边形是以，为邻边的平行四边形，所以这个平行四边形对角线对应的向量为和长度为、（2）因为，，所以，，所以所以故以，为邻边的平行四边形的面积：
（1）解：因为平行四边形是以，为邻边的平行四边形，
所以这个平行四边形对角线对应的向量为和长度为、
（2）解：因为，，
所以，，所以
所以故以
，为邻边的平行四边形的面积：
【知识点】向量的模；空间向量基本定理；同角三角函数间的基本关系；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】(1)利用向量加减法的几何意义，将对角线转化为；
(2)利用数量积公式可求，利用面积公式可求.
16．（2025高二上·广州期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线PM与直线PN的斜率之积是.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）直线与（1）中轨迹相交于，两点，若为线段的中点，求直线的方程；
（3）在（2）的条件下，求弦长.
【答案】（1）解：由题意可得：，化简，
因为直线PA、PB的斜率存在，所以，
则动点的轨迹的方程为；
（2）解：设，，显然，
因为，在椭圆上，所以，，两式作差可得，
即，又因为为线段AB的中点，
所以，，所以直线的斜率为，
则直线的方程为，经检验此时该直线与椭圆有两交点，整理可得直线的方程为；
（3）解：联立，消元整理可得，
设，，由韦达定理可得，，
则.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）由题意，根据斜率乘积得到方程，化简求轨迹方程即可；
（2）设，，利用点差即可得到直线的斜率，再写出点斜式化简求直线方程即可；
（3）联立直线与椭圆，消元整理，由韦达定理可得，，再利用弦长公式求解即可.
（1）由题意，化简，
又因为直线PA、PB的斜率存在，则.
故动点的轨迹的方程为.
（2）设，，由题意，显然，
则有，，两式作差可得，
即有，
又为线段AB的中点，
则有，，代A即得直线的斜率为，
直线的方程为，经检验此时该直线与椭圆有两交点，
整理可得直线的方程为.
（3），
设，，则，，
故.
17．（2025高二上·广州期中）如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，，平面，，.
（1）已知点G为上一点，，求证：与平面不平行；
（2）已知点F到平面的距离为，求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以，.
又，所以以为坐标原点，AF，AB，AD分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
因为，即与不垂直，
所以与平面不平行.
（2）解：设且，则，所以.
由（1）知平面的一个法向量，
所以到平面的距离，
解得或（舍去），故.
，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
∴平面与平面的夹角的余弦值为.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，点、直线的方向向量、平面的法向量坐标，利用线面角的向量法求解即可.
（2）设且，利用向量法求出点到面的距离公式，即可求出，在由空间向量法计算可得.
（1）因为平面，平面，所以，.
又，所以以为坐标原点，AF，AB，AD分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
因为，即与不垂直，
所以与平面不平行.
（2）设且，则，所以.
由（1）知平面的一个法向量，
所以到平面的距离，
解得或（舍去），故.
，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
∴平面与平面的夹角的余弦值为.
18．（2025高二上·广州期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中的点，则满足的动点P的轨迹记为圆.
（1）求圆的方程；
（2）已知，，三点，点在圆上运动，求的最大值与最小值之差.
（3）直线与圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由；
【答案】（1）解：设，由得，
即，
整理得①.
（2）解：设，因为，，三点，
所以
，
，
因为点P在圆上运动，
则，解得，
所以，
当时，取得最大值88，
当时，取得最小值72.
所以取的最大值与最小值之差为.
（3）解：由消去并整理得，
设，，
，
假定在轴上存在定点，使得，
设，则，
即，整理得，
则，化简得，
当时，，当时，，因此当时，恒成立，
所以在轴上存在定点，使得，点.
【知识点】轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设，代入化简可得；
（2）用点坐标表示，将结合圆的方程消元得然后可解；
（3）将直线和圆的方程联立，利用韦达定理代入化简，然后可解.
（1）设，由得，
即，
整理得①.
（2）设，因为，，三点，
所以
，
，
因为点P在圆上运动，
则，解得，
所以，
当时，取得最大值88，
当时，取得最小值72.
所以取的最大值与最小值之差为.
（3）由消去并整理得，
设，，
，
假定在轴上存在定点，使得，
设，则，
即，整理得，
则，化简得，
当时，，当时，，因此当时，恒成立，
所以在轴上存在定点，使得，点.
19．（2025高二上·广州期中）马戏团的表演场地是一个圆锥形棚，如图，为棚顶，是棚底地面的中心，为棚底直径，，是棚底的内接正三角形，中间的支柱米，从支柱上的点向棚底周围拉了4根绳子供动物攀爬表演，有一个节目表演的是猴子从点沿着绳子爬到点，再沿着爬到棚顶，然后从棚顶跳到中的某一根绳子上.
（1）当点取在距离点米处时，证明拉绳所在直线和平面垂直；
（2）经验表明当拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大时，节目的观赏性最佳，问此时应该把点取在什么位置.
【答案】（1）证明：因为，，所以是正三角形，则，
易知底面圆，而底面圆，所以，
又在中，，所以，
因为是正三角形，所以，
且，，所以，，
同理可证，
又，平面，所以平面，
即拉绳所在直线和平面垂直；
（2）解：如图，建立以为原点的空间直角坐标系，
设，
所以
设平面的法向量为，则，
令，则，故，
设直线和平面所成的角为，
则
，
当且仅当，即米时，拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大，
故应该把点取在距离点米处.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用求得AO，正三角形求得AB，勾股定理求得AP，再利用勾股定理证得与，再利用线面垂直的判定定理即可得证；
（2）建系，求点、直线的方向向量、平面的法向量坐标，利用线面角的向量法求解即可.结合基本不等式求得直线和平面所成角的正弦值最大时的值，由此得解.
（1）因为，，所以是正三角形，则，
易知底面圆，而底面圆，所以，
又在中，，所以，
因为是正三角形，所以，
且，，所以，，
同理可证，
又，平面，所以平面，
即拉绳所在直线和平面垂直；
（2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系，
设，
所以
设平面的法向量为，则，
令，则，故，
设直线和平面所成的角为，
则
，
当且仅当，即米时，拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大，
故应该把点取在距离点米处.
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