§2.5
等腰三角形的轴对称性(2)
一、细心选一选．
1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为
(
)
A．70°
B．80°
C．40°
D．30°
2．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM的值为
(
)
A．3
B．4
C．5
D．6
3．如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，M为BC的中点．已知EF=5，BC=8，则△EFM的周长是
(
)
A．21
B．18
C．13
D．15
4．若a，b，c是三角形的三条边，且满足a2+ac=ab+bc，则该三角形的形状为．
(
)
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
5．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可
画
(
)
A．6条
B．7条
C．8条
D．9条
6．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为
(
)
A．6
B．7
C．8
D．9
二、认真填一填．
7．
(1)
如图①，若AD平分∠BAC，CE∥DA，则△
是等腰三角形；
(2)
如图②，若AD平分∠BAC，DE∥BA，则△
是等腰三角形；
(3)
如图③，若AD平分∠BAC，CE∥AB，交AD的延长线于点E，则△
是等腰三角形；
(4)
如图④，若AD平分∠BAC，且AD∥EC，EG交AB于点F，则△
是等腰三角形．
8．如图，B，D，F在AN上，C，E在AM上，且AB=BC=CD，EC=ED=EF，∠A=20°，则∠FEM度数是
9．如图，△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD=20°，∠EDC=10°，则∠DAE的度数为
°．
10．△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所成的锐角是40°，则底角∠B=
.
11．如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上的一点，OC=10
cm，动点P从点C出发沿CB以2
cm／s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1
cm／s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t
(s)表示移动的时间，当t=
时，△POQ是等腰三角形．
三、耐心解一解．
12．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D．
求证：(1)
∠EDC=∠ECD；
(2)
OC=OD；
(3)
OE是线段CD的垂直平分线．
13．已知：如图，在四边形ABCD中∠ABC=∠ADC=90°，M，N分别是AC，BD的中点．
求证：(1)
DM=BM；
(2)
MN⊥BD．
14．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，BC=10，EF=4．
(1)
求△MEF的周长；
(2)
若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求△EFM的三个内角的度数．
15．如图，在△ABC中，M，N分别是BC与EF的中点，CF⊥AB，BE⊥AC．
求证：MN⊥EF．
16．如图①，△ABC中，AB=AC，∠B，∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB，AC于E，F．
(1)
图中有几个等腰三角形
猜想：EF与BE，CF之间有怎样的关系，并说明理由．
(2)
如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗
如果有，分别指出它们在第(1)问中EF与BE，CF间的关系还存在吗
(3)
如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗
EF与BE，CF关系又如何 说明你的理由．
参考答案
1．D
2．C
3．C
4．A
5．B
6．D
7．△ACE
△ADE
△ACE
△AEF
8．100°
9．60°
10．65°或25°
11．10或
12．证△EDO≌△ECO(AAS)得出OC=OD，ED=EC→∠EDC=∠ECD，∴EO垂直平分DC，则OE是CD的中垂线．
13．略
14．(1)
△MEF周长为14．
(2)
三个内角度数分别为40°，70°，70°
15．证明：如图，连接MF，ME，∵MF，ME分别为Rt△FBC
是和Rt△EBC斜边上的中线，∴MF=ME=BC，在△MEF中，MF=ME，点N是EF的中点，∴MN⊥EF．
16．(1)
图中有5个等腰三角形，EF=BE+CF，∵△BEO≌△CFO，
且这两个三角形均为等腰三角形，可得EF=EO+FO=BE+CF；
(2)
还有两个等腰三角形，为△BEO，△CFO，如图②所示，∵
EF∥BC，∴∠2=∠3，又∵∠1=∠2，∴∠1=3，∴△BEO为等腰三角形，在△CFO中，同理可证．∴EF=BE+CF存在．
(3)有等腰三角形：△BEO，△CFO，此时EF=BE－CF，∵如图③所示，OE∥BC，∴∠5=∠6，又∠4=∠5，∴∠4=∠6，∴△BEO是等腰三角形，在△CFO中，同理可证△CFO是等腰三角形，∵BE=EO，OF=FC，∴BE=EF+FO=EF+CF，∴EF=BE－CF．§2.4
线段、角的轴对称性(1)
一、细心选一选．
1．如果一个三角形的顶点恰好在它所对边的垂直平分线上，那么这个三角形是
(
)
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．钝角三角形
D．锐角三角形
2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于点E，连接DE，则四边形ABED的周长为
(
)
A．17
B．18
C．19
D．20
3．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的
(
)
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条角平分线的交点
4．在△ABC中，∠BAC=130°，AB，AC两边的垂直平分线，与BC边交于点E，G，则∠EAG的度数为
(
)
A．50°
B．80°
C．70°
D．65°
5．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=
10°，则∠C的度数为
(
)
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
6．下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=
PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若．EA=
EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有
(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、认真填一填．
7．如图，已知CD垂直平分线段AB，AC=1，∠A=40°，则BC=
，∠B=
．
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE垂直平分AB，垂足为E.
若AC=4．，则AB=
．
9．如图，△ABC中，AB+AC=6
cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为
．
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于点D，∠CAD：∠DBA=1：2，则∠B的度数为
.
11．已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于
．
12．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，ED是BC的垂直平分线，请写出图中两条相等的线段是
．
三、耐心解一解．
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD，BC相交于点E，F，连接AF．
求证：AE=AF．
14．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°．沿DE折叠，使点A与点B重合，折痕为DE．若DE=CE，求∠A的度数．
15．如图，在大河CD的同侧有A，B两个村庄，请在大河CD的边上找到自来水厂P的位置，满足下列条件：
(1)
水厂P到A，B两个村庄的距离相等；
(2)
水厂P到A，B两个村庄的距离和最短．
16．如图，∠AOB内有一点P，分别作出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1，P2，交OA于点M，交OB于点N，连接PM，PN．
(1)
当P1P2=12
cm时，求△PMN的周长；
(2)
当∠AOB=25°时，求∠P1
PP2的度数．
17．如图，在△ABC中，PM，QN分别是AB，AC的垂直平分线，∠BAC=110°，△PAQ的周长为12
cm，求∠PAQ的度数及BC的长度．
18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是
．
19．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图①，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．
(1)
如图②，画出菱形ABCD的一个准等距点；
(2)
如图③，作出四边形ABCD的一个准等距点
(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)
参考答案
1．B
2．A
3．C
4．B
5．B
6．C
7．1
40°
8．8
9．6
10．36
11．8
12．BD=CD
13．∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO．
又AO=CO，∴△AEO≌△CFO
(AAS)．∴AE=CF．
又∵EF垂直平分AC，∴AF=CF．∴AE=AF
14．∠A=30°
15．略
16．(1)
12
(2)
155°
17．∠PAQ=40°
BC=12
cm
18．
50
19．§2.2
轴对称的性质
(2)
一、选择
1．下列图形中，不是轴对称图形的是
(
)
2．下列图形中，不一定是轴对称图形的是
(
)
A．线段
B．等腰三角形
C．等腰梯形
D．平行四边形
3．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P
关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=2．5
cm，PN=3
cm，MN=4
cm，则线段QR的长为
(
)
A．4．5
cm
B．5．5
cm
C．6．5
cm
D．7
cm
4．如图，在Rt
△ABC中，∠ACB=90°，∠A<∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A的度数是
(
)
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
5．如图，△ABC的周长为30
cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE=4
cm，则△ABD的周长是
(
)
A．22
cm
B．20
cm
C．18
cm
D．15
cm
6．如图，在四边形ABCD中，△ABC与△ADC关于对角线AC对称，则以下结论正确的
是
(
)
①AC平分∠BAD
②CA平分∠BCD
③BD⊥AC
④BE=DE
A．①②③④
B．①②③
C．①②
D．④
二、填空
7．请在下面的这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处，填上适当的图形．
8．如图，把图形沿BC对折，点A和点D重合，那么图中共有全等三角形
对．
9．如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AB=CD，有下面的结论：①AB∥CD；②AC
⊥BD；③AO=
OC；④AB⊥BC．其中正确的结论有
．
10．如图，分别作出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1，P2，分别交OA，OB于点M，N，若P1，P2=5
cm，则△PMN的周长为
.
11．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有
个．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD，AC上的动点，则PC+PQ的最小值是
．
三、解答
13．如图，已知△ABC和直线MN．求作：△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC关于直线MN对称．(不要求写作法，只保留作图痕迹)
14．如图，在边长为1的小正方形组成的10×10网格中
(我们把组成网络的小正方形的顶点称为格点)，四边形ABCD在直线l的左侧，其四个顶点A，B，C，D分别在网格的格点上．
(1)
请你在所给的网格中画出四边形A'B'C'D'，使四边形A'B'C'D'和四边形ABCD关于直线l对称，其中点A'B'C'D'分别是点A，B，C，D的对称点；
(2)
在(1)的条件下，结合你所画的图形，求四边形A'B'C'D'的面积；连接AA
'，DD
'，求四边形ADD'A
'的面积．
15．如图，在Rt△ABC
中，∠C=90°，沿过点B的一条直线BE折叠Rt△ABC，使点C恰好落在AB边的中点O处，则∠A等于
(
)
A．40°
B．35°
C．30°
D．20°
16．生活中，有人喜欢把传送的便条折成
形状，折叠过程是这样的
(阴影部分表示纸条的反面)：
如果由信纸折成的长方形纸条
(图①)
长为26
cm，宽为x
cm，分别回答下列问题：
(1)
为了保证能折成图④的形状
(即纸条两端均超出点P)，试求x的取值范围．
(2)
如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示)．
参考答案
1．A
2．D
3．A
4．C
5．A
6．A
7．
8．
3
9．①②③
10．5
11．5
12．
13．略14．(1)略
(2)四边形A'B'C'D'的面积为3×4－×1×3－×1×2－×1×2－×2×2=
四边形ADD'A'的面积为
(6+2))×2=8．
15．C
16．(1)
0
(2)§2.4
线段、角的轴对称性(2)
一、细心选一选．
1．到三角形三条边距离相等的点是
(
)
A．三边高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条垂直平分线的交点
D．三条内角平分线的交点
2．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是
(
)
A．PA=PB
B．PO平分∠APB
C．OA=OB
D．AB垂直平分OP
3．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，D在OB上，则PC与PD的大小关系是
(
)
A．PC≥PD
B．PC=PD
C．PC≤PD
D．不能确定
4．如图，△ABC的面积为10
cm2，AP与∠B的平分线BP垂直，垂足为P，则△PBC的面积为
(
)
A．7
cm2
B．6
cm2
C．5
cm2
D．4
cm2
5．如图，在△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为30，20，20，O为三边角平分线的交点，则△ABO，△BCO，△ACO的面积比等于
(
)
A．1：1：1
B．2：2：3
C．2：3：2
D．3：2：2
二、认真填一填．
6．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是
．
7．如图，已知△ABC中，AC+BC=16，AO，BO分别是∠CAB，∠ABC的角平分线．MN经过点O，且MN∥BA，分别交AC于N，BC于M，则△CMN的周长为
．
8．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于
M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为
．
9．如图，已知BD平分∠ABC，AD⊥AB于点A，DC⊥BC于点C，若BC=8，AD=6，则DC=
，BD=
．
10．若△ABC的周长为41
cm，边BC=17
cm，ABcm．
11．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S伽0：S△BCO：S△CAO=
．
12．如图，正方形ABCD中，BC=2，∠DCE是正方形ABCD的外角，P是∠DCE的角平分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于
．
三、耐心解一解．
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分线段AB．
(1)
求∠A；
(2)
若DE=2
cm，BD=4
cm，求AC的长．
14．如图，已知BD=CD，BF⊥AC，CE⊥AB．求证：点D在∠BAC的平分线上．
15．如图，AD∥BC，CD⊥AD，AE平分∠BAD，且E是DC的中点，EF⊥AB于点F．AD，BC与AB之间有什么数量关系
为什么
16．如图，CD，CF分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，DF∥BC交AC于点E，那么DE=EF吗
说出你的理由．
17．如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何
证明你的结论．
18．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACE的平分线BD，CD交于点D．
(1)
若∠A=n°，求∠D的度数；
(2)
说明：点D到AC，AB的距离相等．
19．(本题12分)
如图，已知BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，且AB+BC=2BE
(1)
求证：∠BAD+∠BCD=180°；
(2)
若将条件“AB+BC=2BE”与结论“∠BAD+∠BCD=180°”互换，结论还成立吗 请说明理由
参考答案
1．D
2．D
3．C
4．C
5．D
6．15
7．16
8．9
9．
6
10
10．9
11．4：5：6
12．2
13．∠A=30°
AC=6
14．∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED=∠CFD=90°，在△BED和△CFD中，
ABED和ACFD中，∴△BED≌△CFD
(AAS)，∴DE=DF，又∵
DE⊥AB，DF⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上．
15．AD+BC=AB理由：连接BE．∵AE平分∠BAD，CD⊥AD，EF⊥AB，∴DE=FE．∵AE=AE，∴Rt△ADE≌Rt△AFE.
∴AD=AF，∵AD∥BC，CD⊥AD，∴CD⊥BC．又∵E为DC的中点，∴CE=DE=FE．
同理可证Rt△BEF≌Rt△BEC．∴BF=BC．∴AD+BC=AF+BF=AB．
16．略
17．相等．证明如下：连接EB，EC，∵AE是∠BAC的平分线，且EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，∴EF=EG．∵ED⊥BC于D，D是BC的中点．∴EB=EC．∴Rt△EFB≌Rt△EGC，∴
BF=CG．
18．(1)
∠D=n°
(2)提示：过点D作AB，AC，CE的垂线段．
19．(1)过D作DF⊥BA，垂足为F，∵AB+BC=2BE，∴
AB=BE+BE－BC，AB=BE+BE－BE－EC,
AB=BE－EC，AB+EC=BE，∵BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC，DF⊥BA，∴DF=DE，在Rt
△BFD和Rt△BED
中，∴Rt△BFD≌Rt△BED
(HL)，∴FB=BE，∴AB+AF=BE，又∵AB+EC=BE，∴AF=EC，在AFD和△CED中∴
△AFD≌△CED
(SAS)，∴∠DCE=∠FAD，∵∠BAD+∠FAD=180°，∴∠BAD+∠BCD=180°；
(2)可以互换，结论仍然成立，理由如下：
过D作DF⊥BA，垂足为F，∵∠BAD+∠FAD=180°，∠BAD+∠BCD=180°，∴∠DCE
=∠FAD，∵BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC，DF⊥BA，∴
DF=DE,在△AFD和△CED中
∴△AFD≌△CED
(AAS)，∴AF=EC，在Rt
△BFD和Rt
△BED
中
，∴Rt△BFD≌Rt△BED
(HL)，∴FB=BE，∴AB+AF=BE，AB=BE－AF=BE－EC=BE－(BC－BE)=BE－BC+BE=2BE－BC，即AB+BC=2BE§2.5
等腰三角形的轴对称性(3)
一、细心选一选．
1．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是
(
)
A．180°
B．220°
C．240°
D．300°
2．如图，等边△ABC的边长为1，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为
(
)
A．2
B．4
C．3
D．2．5
3．如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°；
②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形．其中正确结论的个数是
(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
4．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC边上的高是2，则DE+DF的值为
(
)
A．2
B．4
C．3
D．2．5
5．如图，在等边三角形ABC中，中线AD，BE相交于点O，图中的等腰三角形有
(
)
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
6．点P为∠AOB内一点，∠AOB=30°，P关于OA，OB的对称点分别为M，N，则△MON定是
(
)
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
二、认真填一填．
7．在等边三角形ABC中，AD是边BC上的中线，则∠ADB=
°，∠BAD=
°．
8．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=
度．
9．如图，等边△ABC的边长P为BC上一点，若△APD=60°，则图中相等的角(60°的角除外)是
．
10．如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC=
．
11．若∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，OP1，
OP2，则△OP1P2是
三角形．
12．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长为
．
三、耐心解一解．
13．已知：在
△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D，E在BC上，AD⊥AB，AE⊥AC．求证：△AED是等边三角形．
14．如图，△ABC中，AB=AC，D，E，F分别在BC，AB，AC上，且BE=DC，BD=FC．
(1)
求证：DE=DF；
(2)
当∠A的度数为多少时，△DEF是等边三角形，并说明理由．
15．如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC_上的点，且BE=AF，CE，BF交于点P．
(1)
求证：CE=BF；
(2)
求∠BPC的度数．
16．如图，等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
(1)
试判定△ODE的形状，并说明你的理由．
(2)
线段BD，DE，EC三者有什么关系
写出你的判断过程．
17．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．
18．如图，正方形ABCD，△EAD为等边三角形，则∠EBC=
．
19．如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，D是△ABC外一点，且△ADC≌△BOC，连接OD．
(1)
求证：ACOD是等边三角形；
(2)
当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)
当α为多少度时，△AOD是等腰三角形
参考答案
1．C
2．C
3．C
4．A
5．D
6．A
7．90°
30
8．15
9．∠BAP=∠CPD
∠APB=∠PDC
10．45
11．等边
12．6
13．(1)
∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°．∵AD⊥AB，AE⊥AC，∴∠ADB=∠AEC=60°．∴∠EAD=60°，∴△AED是等边三角形．
14．略
15．(1)略
(2)
∠BPC=120°
16．(1)△ODE是等边三角形
(2)
BD=DE=EC
17．∵△ABC和△EDC是等边三角形，∴∠BCA=∠DCE=160°，BC=AC，DC=EC．∴∠BCA－∠ACD=∠DCE－∠ACD，即∠BCD=∠ACE．∴△DBC≌△EAC
(SAS)．∴∠DBC=∠EAC．又∵∠DBC=∠ACB=60°，∴∠ACB=∠EAC．∴AE∥BC．
18．(1)
∵△ADC≌△BOC，∴DC=OC，∠DCA=∠OCB．∵△ABC为等边三角形，∴∠OCB+∠ACO=∠ACB=60°．∴∠DCA+∠ACO=∠DCO=60°．∴△COD是等边三角形
(2)
当α=150°时，△AOD是直角三角形
理由：∵△ADC≌△BOC，∴∠ADC=∠BOC=150°．又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°．∴∠ADO=90。，即△AOD是直角三角形．
(3)
①
要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO．∵∠AOD=190°－α，∠ADO=α－60°，∴190°－α=α－60°，∴α=125°．②
要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO.∵∠OAD=180°－(∠AOD+∠ADO)=180°－(190°－α+α－60°)=50°，∴α－60°－50°．∴α=110°．③要使AD=OD，需∠AOD=∠OAD，∴190°－α=50°．∴α=140°．
综上所述，当α为125°，110°或140°时，△AOD是等腰三角形．§2．2
轴对称的性质(1)
一、选择
1．在下面五个汽车的车标图案中，一定不是轴对称图形的有
(
)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
2．将一张圆形纸片对折后再对折，得到下图，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开的平面图形是
(
)
3．下列说法正确的是
(
)
A．全等的两个图形一定成轴对称
B．成轴对称的两个图形一定全等
C．两个图形关于某直线对称，对称点一定在这直线的两旁
D．两个图形关于某直线对称，对称点这直线上
4．P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA，OB的对
称点P1，P2，连接OPl，OP2，则下列结论正确的是
(
)
A．OP1⊥OP2
B．OP1=OP2
C．OP1⊥OP2且OP1=OP2
D．OP1≠OP2
5．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是
AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B'处，则
∠ADB，的度数为
(
)
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
6．如图，正方形网格中，已有两个小正方形被涂
黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有
(
)
A．3种
B．4种
C．5种
D．6种
二、填空
7．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5
cm，AB=11
cm，△ADC的周长为17
cm，则AE=
cm，BC=
cm．
8．如图，小章利用一张左、右两边已经破损的长方形纸片ABCD做折纸游戏，他将纸片沿EF折叠后，D，C两点分别落在D'，C'的位置，并利用量角器量得∠EFB=54°，则∠AED'等于
度．
9．如图，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A=130°，∠B=110°．那么
∠D=
．
10．如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，下列结论：①△ABC与△A'B'C'大小形状相同；②∠BAC=∠B'A'C'；③直线l不一定垂直平分线段CC'；④点A的对称点在直线l上．正确的有
．
11．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C'，D'处，C'E交AF于点G．若∠CEF=70°，则∠GFD'=
°．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠．使点A落在边CB上的A'处，折痕为CD，则∠A'DB的度数等于
．
三、解答
13．下列图形各有几条对称轴
请画出它们的对称轴．
14．如图是两条互相垂直的直线，借助网格图作出△ABC关于直线a和直线b的对称图形．
15．如图，在矩形ABCD中，AB=12
cm，BC=6
cm．点E，F分别在AB，CD
上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A'，D'处，则整个阴影部分图形的周长为
(
)
A．18
cm
B．36
cm
C．40
cm
D．72
cm
16．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，E，F分别为AB，CD边上的点．将纸片沿EF折叠，求图中①，②，③，④四个三角形的周长之和．
17．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，试求：
(1)
写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；
(2)
设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠l，∠2的度数分别是多少
(用含有x或y的代数式表示)
(3)
∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．
参考答案
1．C
2．C
3．B
4．B
5．D
6．C
7．
12
8．72°
9．110
10．①②④
11．40°
12．10°
13．略
14．略
15．B
16．32
17．(1)△EAD≌△EA'D，其中∠EAD=∠EA'D，∠AED=∠A'ED，∠ADE=∠A'DE．
(2)
∠1=180°－2x，∠2=180°－2y．
(3)
∵∠1+∠2=360°－2(x
+y
)=360°－2(180°－∠A)=2∠A
规律为：∠1+∠2=2∠A．第二章
轴对称图形
§2．1
轴对称与轴对称图形
一、选择题
1．下面汽车标志图形中，不是轴对称图形是
(
)
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2．在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形的是
(
)
( http: / / www.21cnjy.com )
3．下列四个艺术字中，不是轴对称的是
(
)
4．下列图形中所有轴对称图形的对称轴条数之和为
(
)
A．13
B．11
C．10
D．8
5．下列轴对称图形中，对称轴最多的是
(
)
A．等腰直角三角形
B．等边三角形
C．正方形
D．圆
6．一名同学想用正方形和圆设计一个图案，
( http: / / www.21cnjy.com )要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是
(
)
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二、填空
7．观察下图中各组图形，其中成轴对称的为
．(只写序号)
( http: / / www.21cnjy.com )
8．仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图形．
9．经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比：形状
改变，大小
改变(填“有”或“没有”)．
10．在镜子中看到的一串数字是“”，则这串数字是
．
11．如图，正方形ABCD的边长为4
cm，则图中阴影部分的面积为
cm2．
( http: / / www.21cnjy.com )
12．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个
( http: / / www.21cnjy.com )角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出
(球可以经过多反射)，则该球最后将落入的球袋是
．
三、解答
13．指出下列图形中的轴对称图形，画出它们的对称轴．
( http: / / www.21cnjy.com )
14．如下图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：
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15．如图，将标号为A，B，C，D的正方形
( http: / / www.21cnjy.com )沿图中的虚线剪开后得到标号为P，Q，M，N
的四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系．
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)
A与
对应，B与
对应，C与
对应，D与
对应；(填字母)
(2)
在标号为P，Q，M，N的图形中，轴对称图形有
．(填字母)
16．把图中的某两个小方格涂上阴影，使整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形．
( http: / / www.21cnjy.com )
17．数学中的对称美、统一美、和谐美随处可见，在数的运算中就有一些有趣的对称形式．
(1)
我们发现：
( http: / / www.21cnjy.com )12=1，112=121，1112—12321，11112=1234321，…请你根据发现的规律，接下去再写两个等式；
(2)
对称的等式：12×23
( http: / / www.21cnjy.com )1=132×21．仿照这一形式，完成下面的等式，并进行验算：12×462=
，18×891=
．
18．如图，在2×2的正方形格纸中
( http: / / www.21cnjy.com )，有一个以格点为顶点△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有
个．
( http: / / www.21cnjy.com )
19．如图，在：10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．网格中有一个格点△ABC
(即三角形的顶点都在格点上)．
(1)
在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；(要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应)
(2)
在(1)问的结果下，连接BBl，CCl，求四边形BB1C1C的面积．
( http: / / www.21cnjy.com )
参考答案
1．B
2．B
3．C
4．B
5．D
6．D
7．①②④
8．王
9．没有
没有
10．309087
11．8
12．2
13．略
14．略
15．(1)
M，P，N，Q
(2)
P，Q，M，N
16．略
17．111112=123
454
321
111
1112=12
345
654
321
(2)264×21
198×81
18．5
19．(1)
略
(2)
12§2．3
设计轴对称图案
一、选择
1．下列四个图案中，不是轴对称图形的是
(
)
( http: / / www.21cnjy.com )
2．下列说法错误的是
(
)
A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等
B．轴对称图形至少有一条对称轴
C．两个全等三角形一定关于某条直线对称
D．角是关于它的平分线所在直线对称的图形
3．把一张正方形纸片如图①，图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是
(
)
4．如图，正方形地砖的图案是轴对称图形，该图形的对称轴有
(
)
A．1条
B．2条
C．4条
D．8条
5．如图，在3×3的正方形网格中，已
( http: / / www.21cnjy.com )有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案(包括网格)
构成一个轴对称图形，则涂色的方法有
(
)
A．2种
B．3种
C．4种
D．5种
( http: / / www.21cnjy.com )
6．如图，将矩形ABCD纸片沿对角线B
( http: / / www.21cnjy.com )D折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于点E，若∠DBC=22．5°，则在不添加任何轴助线的情况下，图中45°的角
(虚线也视为角的边)
有
(
)
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个
二、填空
7．一个号码映在镜子里的像如图所示，则这个号码是
．
8．如图，桌面上有A，B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有
个．
9．如图所示．把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D'，C'的位置，若∠EFB=
65°，则∠AED'等于
．
10．如图，没L1和L2是镜面
( http: / / www.21cnjy.com )平行且镜面相对的两面镜子，把一个小球A放在之间，小球在
镜L1中的像为A'，A'在镜L2中的像为A''，若L1，L2的距离为7，则A''=
( http: / / www.21cnjy.com )
11．在3×3的方格纸中，点A，B，C
( http: / / www.21cnjy.com )，D，E，F分别位于如图所示的小正方形的顶点上．从A，D，E，F四点中任意取一点，以所取的这一点及点B，C为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是
．
三、解答
12．有三个3×3的正方形网格，网格中每个
( http: / / www.21cnjy.com )小正方形的边长均为1．请在图①，图②，图③中各画出一个面积为2，形状不同的四边形，要求顶点均在正方形的格点处，且四边形为轴对称图形．
( http: / / www.21cnjy.com )
13．利用一条线段、一个圆、一个正三角形设计几个轴对称图案，并说明你要表达的意思．
14．如图，点A，B，C都在方格纸的格点上，请你再找一个格点D，使A，B，C，D组成一个轴对称图形．(至少三个)
( http: / / www.21cnjy.com )
15．如图，已知线段AB=2
( http: / / www.21cnjy.com )a
(a>0)，M是AB的中点，直线l1⊥AB于点A，直线l2⊥AB于点M，点P是l1左侧一点，P到l1的距离为b(a(1)
作出点P关于l1的对称点P1，并在PP1上取一点P2，使点P2，P1关于l2对称；
(2)
PP2与AB有何位置关系和数量关系
请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
参考答案
1．B
2．C
3．C
4．C
5．D
6．B
7．2502
8．2
9．50°
10．14
11．
12．略
13．略
14
( http: / / www.21cnjy.com )
15．(1)
略
(2)
P1
P2∥AB，PP2=AB．§2.5
等腰三角形的轴对称性(1)
一、细心选一选．
1．若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为
(
)
A．80°
B．50°
C．40°
D．20°
2．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为
(
)
A．16
B．18
C．20
D．16或20
3．如图，点C在AD上，AC=BC，∠A=25°，则∠BCD的度数为
(
)
A．25°
B．40°
C．50°
D．80°
4．如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为
(
)
A．20°
B．25°
C．30°
D．40°
5．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于
(
)
A．90°
B．75°
C．70°
D．60°
6．已知实数x，y满足+(y－8)2=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是
(
)
A．20或16
B．20
C．16
D．以上答案均不对
二、认真填一填．
7．如图，AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD=
°．
8．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=
°．
9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则∠EPF=
度．
10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D在AC上，BD=BC，则∠ABD的度数是
．
11．如图，D是△ABC中BC边上一点，AB=AC=BD，则∠1和∠2的数量关系是
．
12．如图，在第1个△ABA1中，∠B=20°,
AB=A1
B，在A1
B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1
A2=A1C；在A2
C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2
A3=A2
D……按此做法进行下去，第n个三角形的以An为顶点的内角的度数为
．
13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于28°，则顶角为
．
三、耐心解一解．
14．如图，已知在△ABC中，AB=AC，M是边BC的中点，D，E分别是边AB，AC上的点，且BD=CE，求证：MD=ME．
15．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
(1)
求∠ECD的度数；
(2)
若CE=5，求BC长．
16．如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．
求证：AB=AC．
17．如图①，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
(1)
求证：BE=CE；
(2)
如图②，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其他条件不变．
求证：△AEF≌△BCF．
18．如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，
AB=10
cm，且△ABD的周长为23
cm．求△ABC的周长．
19．已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为.满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是
(
)
A．两条边长分别为4，5，它们的夹角为
B．三条边长分别是4，5，5
C．两个角是，它们的夹边为4
D．两条边长是5，一个角是
20．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF垂直平分AD，交AD于点E，交BC的延长线于点F．求证：∠B=∠CAF．
参考答案
1．B
2．C
3．C
4．D
5．D
6．B
7．44°
8．40°
9．50
10．30
11．∠1－∠2=180°
12．80×()n-1
13．62或118°
14．略
15．∠ECD=36°
BC=5
16．略
17．证明：(1)
∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BAE=∠EAC，在△ABE和△ACE中，，△ABE≌ACE
(SAS)，∴BE=CE；
(2)
∵∠BAC=45°，BF⊥AF，∴△ABF为等腰直角三角形，∴AF=BF，∵AB=AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠EAF+∠C=90°，∵BF⊥AC，∴∠CBF+∠C=90°，∴么EAF=∴CBF，在△AEF和△BCF中，，∴
△AEF≌△BCF
(ASA)．
18．33
19．D
20．略