20.1.1 勾股定理-课件(共36张PPT)-人教版（新教材）数学八年级下册

(共36张PPT)
人教版（新教材）数学八年级下册
第二十章 勾股定理
20.1.1 勾股定理
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1. 了解勾股定理，探索勾股定理的证明过程，学会利用几何图形的截、割、补证明勾股定理.(重点)
2. 掌握勾股定理，并能应用它进行简单的计算.(重点)
3. 过拼图活动，体会数形结合的思想方法，培养动手实践和创新能力.(难点)
思考：直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余，对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢
在《周牌算经》的开篇，商高（约公元前 11 世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩其长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积.
商高所指的面积关系可以用图形表示，如图，红色直角三角形的三边长分别为 3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为 ， ， ，
且它们的数量关系是 ，
从边的角度看，
这个直角三角形的三边满足：
.
问题1：其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？
3
4
5
9
16
25
9＋16＝25
两条直角边长的平方和等于斜边长的平方
问题2：(1) 如图，每个小方格的面积均为 1，求正方形 A1，B1，C1 ， A2，B2，C2 ，A3，B3，C3 的面积.
这两幅图中A，B的面积都好求，该怎样求 C 的面积呢？
A1
B1
C1
B2
A2
C2
B3
A3
C3
方法一：割
方法二：补
方法三：拼
分割为四个直角三角形和一个小正方形.
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.
将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.
A1 的面积＝1，B1 的面积＝4，C1 的面积＝5；
A2 的面积＝4，B2 的面积＝9，C2 的面积＝13；
A3 的面积＝9，B3 的面积＝25，C3 的面积＝34.
A1
B1
C1
B2
A2
C2
B3
A3
C3
(2) 它们之间的面积有什么关系？
A1 的面积＋B1 的面积＝C1 的面积；
A2 的面积＋B2 的面积＝C2 的面积；
A3 的面积＋B3 的面积＝C3 的面积.
(3) 以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？
【归纳总结】
可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积.由此我们猜想：
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2.
a
b
b
c
a
b
c
a
证法 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧.
所以可以得到等式：
.
证明：整个图形可以看作是边长为 的大正方形，它的面积为 ；
例1 请你补全下列证明勾股定理的一种方法.
已知：在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC，∠ABC，∠ACB 的对边分别为 a，b，c. 求证：a2＋b2＝c2.
也可以看作由四个全等的直角三角形和一个边长为 的小正方形组成，
其面积为 .
化简，得 .
c
c2
b－a
a2+b2=c2
勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2.
几何语言：
在Rt△ABC 中，∠C = 90°，
∴a2 + b2 = c2.
a
b
c
公式变形：
2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的.
在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理.
例2 如图，根据所给条件分别求两个直接三角形中未知边的长.
解：(1) 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AB ＝AC ＋BC ＝8 ＋6 ＝100，
B
6
8
A
C
E
D
F
15
17
所以 AB＝10.
(2) 在 Rt△DEF 中，根据勾股定理，DE ＋EF ＝DF ，
从而 DE ＝DF －EF ＝17 －15 ＝64，
所以 DE＝8.
(1)
(2)
【练一练】1. 求下列图中未知数 x，y 的值：
解：由勾股定理可得
81 + 144 = x2，
解得 x = 15.
解：由勾股定理可得
y2 + 144 = 169，
解得 y = 5.
(1) 若 a∶b = 1∶2 ，c = 5，求 a ；
(2) 若 b = 15，∠A = 30°，求 a，c.
【练一练】2.在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°.
解：
(1) 设 a = x，b = 2x，根据勾股定理建立方程得
x2 + (2x)2 = 52，
解得
因此设 a = x，c = 2x，根据勾股定理建立方程得
(2x)2 - x2 = 152，
解得
归纳：已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.
(2)∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴c＝2a.
【练一练】3.在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当 AB 为斜边时，如图①，
当 BC 为斜边时，如图②，
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
图①
图②
归纳：当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解.
返回
B
返回
2．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列说法错误的是(　　)
A．a2＋c2＝b2 B．c2＝2a2
C．a＝b D．∠C＝90°
A
返回
B
返回
返回
5．如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1. “马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为_______.
返回
6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2．以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为________．
7．意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图①的空白部分由两个正方形和两个直角三角形组成，图②的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图①中空白部分的面积为S1，图②中空白部分的面积为S2．
(1)请用含a，b，c的代数式分别表示S1，S2；
(2)请利用达·芬奇的方法证明勾股定理．
【证明】由题意得S1＝S2，∴a2＋b2＋ab＝c2＋ab.
∴a2＋b2＝c2.
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【点步骤】证明勾股定理的三个步骤：
(1)读图：观察整个图形是由哪些图形拼接而成的，图中包括几个直角三角形，几个正方形，它们的边长各是多少；
(2)列式：根据整个图形的面积等于各部分图形的面积和，列出关于直角三角形三边长的等式；
(3)化简：根据整式的运算化简等式，得出勾股定理．
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8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若AC＝4，BC＝2，则阴影部分的面积为(　　)
A．4
B．4π
C．8π
D．8
A
返回
D
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上，把△ABC沿直线AD折叠，使得点B的对应点B′落在AC的延长线上，则CD＝________．
3
返回
【点拨】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB2＝AC2＋BC2＝62＋82＝102.∴AB＝10. 由折叠得， BD＝B′D，AB′＝AB＝10，∴B′C＝AB′－AC＝10－6＝4.设CD＝x，则B′D＝BD＝8－x.在Rt△DB′C中，CD2＋CB′2＝DB′2，即x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，∴CD＝3.
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11．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是________．
10
12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，点B的坐标为(2，0)，点M为x轴上方一动点，且MA＝2，以BM为边构造等边三角形BMP，连接AP，当线段AP取最大值时，AP＝________，点M的坐标为________.
6
勾股定理
三边关系
勾股定理
a2 + b2 = c2
特例猜想
网格验证
拼图证明
符号语言：
在Rt△ABC 中，
∠C = 90°，
______________
a
b
c
谢谢观看！