青岛版八年级数学上册单元测试《第2章 图形的轴对称》（解析版）（A卷）

《第2章
图形的轴对称》（A卷）
　
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列命题：①两个全等三角形拼在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，其中错误的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角形．其中是轴对称图形有（　　）个．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，则△P1OP2是（　　）
A．含30°角的直角三角形
B．顶角是30°的等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
4．正三角形ABC中，BD=CE，AD与BE交于点P，∠APE的度数为（　　）
A．45°
B．55°
C．60°
D．75°
5．等腰梯形两底长为4cm和10cm，面积为21cm2，则这个梯形较小的底角是（　　）
A．45°
B．30°
C．60°
D．90°
6．已知点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段AB的中垂线外，则（　　）
A．PA+PB＞QA+QB
B．PA+PB＜QA+QB
C．PA+PB=QA+QB
D．不能确定
7．已知△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，且BC与B1C1交于直线MN上一点O，则（　　）
A．点O是BC的中点
B．点O是B1C1的中点
C．线段OA与OA1关于直线MN对称
D．以上都不对
8．如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
9．∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5，Q是OB上任一点，则（　　）
A．PQ＞5
B．PQ≥5
C．PQ＜5
D．PQ≤5
10．等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的底长为（　　）
A．3cm或5cm
B．3cm或7cm
C．3cm
D．5cm
　
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．线段是轴对称图形，它有　　条对称轴．
12．等腰△ABC中，若∠A=30°，则∠B=　　．
13．在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为　　．
14．等腰△ABC中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB上的高等于　　．
15．一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，则该车的车牌号码是　　．
16．如图所示的两个三角形关于某条直线对称，∠1=110°，∠2=46°，则x=　　．
　
三、解答题（共6小题，满分52分）
17．（6分）作图题：（不要求写作法）如图，在10×10的方格纸中，有一个格点四边形ABCD（即四边形的顶点都在格点上）在给出的方格纸中，画出四边形ABCD关于直线l对称的四边形A2B2C2D2．
18．在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于点D，求∠DBC的度数．
19．△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，∠AQN等于多少度？
20．阅读下题及证明过程：已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：∠BAE=∠CAE．
证明：在△AEB和△AEC中，
∵EB=EC，∠ABE=∠ACE，AE=AE，
∴△AEB≌△AEC…第一步
∴∠BAE=∠CAE…第二步
问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．
21．如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连接AE、BF．求证：
（1）AE=BF；
（2）AE⊥BF．
22．A、B两厂在公路的同侧，现欲在公路边建一个货场C．
（1）若A、B两厂从各自利益出发，想选择离自己最近的位置建货场，请在图①中作出两厂各自要求的货场位置；
（2）若将双方的要求进行折衷（即货场到两厂的距离相等），请在图②中作出此时货场的位置；
（3）若要求所修的公路长之和最短，请在图③中作出货场的位置；
（要求：保留作图痕迹，不写做法，不证明）
　
《第2章
图形的轴对称》（A卷）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列命题：①两个全等三角形拼在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，其中错误的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【考点】命题与定理．
【分析】根据轴对称的定义对①进行判断；根据对称轴的定义对②进行判断；根据高与线段垂直平分线的定义对③进行判断；根据轴对轴图形对④进行判断．
【解答】解：两个全等三角形拼在一起不一定是一个轴对称图形，所以①错误；等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，所以②错误；等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线所在的直线，所以③错误；一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，所以④正确．
故选C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
　
2．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角形．其中是轴对称图形有（　　）个．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：①、②不是轴对称图形；
③长方形是轴对称图形；
④等腰三角形是轴对称图形．
共2个．
故选B．
【点评】轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
　
3．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，则△P1OP2是（　　）
A．含30°角的直角三角形
B．顶角是30°的等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【考点】轴对称的性质．
【专题】证明题．
【分析】根据轴对称的性质，结合等边三角形的判定求解．
【解答】解：∵P为∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点分别为P1、P2，
∴OP=OP1=OP2且∠P1OP2=2∠AOB=60°，
∴故△P1OP2是等边三角形．
故选C．
【点评】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
　
4．正三角形ABC中，BD=CE，AD与BE交于点P，∠APE的度数为（　　）
A．45°
B．55°
C．60°
D．75°
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】根据条件三角形ABC是正三角形可得：AB=BC，BD=CE，∠ABD=∠C可以判定△ABD≌△BCE，即可得到∠BAD=∠CBE，又知∠APE=∠ABP+∠BAP，故知∠APE=∠ABP+∠CBE=∠B．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠APE=∠ABP+∠BAP，
∴∠APE=∠ABP+∠CBE=∠B=60°，
故选C．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是能看出∠APE=∠ABP+∠BAP，还要熟练掌握三角形全等的判定与性质定理．
　
5．等腰梯形两底长为4cm和10cm，面积为21cm2，则这个梯形较小的底角是（　　）
A．45°
B．30°
C．60°
D．90°
【考点】等腰梯形的性质．
【分析】根据面积公式可求得高的长，从而再根据三角函数可求得较小的底角的度数．
【解答】解：如图，
已知等腰梯形两底长AD=4cm，BC=10cm，面积为21cm2
故可求出梯形的高为AE=3．
而BC﹣AD=BE+CF=6，
∴BE=3，
由等腰梯形的性质即可求出梯形较小的底角为45°．
【点评】本题考查的是等腰梯形的性质的理解及运用．
　
6．已知点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段AB的中垂线外，则（　　）
A．PA+PB＞QA+QB
B．PA+PB＜QA+QB
C．PA+PB=QA+QB
D．不能确定
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】由于点Q的位置只知道在线段AB的中垂线外，而不知道具体的位置，所以两个和可大于，可等于，也可小于，于是答案应选D．
【解答】解：点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段AB的中垂线外，
只能确定PA=PB，
但是无法确定PA+PB和QA+QB大小关系．
故选D
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．注意应用点Q的位置的不确定性来解题，这是解答本题的关键．
　
7．已知△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，且BC与B1C1交于直线MN上一点O，则（　　）
A．点O是BC的中点
B．点O是B1C1的中点
C．线段OA与OA1关于直线MN对称
D．以上都不对
【考点】轴对称的性质．
【分析】根据轴对称的性质先确定对应点，再根据对应点的连线是对应线段解答．
【解答】解：根据题意A、A1是关于MN的对应点，
∴线段OA与OA1关于直线MN对称．
故选C．
【点评】主要考查了轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．
　
8．如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
【考点】菱形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
【专题】几何图形问题．
【分析】过点P做PM∥CO交AO于M，可得∠CPO=∠POD，再结合题目推出四边形COMP为菱形，即可得PM=4，又由CO∥PM可得∠PMD=30°，由直角三角形性质即可得PD．
【解答】解：如图：过点P做PM∥CO交AO于M，PM∥CO
∴∠CPO=∠POD，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA
∴四边形COMP为菱形，PM=4
PM∥CO ∠PMD=∠AOP+∠BOP=30°，
又∵PD⊥OA
∴PD=PC=2．
令解：作CN⊥OA．
∴CN=OC=2，
又∵∠CNO=∠PDO，
∴CN∥PD，
∵PC∥OD，
∴四边形CNDP是长方形，
∴PD=CN=2
故选：C．
【点评】本题运用了平行线和直角三角形的性质，并且需通过辅助线求解，难度中等偏上．
　
9．∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5，Q是OB上任一点，则（　　）
A．PQ＞5
B．PQ≥5
C．PQ＜5
D．PQ≤5
【考点】角平分线的性质．
【分析】直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，和角平分线的性质计算．
【解答】解：∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5
则P到OB的距离为5
因为Q是OB上任一点，则PQ≥5
故选B．
【点评】本题主要考查平分线的性质，还利用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”．
　
10．等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的底长为（　　）
A．3cm或5cm
B．3cm或7cm
C．3cm
D．5cm
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．
【解答】解：当腰是3cm时，则另两边是3cm，9cm．而3+3＜9，不满足三边关系定理，因而应舍去．
当底边是3cm时，另两边长是6cm，6cm．则该等腰三角形的底边为3cm．
故选：C．
【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．
　
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．线段是轴对称图形，它有　　条对称轴．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念，知线段有2条对称轴，即线段所在的直线和线段的垂直平分线．
【解答】解：线段是轴对称图形，它有2条对称轴．
【点评】熟练说出线段的对称轴．
　
12．等腰△ABC中，若∠A=30°，则∠B=　　．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】分类讨论．
【分析】本题要分两种情况讨论：（1）当∠A=30°为顶角；（2）当∠A=30°为底角时，则∠B为底角时或顶角．然后求出∠B．
【解答】解：分两种情况讨论：
（1）当∠A=30°为顶角时，∠B==75°；
（2）当∠A=30°为底角时，∠B为底角时∠B=∠A=30°；∠B为顶角时∠B=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣30°﹣30°=120°．
故填30°或75°或120°．
【点评】本题是考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，在解答时一定要讨论已知角为顶角或底角两种情况不要漏解．
　
13．在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为　　．
【考点】角平分线的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据角平分线的性质定理，解答出即可；
【解答】解：如右图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵CD=4，
∴DE=4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等．
　
14．等腰△ABC中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB上的高等于　　．
【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】由已知条件，根据直角三角形中30°所对的边是斜边的一半即可得到答案．
【解答】解：如图：等腰△ABC中，AB=AC=10，∠A=30°，CD⊥AB
∵∠A=30°，CD⊥AB，AB=AC=10
∴CD=AC=×10=5
故填5．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质；题目思路比较直接，属于基础题．
　
15．一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，则该车的车牌号码是　　．
【考点】镜面对称．
【分析】易得所求的牌照与看到的牌照关于水平的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解．
【解答】解：根据镜面反射对称性质，可知图中所示车牌号应为：MT7936．
故答案为：MT7936．
【点评】此题考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形．
　
16．如图所示的两个三角形关于某条直线对称，∠1=110°，∠2=46°，则x=　　．
【考点】轴对称的性质．
【分析】根据轴对称的性质可得∠3=∠1，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵两个三角形关于某条直线对称，
∴∠3=∠1=110°，
∴x=180°﹣∠2﹣∠3=180°﹣46°﹣110°=24°．
故答案为：24°．
【点评】本题考查了轴对称的性质，三角形的内角和定理，是基础题，熟记性质并求出∠3的度数是解题的关键．
　
三、解答题（共6小题，满分52分）
17．（6分）作图题：（不要求写作法）如图，在10×10的方格纸中，有一个格点四边形ABCD（即四边形的顶点都在格点上）在给出的方格纸中，画出四边形ABCD关于直线l对称的四边形A2B2C2D2．
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】根据轴对称的性质画出图形即可．
【解答】解：如图所示．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
　
18．在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于点D，求∠DBC的度数．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，再由线段垂直平分线的性质得出∠A=∠ABD，进而可得出结论．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，
∴∠ABC===65°．
∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=50°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
　
19．△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，∠AQN等于多少度？
【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】先根据已知利用SAS判定△ABM≌△BCN，再根据全等三角形的性质求得∠AQN=∠ABC=60°．
【解答】解：解法一．
∵△ABC为正三角形
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC
在△AMB和△BNC中
，
△AMB≌△BNC（SAS），
∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC，
∠MAN=∠BAC﹣∠MAB=60°﹣∠MAB，
又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等），
∴∠ANB+∠MAN=120°，
又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°，
∴∠AQN=180°﹣∠ANB﹣∠MAN，
∠AQN=180°﹣（∠ANB+∠MAN），
=180°﹣120°=60°，
∠BQM=∠AQN=60°（全等三角形对应角相等）．
解法二．
∵△ABC为正三角形
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC
在△AMB和△BNC中
∴△AMB≌△BNC（SAS）
∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC
∠MAN=∠BAC﹣∠MAB
又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等）
∴∠ANB+∠MAN=120°
又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°
∴∠AQN=180°﹣∠ANB﹣∠MAB
∠AQN=180°﹣（∠ANB+∠MAN）
=180°﹣120°=60°
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；三角形全等的证明是正确解答本题的关键．
　
20．阅读下题及证明过程：已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：∠BAE=∠CAE．
证明：在△AEB和△AEC中，
∵EB=EC，∠ABE=∠ACE，AE=AE，
∴△AEB≌△AEC…第一步
∴∠BAE=∠CAE…第二步
问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】压轴题；阅读型．
【分析】上面证明过程不正确，因为没有正确理解全等三角形的判定方法，SAS指的是两边一角且角为这两边的夹角，所以上面证明过程不正确．这就要求我们要真正理解且正确运用全等三角形的判定方法．
【解答】解：上面证明过程不正确；错在第一步．正确过程如下：
在△BEC中，
∵BE=CE
∴∠EBC=∠ECB
又∵∠ABE=∠ACE
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC．
在△AEB和△AEC中，AE=AE，BE=CE，AB=AC
∴△AEB≌△AEC（SSS）
∴∠BAE=∠CAE．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
　
21．如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连接AE、BF．求证：
（1）AE=BF；
（2）AE⊥BF．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，当然相等了，由此可以证明△AEO≌△BFO；
（2）由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，由此可以证明AE⊥BF．
【解答】证明：（1）在△AEO与△BFO中，
∵Rt△OAB与Rt△OEF等腰直角三角形
∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90°﹣∠BOE=∠BOF，
∴△AEO≌△BFO（SAS），
∴AE=BF；
（2）延长AE交BF于D，交OB于C，
则∠BCD=∠ACO，
由（1）知：∠OAC=∠OBF，
∴∠BDA=∠AOB=90°，
∴AE⊥BF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
　
22．A、B两厂在公路的同侧，现欲在公路边建一个货场C．
（1）若A、B两厂从各自利益出发，想选择离自己最近的位置建货场，请在图①中作出两厂各自要求的货场位置；
（2）若将双方的要求进行折衷（即货场到两厂的距离相等），请在图②中作出此时货场的位置；
（3）若要求所修的公路长之和最短，请在图③中作出货场的位置；
（要求：保留作图痕迹，不写做法，不证明）
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】（1）通过A和B作公路所在直线的垂线，垂足就是所求的点；
（2）线段AB与公路所在直线的交点就是所求的点；
（3）B关于公路的对称点与A的连线，与公路的交点就是所求．
【解答】解：（1）C和D就是所求的点；
（2）线段AB的中垂线与公路的交点E就是所求的点；
（3）点P就是所求的点．
【点评】本题考查了尺规作图，正确理解垂线的性质，线段的垂直平分线的性质以及轴对称的性质是关键．